专题08 一次函数的应用【重难点培优：知识梳理+6大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版八年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用，通过六大题型系统覆盖图像信息、分配方案等场景，以题载法构建从建模到求解的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像信息问题|9题|含分段函数图像分析，结合行程、充电等情境|从图像获取点坐标→建立函数关系式→解决实际问题| |分配方案问题|8题|涉及租车、购物等方案优化，含不等式约束|根据题意列函数式→结合取值范围求最优解| |利润问题|8题|成本、售价、销量关系分析，最值探究|利润公式转化为一次函数→利用增减性确定最值| |行程问题|8题|含相遇、追及及往返运动，多图像对比|路程-时间关系建模→分析图像交点与分段函数| |其他问题|8题|涵盖收费、配套、几何动态等综合应用|实际问题抽象为函数模型→运用一次函数性质求解| |压轴真题|12题|多知识点融合，含分类讨论与跨学科情境|综合应用一次函数与方程、不等式，提升数学建模能力|

专题08 一次函数的应用重难点题型分类 【题型1：一次函数的应用——图像信息问题 1】 【题型2：一次函数的应用——分配方案问题 4】 【题型3：一次函数的应用——利润问题 21】 【题型4：一次函数的应用——行程问题 31】 【题型5：一次函数的应用——其他问题 43】 【题型6：压轴真题 53】 图像信息问题题型1 1．已知某手机目前电量为，经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：小时）的函数图象分别为图中的线段、．已知该手机正常使用时耗电量为/小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的总时间是小时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：设线段的解析式为：， 由函数图象可得，线段经过点，， ∴， ∴， ∴线段的解析式为：， ∴快速充电器将其充满电小时，即可充满电， 设线段的解析式为：， 由函数图象可得，线段经过点，， ∴， ∴， ∴线段的解析式为：， ∴普通充电器将其充满电需要小时， ∵已知该手机正常使用时耗电量为/小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的总时间是小时， ∴， 解得：． 故选：B． 2．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为x分钟，船舱内积水量为y吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，图中的折线表示y与x的函数关系，下列说法中错误的是（   ） A．修船共用了38分钟时间 B．修船过程中排水速度1吨/分 C．修船完工后的排水速度4吨/分 D．最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同 【详解】解：由图可知，修船共用了分钟时间，故A错误，符合题意； 修船过程中排水速度是（吨/分钟），故B正确，不符合题意； 修船完工后的排水速度是（吨/分钟），故C正确，不符合题意； 由上可得，最初的仅进水速度是（吨/分钟），最后仅排水速度是（吨/分钟），则最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同，故D正确，不符合题意． 故答案为：A. 3．材料：甲开汽车，乙骑自行车从A地沿一条笔直的公路匀速前往B地，乙比甲先出发．设乙行驶的时间为，甲，乙两人之间的距离关于时间的函数图象如图所示．根据材料（　　） A．甲行驶的速度是 B．在甲出发后追上乙 C．A，B两地之间的距离为 D．甲比乙少行驶2小时 【详解】解：由图象可知，乙行驶的速度为， ∴甲行驶的速度为，故A错误； 由图象可知，当乙出发后甲追上乙，故B错误； 两地之间的距离为，故C正确； 甲行驶的时间为，乙行驶的时间为小时， ∴甲比乙少行驶，故D错误； 故选：C． 4．甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．小明根据图象所提供的信息得出了以下4个结论： ①甲登山的速度是每分钟10米； ②乙在地时距地面的高度为30米； ③乙登山6.5分钟时追上甲； ④当甲、乙两人距地面的高度差为50米时，登山时间为乙出发后的4分钟或9分钟． 其中错误的为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【详解】解：由函数图象可知，甲登山用20分钟，距离地面的高度从100米增加到300米， 则甲登山的速度是（米/分钟），结论①正确； 由函数图象可知，在提速前，乙登山的速度是（米/分钟）， 则（米），结论②正确； 设乙登山分钟时追上甲， 则， 解得， 即乙登山分钟时追上甲，结论③正确； 由题意得：提速后，乙登山的速度为（米/分钟）， 由函数图象可知，， 当时，则，解得，不符合题设，舍去； 当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，当甲、乙两人距地面的高度差为50米时，登山时间为乙出发后的4分钟或9分钟或15分钟，则结论④错误； 故选：D． 5．为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； (2)求线段对应的函数表达式； (3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 【详解】（1）解：甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）． 故答案为：6，3． （2）解：甲无人机飞行段用时（秒），（秒）， ∴， 设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为． （3）解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为． 当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，， 由与乙无人机的高度差为9米得：， 解得， ∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒． 6．如图（1）是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（两水槽底面积一样，圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上），两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度()与注水时间()之间的关系如图（2）所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)乙槽中圆柱形铁块的高度为 ，点的实际意义为 ； (2)求线段所在直线的表达式； (3)设乙槽的底面积为，圆柱形铁块的底面积为，求的值． 【详解】（1）根据函数图象可得段的速度不一致， 到甲槽中的水匀速注入乙槽，， ∴当时，乙槽中水面上升的高度等于乙槽中圆柱形铁块的高度： 从到，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度， ∴点的实际意义为当时，两水槽中水的高度相同； 故答案为：，当时，两水槽中水的高度相同． （2）∵从到，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度 ∴， ∴， 设线段所在直线的函数表达式为， 将，的坐标分别代入， ∴ ∴线段所在直线的函数表达式为 （3）解：依题意， ∴ 7．为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验．选用的1号气球，2号气球从海拔10米的处同时出发，其中1号气球以8米／秒的速度匀速上升；2号气球以6米／秒的速度匀速上升，30秒时，1号球不再继续上升，悬浮，等2号气球达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为（米），（米），它们飞行的时间为（秒）．（注意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围） (1)点坐标为______； (2)直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数表达式； (3)求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行的时间（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义是什么？ (4)直接写出两个气球从出发到1号气球返回出发点这个时间段里，两球高度之差小于或等于60米的总时长是多少． 【详解】（1）解：1号气球以8米/秒的速度匀速上升，30秒时上升的高度为：（米）， ∵气球是从海拔10米的处出发， ∴点的纵坐标为（米），横坐标为30秒，即点坐标为， ∵2号气球以6米/秒的速度匀速上升，到达点250米高度所需时间为：（秒）， ∴点坐标为． （2）解：∵2号气球从海拔10米处出发，速度为6米/秒， ∴根据路程速度时间，可得． （3）解：∵1号气球从40秒时开始匀速下降，又过了40秒降落到出发点， ∴点的横坐标为（秒），纵坐标为10，即，， 设，把，，代入得： ， 解得，， ∴线段对应的函数表达式为， 由题意可知，一次项系数的实际意义是1号气球在40秒到80秒之间匀速下降的速度为6米/秒． （4）解：∵1号气球从海拔10米处出发，其中以8米／秒的速度匀速上升， ∴根据路程速度时间，可得， 当时，，，两球高度之差， 令，即，解得， ∴在这个时间段内两球高度之差都小于或等于60米，时长为30秒； 当时，，，两球高度之差， 令，即，解得， 又∵， ∴在这个时间段内两球高度之差小于或等于60米的时长为秒； 当时，，，两球高度之差， 令，即，解得， 又∵， ∴在这个时间段内两球高度之差小于或等于60米的时长为秒； 综上，两球高度之差小于或等于60米的总时长为秒． 8．今年国庆假期，小胡和小周去旅行，小胡骑自行车，小周开汽车，两人从甲地出发到乙地，如图表示两人离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系．小胡出发2小时后途经一集镇停下休息，然后以原速的前行后突然自行车发生故障，小胡立即打电话求助晚出发的小周，此时小周刚好开车行驶到该集镇．小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等．到达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车．之后小周开车以原速一直前行至乙地，小胡则骑自行车以的速度前行至乙地，结果小胡比小周晚到1小时6分钟．    (1)小胡到集镇前的速度是_________；小胡休息了________小时；小胡休息后至自行车发生故障时的骑车速度是_________，这段时间是_________小时． (2)小周开车的速度是多少？小胡比小周早出发多少小时？ (3)请你在图中画出修好自行车后小胡、小周行至乙地的过程中关于的函数图象．（提醒：所画的图象中关键点的坐标必须标出） 【详解】（1）解：根据函数图象可得，小胡离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系是折线， 小胡到集镇前的速度是（线段段）， 小胡休息了小时（线段）； 然后以原速的前行后突然自行车发生故障（点）， 小胡休息后至自行车发生故障时的骑车速度是，这段时间是小时（段） 故答案为：，，，． （2）解：小胡自行车发生故障，立即打电话求助晚出发的小周，此时小周刚好开车行驶到该集镇， 从函数图象可得此时小胡离开甲地的时间为小时，即的横坐标为 到达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车即函数图象段，，而，则 ∵小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等． ∴，即小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间都是 ∴小周开车的速度是 ∴小周从甲地出发到集镇用时为小时， 则小胡出发时， ∴小胡离开甲地的时间比小周早出发小时小时 答：小周开车的速度是；小胡离开甲地的时间比小周早出发小时小时 （3）解：∵修好自行车之后小周开车以原速一直前行至乙地，小胡则骑自行车以的速度前行至乙地，结果小胡比小周晚到1小时6分钟， 设继续前行千米后到达乙地，则 解得：， 小胡则骑自行车需要的时间为小时，小周开车需要的时间为小时， 修好自行车后小胡、小周行至乙地的过程中关于的函数图象，如图所示，其中，    9．治疗某种疾病需要同时使用甲乙两种药品，甲药品采用注射的方式给药，乙药品采用口服方式给药．根据临床实验研究数据表明，注射甲药品后，血液中甲药品的浓度（单位：mg/L）随注射时间（单位：h）的变化规律如下表所示，服用乙药品后，血液中乙药品的浓度（单位：mg/L）随服药时间（单位：h）的变化图象如图所示．（图象由两条有公共端点的线段组成） 甲药品的浓度随注射时间的变化情况 注射时间（单位：h） 0 2 4 6 7 甲药品浓度（单位：mg/L） 80 60 40 20 10 (1)当服药时间超过1h时，求血液中乙药品的浓度随服药时间变化的函数关系式； (2)科研人员发现当血液中同时存在两种药品，且乙药品的浓度比甲药品浓度至少高20mg/L时，能够产生较好的疗效，由于药物本身存在副作用，因此在24小时内这两种药品都只能使用一次．请你估计产生较好疗效的时长是否有可能超过6小时，并说明理由． 【详解】（1）解： 设服药的时间为x，血液中乙药品的浓度为y，由函数图象可知该变化关系是一次函数，故设血液中乙药品浓度服药时间变化的函数关系式为， 将代入中，得：， 解得； 所以服用乙药品后血液中的乙药品浓度随服药时间变化函数关系式为：； （2）解：在（1）的条件下，设在服药乙药品后注射甲药品，由表可知血液中甲药品的浓度是关于注射时间的一次函数，设， 当时，，当时，， 则，解得， 所以． ①当在，且，乙药品的浓度始终比甲药品浓度高至少时， 则注射甲药品后，立即产生较好疗效，产生较好疗效的时刻为． 因为在上，， 所以，即，在上恒成立， 解得， 因， 所以，解得 ． 当时，令，即， 解得，即结束有较好疗效的时刻是． 所以当，， 所以此时血液中同时存在两种药品， 所以产生较好疗效的时长， 因为t随a的增大而减小， 所以当时，t取得最大值． ②当在上，存在乙药品的浓度恰好比甲药品浓度高的时刻时， 令，即， 解得， 即起较好疗效的时刻是． 因为， 所以． 当时，由①知，，即结束有较好疗效的时刻是． 所以产生较好疗效的时长． 因为血液中需要同时存在两种药品， 所以当，，则， 解得， 所以． 因为， 所以t随a的增大而减小， 所以当时，t有最大值． 所以在上，． 综合①②， 因为，， 所以产生较好疗效的时长不可能超过6小时． 分配方案问题题型2 1．某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆， 要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6， ∴客车总数为6，， 由题意可得，， 整理可得， 由题意，， 解得， ∵， ∴， ∵中，，y随x的增大而增大， ∴x取最小值时，即，y有最小值， 即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少， 故选：A． 2．如图，某电信公司提供了，两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间（分）之间的关系，则以下说法正确的是（    ） ①若通话时间少于120分，则方案比方案便宜 ②若通话时间超过200分，则方案比方案便宜 ③通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多 ④当通话时间是170分钟/时，两种方案通讯费用相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：依题意得 A：（1）当0≤x≤120，yA=30， （2）当x＞120，yA=30+（x-120）×[（50-30）÷（170-120）]=0.4x-18； B：（1）当0≤x＜200，yB=50， 当x＞200，yB=50+[（70-50）÷（250-200）]（x-200）=0.4x-30， 所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确； 当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确； 当y=60时，A：60=0.4x-18，∴x=195， B：60=0.4x-30，∴x=225，故（3）正确； 当A方案与B方案的费用相等，通话时间为170分钟，故（4）正确； 故选：D． 3．学校今年“十一”期间要组团去北京旅游．与旅行社联系时，甲旅行社提出每人次收300元旅行费，不优惠．乙旅行社提出每人次收350元旅行费，但有3人可享受免费待遇，若不超过3人则正常按人次收费． (1)分别写出甲、乙两旅行社的收费与旅行人数之间函数关系式； (2)如果组织20人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？ (3)如果你是这次旅游的负责人，你会怎样根据出行人数选择旅行社？ 【详解】（1）解：甲：； 乙：当旅行人数时，，当旅行人数时，， 综上所述：，； （2）解：当时，元，， ∵， ∴如果组织20人的旅行团时，选乙旅行社比较合算； （3）解：当时，由于，则甲旅行社合算； 当时：①当，即 时， 解得， 所以当旅行人数超过21人时，选择甲旅行社比较合算； ②当，即时， 解得， 所以当旅行人数为21人时，选择甲、乙旅行社所需费用相同； ③当，即时， 解得， 所以当旅行人数超过3人且少于21人时，选择乙旅行社比较合算． 综上所述，当旅行人数不超过3时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数超过21人时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数为21人时，选择甲、乙旅行社所需费用相同；当旅行人数超过3人且少于21人时，选择乙旅行社比较合算． 4. 某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 5．“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 【详解】（1）解：由题意得：，． （2）解：当时，，解得：， 当时，，解得， 因为， 所以学校选择方案一购买的劳动工具较多． 6. 为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元， 根据题意，得， 解得：， ∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元． （2）解：根据题意可知，B品牌足球个， ∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最小，此时． 综上，，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个． 7．某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？ 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得， 答：应选用A种食品3包，B种食品1包； （2）解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：． 设每份午餐的总热量为，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选取A种食品3包，B种食品2包． 8. 为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 【详解】（1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人． ， 解得， ∴A、B两种客车分别坐45，30人． （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆 ∵x为正整数且为正整数， ∴，2，4，6，8，10，12． 故一共有7种方案： 0辆A客车和20辆B客车； 2辆A客车和17辆B客车； 4辆A客车和14辆B客车； 6辆A客车和11辆B客车； 8辆A客车和8辆B客车； 10辆A客车和5辆B客车； 12辆A客车和2辆B客车； ②花费：． ∵，W随x增大而减小． 故当时，元． 答：租车最少花费2060元． 利润问题题型3 1. 我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 【详解】（1）解：设种树苗每棵元，种树苗每棵元， 根据题意，得：， 解得：， 答：种树苗每棵100元，种树苗每棵50元； （2）解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵， 根据题意，得：， 解得：， 故有四种购买方案； （3）解：设种植工钱为，由已知得：， ∵， 随的增大而增大， ∴当时，最小，最小值为2500元； 故购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元． 2. 无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； （2）解：设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， ∴（为正整数）， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 3. 某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支， 依题意，得：， 解得. 答：购进甲种笔需5元/支，乙种笔需元/支. （2）解：设购进甲种笔a支，则购进乙种笔支， 依题意得：， 解得：. ∵为整数， ∴a可被2整除， ∴ ∴文具店共有3种进货方案. （3）解：获利， ∵随着的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为元. 此时 ∴当购甲种笔支，乙种笔支时，利润最大为元 4．东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 (1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【详解】（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元， 根据题意得：， 解这个方程组得： （2）根据题意，得 由已知，得， 解得：． 是正整数， 可取18，19，20． ， 随的增大而增大， 当a取最小值18，时，取得最小值， 即． 答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元． 5．某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 6．某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， (1)求出与之间的函数关系式； (2)要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？ (3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调()元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这100台家电销售时的最大利润． 【详解】（1）解：设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， 根据题意有：， 整理，得：． ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍， ∴， 解得：． ∵总利润不低于16400元， ∴，即， 解得：， ∴． ∵x为整数， ∴x的取值可以为34，35，36， ∴购买方案共有3种． （3）解：根据题意有：， 整理，得：． 当时，， ∴此时y随x的增大而减小， ∴当时，y最大，； 当时，， ∴此时y随x的增大而增大， ∴当时，y最大，； 当时，． ∴最大利润为元． 7．近年来，云南乘着高质量共建“带一路”的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展．某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成、两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作、两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口、两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表： 每吨需要茶叶原材料 （单位：吨） 到甲地的平均运费 （单位：千元/吨） 到乙地的平均运费 （单位：千元/吨） 款 2 8 5 款 3 6 4 现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口款普洱茶吨，出口、两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为千元． 根据上述信息，解答下列问题： (1)该厂出口的、两款普洱茶分别是多少吨？ (2)若向乙地出口的款普洱茶的重量不超过款普泪茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费最小，最小值是多少？ 【详解】（1）设该厂出口、两款普洱茶分别是，吨， 由题意得，解得， 该厂出口款普洱茶120吨，款普洱茶80吨； （2）由题意得向甲地出口款普洱茶吨，则向乙地出口款普洱茶吨，向甲地出口款普洱茶吨，则向乙地出口款普洱茶吨， ． 由题意得：，，， ， ， 随的增大而增大， 当时，总运费有最小值， 且（千元）． 答：向甲地出口款普洱茶70吨时，总运费最小，最小值为1190千元． 8．根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14元/斤．    材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤． 材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者． 任务一 求图中直线函数解析式． 任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？ 【详解】解：任务一：设直线函数解析式为, 将，代入，得 ， 解得， ∴直线函数解析式为． 任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为x斤，甲葡萄的进货量为斤， 乙葡萄的利润， 甲葡萄的利润， ∴， ∵， ∴时，利润最大， 此时 ， 即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤． 任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤， 总成本（元）， 总利润（元）， 让利给购买者后的利润（元）， 总销售额为：（元）， 销售价（元/斤）， 即销售价应定为：9.55元/斤． 题型4 行程问题 1. 碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？ 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为， ∵图象经过、两点， ∴， 解得， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴玥玥一家行驶小时，离家的距离为110千米． 2. 在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示： (1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______； (2)当时，求y关于x的函数表达式； (3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间． 【详解】（1）解：由图象可知，小明家离体育场的距离为，跑步的平均速度为：； 故答案为：； （2）当时，设， 把代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； （3）当时，； 当时，，解得：； 答：当小明离家时，他离开家所用的时间为或． 3. 一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 【详解】（1）解：设， 根据题意，经过点，经过点， ， ，， ， 故答案为：，． （2）解：当时，两车相遇 解得： 答：两车同时出发后3小时相遇． （3）解：根据题意，当时， 解得： 当时， 解得： 即当或4时，两车相距． 4．甲、乙两地相距．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地，两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息后，提速50％，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地，在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图象． (2)______． (3)已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地处有一个治安警亭． ①若，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是_______． 【详解】（1）解：如图，折线即为所求． ； （2）解：根据图形可知，快车去乙地时速度为，用时小时，返回速度为，用时1小时， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：①时， ∵， ∴， ∵返回时，， ∴从甲地到乙地时，， ∴， ， ， 慢车从甲地到乙地时，， ∴， 解得； 慢车、快车同时到达乙地时，； 慢车从乙地回甲地时，， ∴， 解得； 综上所述，或2或3； ②根据题意可知， ∴，， ∵返回时，， ∴从甲地到乙地时，， ∴，， 令，即， 解得； 令，即， 解得， 令，即， 解得， 令，即， 解得， 根据题意可得，，即， 解得， 故答案为：． 5．已知A，B两地相距45千米，骑车人与客车分别从A，B两地出发，往返于A，B两地之间．下图中，折线表示某骑车人离开A地的距离y与时间x的函数关系．客车8点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶．（乘客上、下车停车时间忽略不计） (1)在阅读下图的基础上，直接回答：骑车人共休息几次？骑车人总共骑行多少千米？骑车人与客车总共相遇几次？ (2)试问：骑车人何时与客车第二次相遇？（要求写出演算过程）． 【详解】（1）解：依题意得：骑车人共休息2次；骑车人总共骑行千米， 客车以45千米/时的速度匀速行驶， 客车行驶完全程的时间为小时 骑车人与客车总共相遇次； （2）解：已知如图：设直线所表示的函数解析式为． 把，分别代入， 得， 解得， 直线所表示的函数解析式为， 把代入，得， ． 答：时骑车人与客车第二次相遇． 6．图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 【详解】（1）由可知哥哥的速度为：. （2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：. ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴； ②由（1）可知：哥哥的速度为100， ∴设所在直线为， 将代入得：， 解得. ∴所在直线为：. 当时，. ∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， ∴妹妹的速度是160米/分. ∴设妹妹返回时得解析式为， ∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时， ∴ 将代入得， 解得， ∴. 令，则有， 解得， ∴妹妹能追上哥哥， 此时哥哥所走得路程为：（米）. 兄妹俩离家还有（米）， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家米远． 7．甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (2)对比图1．图2可知： ， ； (3)请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． (4)乙出发 h，甲、乙两人相距？ 【详解】（1）解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， 故答案为：25，10； （2）解：由图可得， ， ， 故答案为：10；1.5； （3）解：当时，设， 代入得，， 解得 ∴； 甲乙第一次相遇时，， 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ． 综上，与的关系式为 （4）解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 故答案为：或． 8．如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（2）反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： (1)填空： ①食堂离图书馆的距离为________； ②小明从图书馆回家的平均速度是________； ③小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为________． (2)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【详解】（1）解：（1）①， 小食堂离图书馆的距离为， 故答案为：0.2； ②根据题意，， 小明从图书馆回家的平均速度是， 故答案为：0.08； ③设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为， 当去时，小明离开家的距离为时， ， 小明到食堂时，小明离开家的距离为不足， 由题意得， 解得， 当返回时，离家的距离为时， 根据题意得， 解得； 故答案为：26或． （2）解：设时， 过， ， 解得， 时， 由图可知，当时， 设时，， 过，， ， 解得， ， 综上所述，当时，关于的函数解析式为． 其他问题题型5 1．某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的发展，学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球共200个．已知甲种乒乓球的单价为5元/个，乙种乒乓球的单价为7元/个．设购买甲种乒乓球个，这批乒乓球的总费用为元． (1)请求出与的函数表达式； (2)若要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球数量的3倍，该校购进甲，乙两种型号乒乓球各多少个，才能使购买费用最低？最低费用为多少？ 【详解】（1）解：由题意得，， 化简得：； （2）解：由题意得，， 解得：， ∴， ∵， ∴y随着x的增大而减小， ∴当时，， 此时， 答：该校购进甲种型号乒乓球150个，乙种型号乒乓球50个，才能使购买费用最低，最低费用为1100元． 2．随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．通过研究发现新能源汽车的充电量与充电时间之间满足一次函数关系，小杰观察并记录了几组数据如下表： 充电时间 10 20 30 40 50 60 充电量 30 40 50 60 70 80 (1)按照所给数据，求充电量与时间之间的函数表达式； (2)新能源汽车的最大充电量为，当电量剩余时，对汽车开始充电，求电量充满所需要的时间． 【详解】（1）解：设充电量与时间之间的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得：， 充电量与时间之间的函数表达式为． （2）开始充电时，车上剩余电量为， 当时，， 解得． 当时，， 解得． ． 电量充满所需要的时间为． 3．为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（立方米），应交水费为y（元）． (1)写出某户每月用水量未超过7立方米时，y与x间的函数关系式． (2)写出某户每月用水量超过7立方米时，y与x间的函数关系式． (3)如果小明家某月共交水费14.1元，求小明家这个月用水量为多少？ 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：当时，， ∴小明家这个月用水量超过7立方米， 把代入， 得， 解得， 答：小明家这个月用水量为10立方米． 4．为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度： 第一套 第二套 椅子高度 40.0 37.0 课桌高度 75.0 70.2 (1)请确定y与x的函数关系式： (2)现有一把高39的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？ 【详解】（1）解：依题意设，   则 ， 解得 ， ； （2）解：当时，， 故不配套． 5．已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图）等信息如下： 货运收费项目及收费标准表 运输工具 运输费单价：元/（吨•千米） 冷藏费单价：元/（吨时） 固定费用：元/次 汽车 2 5 200 火车 1.6 5 2280 (1)汽车的速度为多少？火车的速度为多少？ (2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为（元）和（元），分别求、与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (3)当x为何值时，．（总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用） 【详解】（1）解：根据函数图象可知：汽车的速度为（千米/时）， 火车的速度为（千米/时）， 答：汽车的速度为60千米/时，火车的速度100千米/时， （2）解：根据表格可得：， ， 答：每天用汽车运输的总费用为，每天用火车运输的总费用； （3）解：当时，， 解得， 答：当时，． 6． 生活中的数学：古代计时器——漏壶 问题情境 某小组同学根据漏壶的原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时，圆柱容器中已有一部分液体． 实验观察 下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据． 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度 6 8 10 12 14 根据上述的实践活动，解答以下问题． 【探索发现】 （1）①请你根据表中的数据在图2中描点、连线． ②确定与之间的函数关系式． 【结论应用】 （2）当圆柱容器液面高度达到时，时间是多少？ 【详解】解：（1）①描点，连线得函数图象如图所示， ②可得与之间是我们学过的一次函数， 设该函数的表达式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）当时，， 解得； 答：当圆柱容器液面高度达到时是． 7．如图①，在中，，于点D．在线段上，动点E以每秒个单位长度的速度从点A出发向终点D运动．连接，以为边作等边（点C，E，F按逆时针顺序排列），连接．设点E的运动时间为t秒，的面积为S，S与t的函数图象如图②所示（S，t均可为0），其中线段所在直线表达式为． (1)当时，点E与点A重合，为等边三角形，如图③， 此时的面积 （直接填空）； (2)当时，连接，如图④． ①此时 （直接填空） ②求线段的长； (3)在点E运动的过程中，若存在两个时刻和，对应的的面积分别为和，当，且时，直接写出的值． 【详解】（1）解：把代入，得：， 故答案为：； （2）解：①如图1， ，于点， ，即垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， 此时点运动到点处，， ， ， 故答案为：2； ②如图1， 当是等边三角形时， ，， ， ， ， ， ， 当时，, ， ， ； （3）解：当时，， 当，可得， ，， 当时，． 8．5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 【详解】（1）解：当时，设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴； 当时，设直线的解析式为， 将和代入得，，解得， ∴； 综上，； （2）解：设楼梯口的总人数为人， 当时，， 令，则， 得， 答：第分钟后会开始拥堵； （3）解：学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，有效， 由题意得， 即， 楼梯口的总人数为， 即， 画出图象如图： 由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵． 压轴真题题型6 一、解答题 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱．已知某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元． (1)求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元； (2)春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润． 【分析】（1）设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元，根据销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元列二元一次方程组解答； （2）设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼盒．一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，列函数解析式解答． 【详解】（1）解：（1）设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元，根据题意， 得， 解得， 答：每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元； （2）解：设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼盒． 根据题意得，， ∵B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍， ∴，， 解得，， ∴，m为整数， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最大，最大值为， 则， 答：当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，销售总利润最大，最大利润为5250元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，利润与售价和成本的关系，列二元一次方程组，列一次函数解析式，求一次函数最值，是解题的关键． 2．（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用． (1)设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，列二元一次方程组求出即为甲种水果打折前的售价，根据销售额单价销量即可求出； (2)设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，根据销售额单价销量可得，利用一次函数的性质求出销售额的最大值． 【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克， 根据题意得：， 解得：， ；   （2）解：设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元， 当时， ； 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，, 此时(千克)， 答：电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大．最大销售额为元. 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）合肥市是国家科技创新型试点城市，集成电路和新能源汽车均是主导产业．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和1颗B型芯片共需要550元，购买2颗A型芯片和1颗B型芯片共需要900元． (1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共6000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的2倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，并求出最少资金． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从P地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离P地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是__________． ②当甲、乙两车相距时，x的值是__________． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设购买1颗A型芯片需要m元，购买1颗B型芯片需要n元． 根据题意，得， 解得． 答：购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元． （2）解：设购买A型芯片a颗，则购买B型芯片（6000-a）颗． 根据题意，得， 解得， 设所需资金元，则， ， 随a的增大而增大， ， ∴当时W值最小，（元）． 答：当购买A型芯片4000颗时，所需资金最少，最少资金是1800000元． （3）①乙车的速度为， 当时，， 则甲车的速度为． 故答案为：80． ②， 当时，解得， 与之间的函数关系式为， 与x之间的函数关系式为， 当时，当甲、乙两车相距时，得，即， 解得或5， 当时，当甲、乙两车相距时，得，即， 解得， ∴当甲、乙两车相距时，x的值为1或5或． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）绿波带交通控制方案问题 绿波带是这样一段路：车辆以特定范围匀速行驶时，能连续通过多个绿灯． 如图1，在某段道路上依次有A、B、C、D 四个路口，路口B、C、D和路口A的距离分别为1200米、2100米、3600米． 各路口的交通灯设置及启动时间如下：各路口的绿灯持续30秒，红灯持续30秒，黄灯时长忽略不计，红灯和绿灯依次交替亮起，循环往复．在路口A绿灯亮起10秒后， C、D路口的绿灯同时亮起；A路口的绿灯亮起30秒后路口B的绿灯亮起． 如图2，若汽车在第0秒出发，以“时间”为横轴，“距离”为纵轴，绘制各路口红绿灯时序带（实线段为绿灯时段，虚线段为红灯时段）． (1)CD路口距离 米；在平面直角坐标系中，写出坐标 ； (2)作射线， ①求该射线表示的汽车行驶距离S与行驶时间t的函数关系式； ②通过读图，直接判断该车到达D路口时，路口亮着 （填“红灯”或“绿灯”）； (3)汽车在城市道路安全行驶速度．在（2）的基础上，为了让汽车能绿灯通过D路口，需要在C路口处调整车速，求调整后汽车速度V的取值范围． 【分析】本题主要考查了线段的和差、平面直角坐标系、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据线段的和差以及平面直角坐标系即可解答； （2）①先根据题意画图，再运用待定系数法即可求得函数解析式；②由（1）的结论易得该汽车的行驶速度为，可得当该车到达D路口时，用时，再结合函数图像即可解答； （3）D路口绿灯时段为秒、秒，然后分两种情况并结合安全速度即可解答． 【详解】（1）解：∵路口B、C、D和路口A的距离分别为1200米、2100米、3600米． ∴米，米， ∴米． 由图2可知：的横坐标为，纵坐标为2100，即． 故答案为：1500；． （2）解：①如图： 该射线表示的汽车行驶距离S与行驶时间t的函数关系式，即，解得：， 所以； ②∵， ∴该汽车的行驶速度为， ∴当该车到达D路口时，用时， ∵， ∴直线与的交点位于上，即此时为红灯． （3）解：汽车在第70秒到达C路口，行驶距离米． 为了绿灯通过D路口，需在C路口调整车速，使到达D路口时处于绿灯时段． D路口绿灯时段为秒、秒， 汽车在秒到达C路口，从C到D距离为米． 若要赶上秒的绿灯： 最晚到达时间秒，从C到D用时秒， ∴速度， ∵安全行驶速度：， ∴． 若要赶上秒的绿灯： 最早到达时间秒，从C到D用时秒， ∴速度， ∵安全行驶速度：， ∴． 综上，调整后汽车速度V的取值范围为或． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式． (2)求小明、小丽第二次相遇时的值． (3)当时，若，求的值． 【分析】本题考查一次函数与行程问题，准确理解题意以及掌握一次函数与行程问题的联系是解题的关键． （1）根据图象即题干信息，可得出线段所在直线为正比例函数表达式，结合点的坐标，可求出其函数表达式；根据题意，可得出线段对应的速度，即为一次函数中的值，结合点的坐标，可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，小明、小丽第二次相遇即为点时的状态，结合（1）中的函数表达式，可求出点的横坐标，得其所对应的值； （3）根据题意，可得出当时，恰在线段所在范围内，故，解出对应的值即可． 【详解】（1）解：观察图象，可得线段所在直线为正比例函数表达式，令其表达式为， ∵点， 将点代入， 得， 解得， 故线段所在直线的函数表达式为， 根据题意，可观察出段的速度为， 故段的速度也为， 根据题意可知，点， 故令线段所在直线的函数表达式为， 将代入， 解得， 故线段所在直线的函数表达式为， 综上，线段，所在直线的函数表达式分别为、． （2）解：小明、小丽第二次相遇时即为图中点所对应的值， 故， 得， 解得， 故小明、小丽第二次相遇时的值为． （3）解：当时，得 得此时， 故当时，恰在线段所在范围内， 若，即， ∴， 解得或， 故的值为或． 6．（2025九年级·江苏·专题练习）高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第和第车道的车流量（辆／分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中． 时间 时 时 时 时 时 第车道车流量（辆／分钟） 第车道车流量（辆／分钟） (1)与的函数表达式为______； (2)在时，通过计算判断与的大小关系； (3)如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第和第车道的车流总量为，这两车道中较大的车流量为，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从时至时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用，关键是待定系数法求一次函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，，，即可得出结论； （3）当时，，再结合（2）中的结果，可得当时，；当时，．，当时，；当时，，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为． 由题意可得， 解得：， 与的函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：当时， ，， 与的大小关系为：； （3）解：当时，， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，； 当时，， 时到时，第车道的方向设置为直行；时到时，第车道的方向设置为左转． 7．（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． (1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 【分析】（1）求出三个公司对应的函数表达式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据图象，进行说明即可； （3）分2种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 对于，当时，，当时，； 故过点； 对于，当时，，当时，； ∴过点； 画图如下： （2）解：当时，； 由（1）图可知：当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； （3）解：由题意，当时，，此时， 调整后， 当经过时，则：， 故当时，令，， 当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； 当时，令，，此时， 则当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱． 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）某公司装修需要A型和B型板材，根据以下素材，探索完成任务： 材料一 如图， A型板材规格是； B型板材规格是． 材料二 目前只能购得的标准板材，如图． 材料三 一张标准板材尽可能最多的截出A型、B型板材，有以下三种截法： 截法一：A型1块，B型2块； 截法二：A型2块，B型块； 截法三：A型0块，B型块． 任务一 直接写出材料三中的，的值； 任务二 公司现需要A型板材块，B型板材块． 设按截法一截张标准板材，按截法二截张标准板材，按截法三截张标准板材，且所截出的A、B两种型号的板材刚刚好够用． 分别求出与和与的函数关系式； 任务三 若用表示所购标准板材的张数，求与的函数关系式，并直接指出当取何值时最小，最小值是多少？ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数的值，熟练找出等量关系及一次函数的性质是解题的关键． （1）根据按截法二裁剪时，2块A型板材块的长为，用，与B型板的规格进行比较可得，按截法三裁剪时，3块B型板材块的长为，而4块B型板材块的长为，从而求得； （2）根据按截法一截张标准板材，按截法二截张标准板材，按截法三截张，需用A型板材块、B型板材块，即可找出求出与和与的函数关系式； （3）根据与和与的函数关系式，即可得与的关系，进而求得，当时，最小，把代入即可求得的最小值． 【详解】解：任务一：， ， ，； 任务二：由题意得：，， ，； 任务三：由题意得：， ； x，y，z都是非负整数， ，且为2和3的公倍数， ∴当时，Q取最小值，最小值为． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期末）加密就是将一组明文通过加密规则变成对应的一组密文，密文通过破译也可以得到唯一一组明文．课外小组尝试设计一款加密游戏，明文是从0到9中选取4个互不相等的整数组成的有序数组，加密规则如下： 【感悟与理解】 （1）若明文为，按上述规则，求出对应密文中，的值． 【探究与交流】 （2）小圳认为按照上述规则，一组明文可以得到唯一的一组密文，但破译时，一个密文却可以对应多组明文，不能完成解密．他举出了与（1）中密文对应的另一组明文，请你帮忙补充完整（1， ，2， ）． 【反思与拓展】 （3）小圳分析不能完成破译的原因． ①例如，在已知密文为的情况下，明文中， （用含的代数式表示）， （用含的代数式表示）．消元后，明文中仍含有，两个未知数，没有足够条件确定这两个未知数的值． ②他在原本的加密规则下，定义两个数据：（第一个数与第三个数的差），（第二个数与第四个数的和），结合原本加密规则中的，，组成新的密文（k，b，t，s）： 思考：若密文为，与这组密文对应的明文是否唯一?若唯一，还原出对应的明文，若不唯一，请再举出一组符合要求的明文． 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解明文和密文的关系是解题的关键． （1）依题意得，，利用待定系数法求解即可； （2）由（1）得，求得当和时，的值即可； （3）①由密文为，得到，分别求解即可； ②唯一，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）依题意得，，代入， 得， 解得； （2）由（1）得， 当时，，当时，， ∴另一组明文为， 故答案为：3，5； （3）①∵密文为， ∴， ∴明文中， 当时，，当时，， 故答案为：，； ②唯一，理由如下： 由题意知：，，，， 则， 解得， 将代入，， 解得，， ∴对应的明文． 10．（25-26八年级上·广东佛山·期末）某校教学楼共三层，设有左、右两个楼梯口，通常在放学时，若人流量持续过大，会导致拥堵，从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二楼的七年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟10人递增，5分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟6人递减；位于三楼的八年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟6人递增，5分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递减．忽略在楼梯上的通行时间，若在单个楼梯口等待人数超过70人，就可能出现安全问题． (1)若设在楼梯口等待的人数为（人），时间为（分），试分别写出七、八年级学生和之间的函数关系式，并指出的取值范围． (2)若七、八年级学生同时放学，试计算等待人数超过70人所持续的时间． (3)要使单个楼梯口等待人数不超过70人，则八年级学生最好比七年级迟几分钟放学？ 【分析】本题考查一次函数的实际应用，掌握知识点是解题的关键． （1）分别求出当时，当时相对应的函数关系式，再由，得到，即可求出七年级等待的人数和之间的函数关系式；分别求出当时， 当时，相对应的函数关系式，再由，得到，即可求出八年级等待的人数和之间的函数关系式； （2）根据同时放学，三楼人数为八年级的学生人数，而二楼人数为七，八年级的学生总人数，从而求解即可； （3）设八年级比七年级迟分钟放学，分类讨论：当时，当时，当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：七年级：当时，； 当时，． ， 解得 ∴七年级等待的人数和之间的函数关系式为； 八年级：当时，； 当时，． ， 解得 ∴八年级等待的人数和之间的函数关系式为． （2）解：在分钟内，人数逐渐增加，5分钟后，人数逐渐减少， 当七、八年级学生同时放学，在单个楼梯口等待的总人数为两个年级人数之和， 时，总人数， 时， ，令，则， 解得（时的情况）； ∴，持续时间为：（分钟） ∴等待人数超过70人所持续的时间为分钟． （3）解：设八年级比七年级迟分钟放学． 当时，， 当时总人数最多， 解得 当时，解得， 当时，人数逐渐减少， ∴，即八年级学生最好比七年级迟分钟放学． 11．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）普陀山景区内某公路如图所示，景区内有旅游观光班车，每隔分钟有一班车从入口处发车，沿该公路开往“普济禅寺”，途中停靠“南海观音”上下车时间忽略不计．张明假期到普陀山游玩，到达景区入口处，发现班车发车时间还没到，于是沿该公路步行分钟后到达“南海观音”，了解发现班车较他前分钟到达“南海观音”．张明与班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图所示． (1)求张明步行的速度． (2)求在张明出发之后第一辆班车离入口处的路程米与时间分的函数表达式． (3)张明在南海观音游玩分钟后，步行前往“普济禅寺”，则路中从他后方开来的第一辆班车追上他时距离“普济禅寺”还有多少距离？设每一班车速度均相同，张明步行速度不变 【分析】本题考查利用函数图像求解析式，利用一次函数解决实际问题； （1）利用速度路程时间计算即可； （2）利用函数图像，找到函数上的两个已知点，设出函数关系式求解即可； （3）求出张明从“南海观音”步行前往“普济禅寺”的函数关系式，以及从他后方开来的第一辆班车追上他的班车函数关系式，联立方程求相遇时间和距离即可解答． 【详解】（1）解：张明速度为：（米分钟）； （2）解：张明到达“南海观音”的分钟之前，有一辆班车到达， 则班车到达“南海观音”的时间是张明从入口出发后第（分钟）， 即班车的函数图像经过点，又函数图像经过点， 设函数表达式为， 则，解得：, 即当时，解得， 函数表达式为：； （3）解：设张明从“南海观音”步行前往“普济禅寺”的函数关系式为， ∵张明在“南海观音”游玩分钟， ∴张明从“南海观音”出发的时间是他从入口出发后第（分钟）， 即当时，， 解得：， ， 由（2）可知班车从入口到“南海观音”需要（分钟）， ∵班车每隔分钟有一班车从入口处发车， ∴发车时间是张明从入口出发后第8，18，28，38，48分钟， ∵第38分钟发车的班车于第48分钟到达“南海观音”，与题意不符， ∴从他后方开来的第一辆班车为第48分钟从入口开始发车， 设从他后方开来的第一辆班车追上他的班车函数解析式为，函数图象经过点， ， 解得：， ， 联立两函数解析式，得 ， 解得：， 路中从他后方开来的第一辆班车追上他时距离“普济禅寺”还有的距离为： （米） 答：路中从他后方开来的第一辆班车追上他时距离“普济禅寺”还有米距离． 12．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一次函数的应用重难点题型分类 【题型1：一次函数的应用——图像信息问题 1】 【题型2：一次函数的应用——分配方案问题 7】 【题型3：一次函数的应用——利润问题 11】 【题型4：一次函数的应用——行程问题 16】 【题型5：一次函数的应用——其他问题 21】 【题型6：压轴真题 27】 图像信息问题题型1 1．已知某手机目前电量为，经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：小时）的函数图象分别为图中的线段、．已知该手机正常使用时耗电量为/小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的总时间是小时，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为x分钟，船舱内积水量为y吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，图中的折线表示y与x的函数关系，下列说法中错误的是（   ） A．修船共用了38分钟时间 B．修船过程中排水速度1吨/分 C．修船完工后的排水速度4吨/分 D．最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同 3．材料：甲开汽车，乙骑自行车从A地沿一条笔直的公路匀速前往B地，乙比甲先出发．设乙行驶的时间为，甲，乙两人之间的距离关于时间的函数图象如图所示．根据材料（　　） A．甲行驶的速度是 B．在甲出发后追上乙 C．A，B两地之间的距离为 D．甲比乙少行驶2小时 4．甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．小明根据图象所提供的信息得出了以下4个结论： ①甲登山的速度是每分钟10米； ②乙在地时距地面的高度为30米； ③乙登山6.5分钟时追上甲； ④当甲、乙两人距地面的高度差为50米时，登山时间为乙出发后的4分钟或9分钟． 其中错误的为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； (2)求线段对应的函数表达式； (3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 6．如图（1）是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（两水槽底面积一样，圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上），两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度()与注水时间()之间的关系如图（2）所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)乙槽中圆柱形铁块的高度为 ，点的实际意义为 ； (2)求线段所在直线的表达式； (3)设乙槽的底面积为，圆柱形铁块的底面积为，求的值． 7．为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验．选用的1号气球，2号气球从海拔10米的处同时出发，其中1号气球以8米／秒的速度匀速上升；2号气球以6米／秒的速度匀速上升，30秒时，1号球不再继续上升，悬浮，等2号气球达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为（米），（米），它们飞行的时间为（秒）．（注意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围） (1)点坐标为______； (2)直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数表达式； (3)求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行的时间（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义是什么？ (4)直接写出两个气球从出发到1号气球返回出发点这个时间段里，两球高度之差小于或等于60米的总时长是多少． 8．今年国庆假期，小胡和小周去旅行，小胡骑自行车，小周开汽车，两人从甲地出发到乙地，如图表示两人离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系．小胡出发2小时后途经一集镇停下休息，然后以原速的前行后突然自行车发生故障，小胡立即打电话求助晚出发的小周，此时小周刚好开车行驶到该集镇．小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等．到达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车．之后小周开车以原速一直前行至乙地，小胡则骑自行车以的速度前行至乙地，结果小胡比小周晚到1小时6分钟．    (1)小胡到集镇前的速度是_________；小胡休息了________小时；小胡休息后至自行车发生故障时的骑车速度是_________，这段时间是_________小时． (2)小周开车的速度是多少？小胡比小周早出发多少小时？ (3)请你在图中画出修好自行车后小胡、小周行至乙地的过程中关于的函数图象．（提醒：所画的图象中关键点的坐标必须标出） 9．治疗某种疾病需要同时使用甲乙两种药品，甲药品采用注射的方式给药，乙药品采用口服方式给药．根据临床实验研究数据表明，注射甲药品后，血液中甲药品的浓度（单位：mg/L）随注射时间（单位：h）的变化规律如下表所示，服用乙药品后，血液中乙药品的浓度（单位：mg/L）随服药时间（单位：h）的变化图象如图所示．（图象由两条有公共端点的线段组成） 甲药品的浓度随注射时间的变化情况 注射时间（单位：h） 0 2 4 6 7 甲药品浓度（单位：mg/L） 80 60 40 20 10 (1)当服药时间超过1h时，求血液中乙药品的浓度随服药时间变化的函数关系式； (2)科研人员发现当血液中同时存在两种药品，且乙药品的浓度比甲药品浓度至少高20mg/L时，能够产生较好的疗效，由于药物本身存在副作用，因此在24小时内这两种药品都只能使用一次．请你估计产生较好疗效的时长是否有可能超过6小时，并说明理由． 分配方案问题题型2 1．某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 2．如图，某电信公司提供了，两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间（分）之间的关系，则以下说法正确的是（    ） ①若通话时间少于120分，则方案比方案便宜 ②若通话时间超过200分，则方案比方案便宜 ③通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多 ④当通话时间是170分钟/时，两种方案通讯费用相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．学校今年“十一”期间要组团去北京旅游．与旅行社联系时，甲旅行社提出每人次收300元旅行费，不优惠．乙旅行社提出每人次收350元旅行费，但有3人可享受免费待遇，若不超过3人则正常按人次收费． (1)分别写出甲、乙两旅行社的收费与旅行人数之间函数关系式； (2)如果组织20人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？ (3)如果你是这次旅游的负责人，你会怎样根据出行人数选择旅行社？ 4. 某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 5．“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 6. 为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 7．某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？ 8. 为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 利润问题题型3 1. 我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 2. 无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 3. 某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 4．东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 (1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 5．某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 6．某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， (1)求出与之间的函数关系式； (2)要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？ (3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调()元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这100台家电销售时的最大利润． 7．近年来，云南乘着高质量共建“带一路”的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展．某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成、两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作、两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口、两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表： 每吨需要茶叶原材料 （单位：吨） 到甲地的平均运费 （单位：千元/吨） 到乙地的平均运费 （单位：千元/吨） 款 2 8 5 款 3 6 4 现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口款普洱茶吨，出口、两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为千元． 根据上述信息，解答下列问题： (1)该厂出口的、两款普洱茶分别是多少吨？ (2)若向乙地出口的款普洱茶的重量不超过款普泪茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费最小，最小值是多少？ 8．根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14元/斤．    材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤． 材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者． 任务一 求图中直线函数解析式． 任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？ 行程问题题型4 1. 碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？ 2. 在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示： (1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______； (2)当时，求y关于x的函数表达式； (3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间． 3. 一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 4．甲、乙两地相距．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地，两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息后，提速50％，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地，在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图象． (2)______． (3)已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地处有一个治安警亭． ①若，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是_______． 5．已知A，B两地相距45千米，骑车人与客车分别从A，B两地出发，往返于A，B两地之间．下图中，折线表示某骑车人离开A地的距离y与时间x的函数关系．客车8点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶．（乘客上、下车停车时间忽略不计） (1)在阅读下图的基础上，直接回答：骑车人共休息几次？骑车人总共骑行多少千米？骑车人与客车总共相遇几次？ (2)试问：骑车人何时与客车第二次相遇？（要求写出演算过程）． 6．图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 7．甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (2)对比图1．图2可知： ， ； (3)请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． (4)乙出发 h，甲、乙两人相距？ 8．如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（2）反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： (1)填空： ①食堂离图书馆的距离为________； ②小明从图书馆回家的平均速度是________； ③小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为________． (2)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 其他问题题型5 1．某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的发展，学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球共200个．已知甲种乒乓球的单价为5元/个，乙种乒乓球的单价为7元/个．设购买甲种乒乓球个，这批乒乓球的总费用为元． (1)请求出与的函数表达式； (2)若要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球数量的3倍，该校购进甲，乙两种型号乒乓球各多少个，才能使购买费用最低？最低费用为多少？ 2．随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．通过研究发现新能源汽车的充电量与充电时间之间满足一次函数关系，小杰观察并记录了几组数据如下表： 充电时间 10 20 30 40 50 60 充电量 30 40 50 60 70 80 (1)按照所给数据，求充电量与时间之间的函数表达式； (2)新能源汽车的最大充电量为，当电量剩余时，对汽车开始充电，求电量充满所需要的时间． 3．为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（立方米），应交水费为y（元）． (1)写出某户每月用水量未超过7立方米时，y与x间的函数关系式． (2)写出某户每月用水量超过7立方米时，y与x间的函数关系式． (3)如果小明家某月共交水费14.1元，求小明家这个月用水量为多少？ 4．为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度： 第一套 第二套 椅子高度 40.0 37.0 课桌高度 75.0 70.2 (1)请确定y与x的函数关系式： (2)现有一把高39的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？ 5．已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图）等信息如下： 货运收费项目及收费标准表 运输工具 运输费单价：元/（吨•千米） 冷藏费单价：元/（吨时） 固定费用：元/次 汽车 2 5 200 火车 1.6 5 2280 (1)汽车的速度为多少？火车的速度为多少？ (2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为（元）和（元），分别求、与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (3)当x为何值时，．（总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用） 6． 生活中的数学：古代计时器——漏壶 问题情境 某小组同学根据漏壶的原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时，圆柱容器中已有一部分液体． 实验观察 下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据． 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度 6 8 10 12 14 根据上述的实践活动，解答以下问题． 【探索发现】 （1）①请你根据表中的数据在图2中描点、连线． ②确定与之间的函数关系式． 【结论应用】 （2）当圆柱容器液面高度达到时，时间是多少？ 7．如图①，在中，，于点D．在线段上，动点E以每秒个单位长度的速度从点A出发向终点D运动．连接，以为边作等边（点C，E，F按逆时针顺序排列），连接．设点E的运动时间为t秒，的面积为S，S与t的函数图象如图②所示（S，t均可为0），其中线段所在直线表达式为． (1)当时，点E与点A重合，为等边三角形，如图③， 此时的面积 （直接填空）； (2)当时，连接，如图④． ①此时 （直接填空） ②求线段的长； (3)在点E运动的过程中，若存在两个时刻和，对应的的面积分别为和，当，且时，直接写出的值． 8．5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 压轴真题题型6 一、解答题 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱．已知某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元． (1)求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元； (2)春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润． 2．（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）合肥市是国家科技创新型试点城市，集成电路和新能源汽车均是主导产业．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和1颗B型芯片共需要550元，购买2颗A型芯片和1颗B型芯片共需要900元． (1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共6000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的2倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，并求出最少资金． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从P地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离P地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是__________． ②当甲、乙两车相距时，x的值是__________． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）绿波带交通控制方案问题 绿波带是这样一段路：车辆以特定范围匀速行驶时，能连续通过多个绿灯． 如图1，在某段道路上依次有A、B、C、D 四个路口，路口B、C、D和路口A的距离分别为1200米、2100米、3600米． 各路口的交通灯设置及启动时间如下：各路口的绿灯持续30秒，红灯持续30秒，黄灯时长忽略不计，红灯和绿灯依次交替亮起，循环往复．在路口A绿灯亮起10秒后， C、D路口的绿灯同时亮起；A路口的绿灯亮起30秒后路口B的绿灯亮起． 如图2，若汽车在第0秒出发，以“时间”为横轴，“距离”为纵轴，绘制各路口红绿灯时序带（实线段为绿灯时段，虚线段为红灯时段）． (1)CD路口距离 米；在平面直角坐标系中，写出坐标 ； (2)作射线， ①求该射线表示的汽车行驶距离S与行驶时间t的函数关系式； ②通过读图，直接判断该车到达D路口时，路口亮着 （填“红灯”或“绿灯”）； (3)汽车在城市道路安全行驶速度．在（2）的基础上，为了让汽车能绿灯通过D路口，需要在C路口处调整车速，求调整后汽车速度V的取值范围． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式． (2)求小明、小丽第二次相遇时的值． (3)当时，若，求的值． 6．（2025九年级·江苏·专题练习）高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第和第车道的车流量（辆／分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中． 时间 时 时 时 时 时 第车道车流量（辆／分钟） 第车道车流量（辆／分钟） (1)与的函数表达式为______； (2)在时，通过计算判断与的大小关系； (3)如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第和第车道的车流总量为，这两车道中较大的车流量为，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从时至时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 7．（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． (1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）某公司装修需要A型和B型板材，根据以下素材，探索完成任务： 材料一 如图， A型板材规格是； B型板材规格是． 材料二 目前只能购得的标准板材，如图． 材料三 一张标准板材尽可能最多的截出A型、B型板材，有以下三种截法： 截法一：A型1块，B型2块； 截法二：A型2块，B型块； 截法三：A型0块，B型块． 任务一 直接写出材料三中的，的值； 任务二 公司现需要A型板材块，B型板材块． 设按截法一截张标准板材，按截法二截张标准板材，按截法三截张标准板材，且所截出的A、B两种型号的板材刚刚好够用． 分别求出与和与的函数关系式； 任务三 若用表示所购标准板材的张数，求与的函数关系式，并直接指出当取何值时最小，最小值是多少？ 9．（25-26八年级上·广东深圳·期末）加密就是将一组明文通过加密规则变成对应的一组密文，密文通过破译也可以得到唯一一组明文．课外小组尝试设计一款加密游戏，明文是从0到9中选取4个互不相等的整数组成的有序数组，加密规则如下： 【感悟与理解】 （1）若明文为，按上述规则，求出对应密文中，的值． 【探究与交流】 （2）小圳认为按照上述规则，一组明文可以得到唯一的一组密文，但破译时，一个密文却可以对应多组明文，不能完成解密．他举出了与（1）中密文对应的另一组明文，请你帮忙补充完整（1， ，2， ）． 【反思与拓展】 （3）小圳分析不能完成破译的原因． ①例如，在已知密文为的情况下，明文中， （用含的代数式表示）， （用含的代数式表示）．消元后，明文中仍含有，两个未知数，没有足够条件确定这两个未知数的值． ②他在原本的加密规则下，定义两个数据：（第一个数与第三个数的差），（第二个数与第四个数的和），结合原本加密规则中的，，组成新的密文（k，b，t，s）： 思考：若密文为，与这组密文对应的明文是否唯一?若唯一，还原出对应的明文，若不唯一，请再举出一组符合要求的明文． 10．（25-26八年级上·广东佛山·期末）某校教学楼共三层，设有左、右两个楼梯口，通常在放学时，若人流量持续过大，会导致拥堵，从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二楼的七年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟10人递增，5分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟6人递减；位于三楼的八年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟6人递增，5分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递减．忽略在楼梯上的通行时间，若在单个楼梯口等待人数超过70人，就可能出现安全问题． (1)若设在楼梯口等待的人数为（人），时间为（分），试分别写出七、八年级学生和之间的函数关系式，并指出的取值范围． (2)若七、八年级学生同时放学，试计算等待人数超过70人所持续的时间． (3)要使单个楼梯口等待人数不超过70人，则八年级学生最好比七年级迟几分钟放学？ 11．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）普陀山景区内某公路如图所示，景区内有旅游观光班车，每隔分钟有一班车从入口处发车，沿该公路开往“普济禅寺”，途中停靠“南海观音”上下车时间忽略不计．张明假期到普陀山游玩，到达景区入口处，发现班车发车时间还没到，于是沿该公路步行分钟后到达“南海观音”，了解发现班车较他前分钟到达“南海观音”．张明与班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图所示． (1)求张明步行的速度． (2)求在张明出发之后第一辆班车离入口处的路程米与时间分的函数表达式． (3)张明在南海观音游玩分钟后，步行前往“普济禅寺”，则路中从他后方开来的第一辆班车追上他时距离“普济禅寺”还有多少距离？设每一班车速度均相同，张明步行速度不变 12．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 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