期末复习：勾股定理的实际应用、勾股定理为背景的材料阅读类问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦勾股定理实际应用与材料阅读，通过生活情境与信息迁移题构建从具象到抽象的知识应用体系，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理的实际应用|3例+3变式|含物理实验、梯子滑动、台风影响等生活情境题|以构造直角三角形为核心，从静态距离计算到动态运动分析，体现实际问题数学化的建模过程| |勾股定理为背景的材料阅读类问题|3例+3变式|涵盖坐标系距离公式、赵爽弦图、k倍平方和三角形等信息迁移题|从公式推导到新定义应用，融合数形结合与知识迁移，深化勾股定理与代数、几何的内在联系|

期末复习：勾股定理的实际应用、勾股定理为背景的材料阅读类问题专项训练 期末复习：勾股定理的实际应用、勾股定理为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 勾股定理的实际应用 勾股定理为背景的材料阅读类问题 考点一 勾股定理的实际应用 例1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【详解】（1）解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． （2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 例2．（25-26八年级下·天津静海·期中）如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为． (1)求梯子底端与地面的距离的长； (2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端向后滑动了多少米？请通过计算解答． 【答案】(1)； (2)米． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 答：梯子底端与地面的距离的长为； （2）解：由题意可知，梯子的顶端下滑了到达点，则， 在中，， ， 答：梯子的底端向后滑动了米． 例3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 变式1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，测量结果如表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，并多出了一段，用皮尺测出的长度，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 6米 … … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到）． 【答案】(1)学校旗杆的高度为 (2)五星红旗升起的平均速度不小于，且不大于 【分析】（1）设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）根据速度路程时间，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴学校旗杆的高度为； （2）解：96厘米米， 米， ， ， 故五星红旗升起的平均速度不小于，且不大于． 变式2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 变式3．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 考点二 勾股定理为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26八年级下·广东广州·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：       (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为__________； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值． (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用两点之间距离公式，将，代入公式，直接求出即可； （2）作点B关于x轴的对称点连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值即为线段的长度，根据两点间的距离公式，进而求出的最小值； （3）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：作点B关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段的长度， ∵点与点关于x轴对称， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：代数式，表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知点在以和为端点的线段上时，其距离之和最小， ∴， ∴代数式的最小值为． 例2．（24-25八年级下·江西南昌·阶段检测）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务．小明在课外数学书中看到一条有意思的结论：三角形一个内角的平分线截其对边所成的两条线个角的两邻边对应成比例．例如：如图1，的角平分线，交于点，则． 证明：如图2，过点作于点，过点分别作于点于点． 平分， ．（依据） ， 整理，可得． 任务： (1)材料中的依据是_______． (2)若材料中的，则的长为_______． (3)如图3，在中，，，，平分，交于点，请用材料中的方法，求的长． 【答案】(1)角平分线的性质 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理即可得出答案； （3）设，则，利用进行求解即可； （3）过点作于点，再利用勾股定理得出的值，最后利用题中的结论得到，得出答案即可． 【详解】（1）解：由平分，，， 可得．其依据是：角平分线的性质， 故答案为：角平分线的性质； （2）解：设，则， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，过点作于点， 平分，， ，，， ， 由（1）知， ， ． 例3．（24-25八年级上·上海·期中）利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键． （1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）以直角斜边长c为中间留白部分正方形的边长构造即可； （3）根据图形结合完全平方公式证明即可； （4）利用勾股定理和完全平方公式说明即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）解：画图为 （3）证明：大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以整理得． （4）解：由（3）可知， 因为， 所以，， 利用完全平方公式，可得 所以直角三角形的面积为． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉． 例如：已知，求的值． 解：． ∵，∴， 材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，推出，求出，，即可解决问题． （2）由代数式，可知求代数式的最小值，可以转化为找一点，使得点到，的距离之和最小，这个最小值要求的最小值，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解： 而可看作到，的距离之和，如图： 根据两点之间，线段最短可知，当点在点，组成的线段上时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 变式2．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 【答案】(1)说明见解析 (2)平方和的方和倍的值是1或7 (3) 【分析】（1）根据k倍“平方和”三角形的定义说明即可； （2）先求出，再分情况讨论即可； （3）根据勾股定理可知，进而分当时，当时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴该三角形是1倍平方和三角形； （2）解：根据勾股定理，得，即， ①， 方和倍； ②， 方和倍； ③，不等于60的正整数倍； ∴平方和的方和倍的值是1或7； （3）解：在中，， ； 根据“是4倍平方和三角形”，再分两种情况考虑： ①当时， 将代入，得， ； 又， 不合题意，舍去； ②当时， 将代入，得， ， ， ， ． 变式3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：勾股定理的实际应用、勾股定理为背景的材料阅读类问题专项训练 期末复习：勾股定理的实际应用、勾股定理为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 勾股定理的实际应用 勾股定理为背景的材料阅读类问题 考点一 勾股定理的实际应用 例1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 例2．（25-26八年级下·天津静海·期中）如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为． (1)求梯子底端与地面的距离的长； (2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端向后滑动了多少米？请通过计算解答． 例3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 变式1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，测量结果如表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，并多出了一段，用皮尺测出的长度，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 6米 … … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到）． 变式2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 变式3．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 考点二 勾股定理为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26八年级下·广东广州·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：       (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为__________； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值． (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 例2．（24-25八年级下·江西南昌·阶段检测）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务．小明在课外数学书中看到一条有意思的结论：三角形一个内角的平分线截其对边所成的两条线个角的两邻边对应成比例．例如：如图1，的角平分线，交于点，则． 证明：如图2，过点作于点，过点分别作于点于点． 平分， ．（依据） ， 整理，可得． 任务： (1)材料中的依据是_______． (2)若材料中的，则的长为_______． (3)如图3，在中，，，，平分，交于点，请用材料中的方法，求的长． 例3．（24-25八年级上·上海·期中）利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉． 例如：已知，求的值． 解：． ∵，∴， 材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值． 变式2．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 变式3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $