专题07 一次函数【重难点培优：知识梳理+11大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版八年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 以知识梳理构建方法体系，以题型分类深化逻辑应用，聚焦一次函数抽象能力、几何直观与推理意识培养，契合中考命题趋势。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|5大方法|两直线位置关系判定、k值几何意义、图像共存判断法、面积公式/割补法、函数与不等式转化|从概念（位置关系、k/b意义）到方法（图像分析、面积计算），形成“性质-应用”逻辑链| |题型分类|11类（含压轴真题）|含参问题参数讨论、分段函数图像分析、动点问题动态建模、几何综合辅助线构造|按“基础应用-综合拓展-压轴突破”递进，覆盖中考高频考点，实现方法迁移与能力提升|

专题07 一次函数知识梳理 1、两直线的位置关系： 两直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2 两直线平行时 k1=k2 两直线垂直时 k1k2=－1 关于y轴对称 y=kx+b和y=－kx+b 关于x轴对称 y=kx+b和y=－kx－b 2、关于k：|k|越大，一次函数图像越接近y轴，倾斜程度越大（越抖）。 3、判断两个一次函数的图像能否共存的方法： ① 正比例函数与b≠0的一次函数图像共存：经过原点的是正比例函数图像； ② 两个b≠0的一次函数图像共存：任选一个图像设其表示的函数为y1，另一个为y2，再依次观察选项中的函数图像，判断出k，b的符号。 4、一次函数中面积的求法： ① 公式法（直接求） ② 割补法（间接求） 5、一次函数与一元一次不等式的关系：ax+b＞0（a≠0）的解集 ax+b＞cx+d（a≠c，且ac≠0）的解集 y=ax+b的函数值＞y=cx+d时x的取值范围 y=ax+b的函数值＞0时x的取值范围 y=ax+b的图像位于x轴上方的点横坐标的取值范围 y=ax+b在y=cx+d的上方的点横坐标取值范围 重难点题型分类 【题型1：一次函数中的含参问题 2】 【题型2：一次函数中图像共存问题 4】 【题型3：一次函数中分段函数问题 6】 【题型4：一次函数中面积问题 8】 【题型5：一次函数中动点问题 11】 【题型6：一次函数中最值问题 13】 【题型7：一次函数中定值问题 15】 【题型8：一次函数中存在性问题 17】 【题型9：一次函数与方程、不等式综合 19】 【题型10：一次函数与几何综合 21】 【题型11：压轴真题 24】 一次函数中的含参问题题型1 1．关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 3. 已知是一次函数，则的值是 4. 当 时，函数是一次函数． 5. 已知函数是一次函数，则 ． 6. 若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 7. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 8. 设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 9．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 一次函数中图像共存问题题型2 1. 一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2. 下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A． B． C． D． 3．已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 一次函数中分段函数问题题型3 1．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为4，从顶点出发沿正方形的边运动，路线是，设点经过的路程为，的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 3．甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：A．；B．；C．甲的速度为8米/秒；D．当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒；其中不正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2 D．3个 4．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识，采摘园推出的方案是：采摘的数量超过后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量与所付金额（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（   ） A． B． C． D． 5．小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是 米； (2)小明在文具店停留了 分钟； (3)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (4)交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 6．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用y由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元/张，黑白页元/张．印刷费与印数的关系如下表． 印数（千册） 彩色（元/张） 黑白（元/张） (1)印制这批纪念册需制版费多少元？ (2)求出关于的函数表达式． (3)如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围（精确到千册） 一次函数中面积问题题型4 1．如图所示，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于，两点． (1)求直线与交点的坐标． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)求四边形的面积． 2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线m与直线n交于点． (1)求直线n的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)若点E在直线m上，且使得，求点E的坐标． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式： (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积： (3)在轴负半轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式及的面积； (2)若点在直线上，的面积与的面积相等，请求出此时点的坐标． 5．如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标； (3)如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 一次函数中动点问题题型5 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点，点的解． (1)请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S； (3)在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等． 2．如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ (2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是？ 3．如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 一次函数中最值问题题型6 1．如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 2．如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D． 【基础问题】 （1）求m，n的值； 【问题拓展】 （2）若P为直线上一点，当线段长度最小时，求出此时点P的坐标，并求出此时线段长度最小值． 3．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，与正比例函数的图象交于点C，将点C向右平移1个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点D． (1)求的周长及点D的坐标； (2)若点P是y轴上一动点，当最小时，求点P的坐标； (3)若点Q为平面内一点，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 一次函数中定值问题题型7 1．如图，已知直线经过点，交轴于点，轴于点，为线段的中点，动点从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿轴正方向运动，连接，过点作直线FC的垂线交轴于点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求证：； (2)连接CD，若的面积为，求出与的函数关系式； (3)在运动过程中，直线CF交轴的负半轴于点，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．                      图1                                  图2 (1)求直线的表达式； (2)若，点为直线上一点，且平分，求的坐标； (3)如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由； ②点从运动到的过程中，点的运动路径长为__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点（点不与，重合），以为斜边在直线的右侧作等腰． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，点是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 一次函数中存在性问题题型8 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求点B与点C的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 2．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，．    (1)求直线的解析式； (2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； (3)如图2，在轴负半轴有一点，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．    3．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点． (1)求的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）． 一次函数与方程、不等式综合题型9 1．一次函数与的图像如图所示，下列说法①；②；③两个函数都是随的减小而增大；④的解集为；⑤．其中正确的是 ．（请填写序号）． 2．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④其中正确的是 ． 3．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．其中正确的有 ．（填上正确的序号）    4．平面直角坐标系中，直线与相交于点，有下列结论：    ①关于x，y的方程组的解是； ②关于x的不等式的解集是； ③关于x的方程的解是； ④． 其中，正确的是 （填写序号）． 5．如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中，所有正确结论的序号是 ．    6．如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋b（n≠0）的交点的横坐标为－2，有下列结论：①当x＝－2时，两个函数的值相等；②b＝4n；③关于x的不等式nx＋b＞0的解集为x＞－4；④x＞－2是关于x的不等式－x＋m＞nx＋b的解集，其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 一次函数与几何综合题型10 1．如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 2．如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是． (1)求点B的坐标； (2)已知点D是线段上一个动点，若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 3．如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值． 4．【问题提出】 已知直线的图象与轴、轴分别交于，两点． （1）如图①，当时，在第二象限构造等腰直角，，则点的坐标为__________； （2）如图②，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变化，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，长方形是某植物园一块郁金香种植区的平面示意图，经测量，米，米．现要在植物园修建一座凉亭点（凉亭大小忽略不计），并从种植区边沿出发修建两条通往凉亭的小路以便游客观赏．为方便确定点的位置，将长方形以原点为坐标原点，以所在边为轴，所在边为轴，建立平面直角坐标系．考虑植物园的整体布局，确定将凉亭点建在直线上比较美观．计划将点作为一条小路路口，在线段上找的一点作为另一条小路路口，要求凉亭点到两路口距离相等，且，求所有满足条件的点的坐标． 压轴真题题型11 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边，使得点落在第一象限，连接，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象，若该图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，已知长方形，动点从点处出发沿的路径向终点运动，设动点的运动路程为的面积为，图2反映了与之间的函数关系，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．当时，或 5．（25-26八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 二、填空题 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛．下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系．根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为 s． 8．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x，y轴于点A，B，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于点C，D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线．若一次函数的图象为直线l，点O关于直线l的对称点F恰好落在射线上，则b的值为 ． 9．（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点关于点的“逆和差变化”点的坐标为，则关于的“逆和差变化”点的坐标为 ；若点关于点的“逆和差变化”点在直线上，其中，则k的取值范围为 ． 三、解答题 10．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D；直线的函数表达式为，与x轴交于点A；与交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求的面积． (3)若是直线上的点，P为线段上的一个动点，且．求点P的坐标． 11．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，点在一次函数图象上，垂直轴于点，点为线段上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)求，的值； (2)是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当、、或者、、不共线时，请直接写出，和之间的数量关系． 12．（25-26八年级上·四川成都·期末）直线：交轴于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)延长线段到点，使，轴上有一动点，当最小时，求点坐标； (3)定义：若四边形有两个内角是直角，则称该四边形是双直四边形．若轴上有一点，为平面内一点，当四边形是双直四边形时，求点的坐标． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标； (3)点E是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 14．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴，轴于，两点，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴上一动点． (1)求点的坐标与直线的解析式； (2)若，求的值； (3)如图，连接，，将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上，求此时点的坐标． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【知识回顾】 如图1，是的中线，在图中过点作于点． 是的中线 据此可得结论： 三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【定义运算】 一条直线将一个三角形的面积分成两部分，若两部分的面积比为时，我们称这条直线整分三角形． 例如，如图2，在中，直线交边于点，交边于点，若，我们则称直线整分． 【理解内化】 （1）如图3，在中，经过点的直线交边于点，若，的面积是24，则_____． 【综合应用】 （2）如图4，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，过点的直线整分，求直线对应的函数表达式． 【拓展延伸】 （3）在（2）问题中，若直线平行于直线，且直线整分，你认为直线是否存在？若存在，请直接写出所有符合条件的直线对应的函数表达式；若不存在，请说明理由． 16．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，一次函数的图象与，轴分别相交于点，（点在轴的正半轴上），这两个一次函数的图象相交于点． (1)若点的坐标为， ①求一次函数的表达式； ②求点的坐标； (2)如图，在（）的条件下，一束光线从点出发，先后经过在镜面的点处和镜面的点处反射后正好通过原点（温馨提示：，），当光线所经过的路径的总长为时，请直接写出此时的值． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数重难点题型分类 【题型1：一次函数中的含参问题 1】 【题型2：一次函数中图像共存问题 6】 【题型3：一次函数中分段函数问题 11】 【题型4：一次函数中面积问题 16】 【题型5：一次函数中动点问题 24】 【题型6：一次函数中最值问题 30】 【题型7：一次函数中定值问题 35】 【题型8：一次函数中存在性问题 45】 【题型9：一次函数与方程、不等式综合 52】 【题型10：一次函数与几何综合 56】 【题型11：压轴真题 65】 一次函数中的含参问题题型1 1．关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】①时，，因自变量x前面的系数不为0，则函数为一次函数，故①正确； ②无论k取什么值，时，总有，故函数过，故②正确； ③图像不经过第一象限，即图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，解得：，故③错误； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故④正确． 故选：C． 2．已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 3. 已知是一次函数，则的值是 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ． 4. 当 时，函数是一次函数． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， ， 故答案为：． 5. 已知函数是一次函数，则 ． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得， 故． 故答案为：． 6. 若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴函数的解析式为， ∵，， ∴函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 7. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 8. 设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∴当时，，解得：， 当时，随的增大而减小， ∴当时，，解得：（舍去）； 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【解题过程】 （1）解：将、代入函数表达式可得： ， 解得， 则函数的表达式为， 依题得，过点且平行于轴的直线为， 是该函数与过点且平行于轴的直线的交点， ， 解得，， 即． （2）解：当直线过点时， 即把代入， 得， ， 当时，对于的每一个值，的值大于的值，   ， 解得， 当与直线平行时，， 此时，满足条件， 且当时，不满足条件， 即． 一次函数中图像共存问题题型2 1. 一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 故选：D． 2. 下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点， ∴B，D错误； ∵一次函数， ∴图象与y轴交点为，与x轴的交点为， ∵， ∴即交点位于x轴的正半轴上， ∴A错误，C正确． 故选C． 3．已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、如图：当一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，此时的图象也经过第一、二、三象限，所以A选项不符合题意； B、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以B选项符合题意； C、如图：当一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，此时的图象经过第一、三、四象限，所以C选项不符合题意； D、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以D选项不符合题意； 故选：B． 4．两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】A、的图象过一二三象限，所以，；的图象过二三四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； B、的图象过一二三象限，所以，；的图象过一三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； C、的图象过一三四象限，所以，；的图象过一二四象限，所以，，两个图象判断a、b的取值一致，故该选项符合题意； D、的图象过一二四象限，所以，；的图象过二三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故选项A不符合题意； B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故选项B不符合题意； C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数经过二、三、四象限，故选项C不符合题意； D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故选项D符合题意． 故选：D． 6．在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵正比例函数与一次函数的比例系数都是， ∴两直线平行， ∴排除选项C和选项D， ∵当时，经过一、二、三象限，当时，经过二、三、四象限， ∴排除B选项，正确答案为A选项． 故选：A． 一次函数中分段函数问题题型3 1．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：过作于点，由函数图象可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，正方形的边长为4，从顶点出发沿正方形的边运动，路线是，设点经过的路程为，的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：当点在时，则：时， ， 图象为过原点，方向向上的一条直线的一部分， 当点在上时，则：， ， 图象为平行于轴的一条直线的一部分， 当点在上时，则：， ， 图象为方向向下的一条直线的一部分， 综上，满足题意的只有选项A的图象； 故选A． 3．甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：A．；B．；C．甲的速度为8米/秒；D．当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒；其中不正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2 D．3个 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为(米/秒)，故错误； 乙的速度为(米/秒)， ∴，故错误，正确； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 当两人相遇前相距米时，得， 解得， 两人相遇后相距米时，得， 解得， ∴当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒，故错误； 则不正确的有3个， 故选：D． 4．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识，采摘园推出的方案是：采摘的数量超过后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量与所付金额（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：根据图示，当时，， ∵王师傅用100元购买葡萄， ∴王师傅购买的葡萄数量应超过， 已知点， ∴设由此函数解析式为：， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵王师傅用100元购买葡萄， ∴，解得：， ∴王师傅购买的数量为． 故选：B ． 5．小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是 米； (2)小明在文具店停留了 分钟； (3)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (4)交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【详解】（1）解：由图象可得，小明家到学校的路程是1800米， 故答案为：1800； （2）解：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：3； （3）解：本次上学途中，小明一共行驶了： （米）， 故答案为：3000； （4）解：当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 15千米/时米/分， ∵， ∴在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内． 6．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用y由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元/张，黑白页元/张．印刷费与印数的关系如下表． 印数（千册） 彩色（元/张） 黑白（元/张） (1)印制这批纪念册需制版费多少元？ (2)求出关于的函数表达式． (3)如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围（精确到千册） 【详解】（1）解：制版费：(元)， 答：印制这批纪念册的制版费为元； （2）解：当时，； 当时，， 关于的函数表达式为； （3）解：当时，， 解得：， ； 当时，， 解得， ， 印数的取值范围为或． 一次函数中面积问题题型4 1．如图所示，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于，两点． (1)求直线与交点的坐标． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵直线：过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式是， 解方程组， 得：， ∴点的坐标是； （2）由图象可知：当时，的图象在的图象的上方， ∴不等式的解集； （3）对于直线， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，点到轴的距离为， ∴， ∴四边形的面积为． 2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线m与直线n交于点． (1)求直线n的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)若点E在直线m上，且使得，求点E的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴把代入， 得，解得， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得； ∴直线的函数表达式． （2）解：在中，令， 得， ∴， ∴； （3）解：当点在直线的下方时， ， 点到直线的距离等于点到直线的距离， 直线为：， 解，得， 点的坐标为， 当点在直线的上方时， 则过点与直线平行的直线交轴于点，则有， ∴， ∴， ∴过点与直线平行的直线的解析式为， 联立方程， 解得， 点的坐标为． ∴点的坐标为或． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式： (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积： (3)在轴负半轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：设， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由题意得， ∴可分两种情况考虑， 如图所示．当时， ∴点的坐标为； 当时， ， ∴点的坐标为． 综上所述：在轴负半轴上存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式及的面积； (2)若点在直线上，的面积与的面积相等，请求出此时点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的函数关系式为：， 把分别代入得 , 解得：． 则直线的函数关系式为：； ，当时，， ， ， 的面积． （2）解：如图所示，点， ， ， 的面积与的面积相等， 到轴的距离点的纵坐标2， 点的横坐标为2或； 当的横坐标为2时， 在中，当时，，则的坐标是； 当的横坐标为时， 在中，当时，，则的坐标是． 综上所述：点的坐标为或． 5．如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标； (3)如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 把代入得， ， 直线的解析式为； （2）在中，令，则， ， 在中，令，则， ， ∴ 设， ， ，或 解得或， 或； （3）在中，令，则， ， ， 设， 过Q作轴于， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 点的坐标为． 一次函数中动点问题题型5 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点，点的解． (1)请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S； (3)在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 当时，点P在x轴的正半轴，此时， ∴； 当时，点P在x轴的负半轴，此时， ∴； 终上所述，； （3）解：当时，，此时， ∵点B的坐标为，， ∴， 如图，当点M在上时， ∴， 即，解得：， 此时点M运动的时间为； 如图，当点M在上时，过点M作轴于点N，此时点M到x轴的距离为，即， 根据题意得：， 在中，， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴点M运动的时间为； 综上所述，点M运动或秒时，与的面积相等． 2．如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ (2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是？ 【详解】（1）解：由图2知，点P运动3秒时到达B点， 又∵点P的运动速度是秒， ∴． 又∵， ∴． 又∵四边形是长方形， ∴． ∴， ∴（秒）． ∴点P从点A出发，经过11秒后到达点D． （2）解：由（1）知，， 当点P在上运动时，的面积恒为：． 又，故不符合题意； 当点P在边上时， ， （秒）． 当点P在边上时， ， （秒）． 综上所述，经过秒或秒后三角形的面积恰好是． 3．如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 【详解】（1）解：在中，令得, ∴， 把代入得： 解得， ∴的值为； （2）解：设, 在中，令得， ∴, 在中，令得， ∴， ∴，，； 当，为腰时，， 方程无解，这种情况不存在； 当，为腰时，， 解得或， ∴是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为或 （3）解：当在直线右侧时，如图： ∵， ∴轴， 在中，令得， 解得， ∴； 当在左侧时，设交轴于，如图： ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 由，得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 综上所述，的坐标为或． 一次函数中最值问题题型6 1．如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入直线的表达式为：， 即直线的表达式为：， 当时，，即点， 将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 故直线的表达式为：； （2）存在，理由： 当点线段在上时， 当和的面积比为，则， 则， 当， 解得：， 则点的坐标为：； 当点在点的上方时， 则点是的中点， 由中点坐标公式得：点； 综上，点的坐标为：或； （3）设点， 过点作轴于点，过点作轴于点， ，则， ， ， ，， ， 则，， 则点的坐标为：， 则点在直线①上，设该直线分别交轴于点，以为边向右作正方形，由直线的表达式轴， 其和轴负半轴的夹角为，则点落在直线上，点关于直线的对称点为点， 由直线知，点，则，则点， 连接交直线于点，则此时，周长最小， 理由：周长为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：， 解得：， 则点的坐标为：． 2．如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D． 【基础问题】 （1）求m，n的值； 【问题拓展】 （2）若P为直线上一点，当线段长度最小时，求出此时点P的坐标，并求出此时线段长度最小值． 【详解】解：∵点在直线上， ∴ ∴，         ∴                                 ∵点在直线上上， ∴ ∴．                                 （2）过点A作直线的垂线，垂足为P，此时线段最短，过点P作y轴的垂线，垂足为M．             ∴， 由直线知，时， 时， ∴点，点                     ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴                                 由直线知，当时，， 即直线与y轴交点， ∴ ∴， ∴，                         ∴，                                 ∴．                            ∴ 3．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，与正比例函数的图象交于点C，将点C向右平移1个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点D． (1)求的周长及点D的坐标； (2)若点P是y轴上一动点，当最小时，求点P的坐标； (3)若点Q为平面内一点，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 【详解】（1）解：对于函数 ， 当时， ， 当时，，解得：， 、， 在中，， 的周长为， 联立，解得， 点坐标为， 又将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点， 点坐标为； （2）解：作点关于 轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时最小， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 的坐标为， 即当最小时，点的坐标为； （3）解：分三种情况： ①当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， ∵， ∴，， ∵， ∴向右平移2个单位，向上平移3个单位，可得， ∵ ∴， ②当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， 同理可得点； ③当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， 同理可得点； 综上，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，点Q的坐标为或或． 一次函数中定值问题题型7 1．如图，已知直线经过点，交轴于点，轴于点，为线段的中点，动点从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿轴正方向运动，连接，过点作直线FC的垂线交轴于点，设点的运动时间为秒．    (1)当时，求证：； (2)连接CD，若的面积为，求出与的函数关系式； (3)在运动过程中，直线CF交轴的负半轴于点，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）证明：连接，如图    直线经过点， ， 解得： 直线， 当时，；当时，； ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 为线段的中点， ，， ， ， 在和中 ， ， （2）当时，连接，如图所示∶    由题意得：，，由（1）得： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 得面积， ， ， 当时，连接，如图    由题意得：，，由（1）得： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 得面积， ， ， 综上所述，与的函数关系式为： （3）的定值为，理由如下： 当时，如图所示：    当设直线的解析式为，， ，F为线段的中点， ， 把点代入得， 解得： 直线CF的解析式为：， 当时，， ， ， ； 当时，如图所示：    同理可得： ， 综上所述，的定值为 2．如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．                      图1                                  图2 (1)求直线的表达式； (2)若，点为直线上一点，且平分，求的坐标； (3)如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由； ②点从运动到的过程中，点的运动路径长为__________． 【详解】（1）解：∵，的坐标为，， ∴，， ∴，， ∴的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为：， ∵直线的解析式为：过和， ∴， 解得， ∴； （2）解： 又 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 是的中点， 设直线的解析式为：， ∵直线的解析式为：过和， ∴， 解得， ∴表达式为：， 设直线为：， ∵直线为：过和， ∴， 解得， ∴表达式为： 联立 解得， ， 设 ， 解得， ∴； （3）解：①作，，垂足为、， （Ⅰ）当在上方时， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， ∴， ， 轴， （Ⅱ）当在下方 同理证得 ∴在经过点且平行于轴的直线上运动 ∴； ②当与点重合时，点与点重合，点与点重合， 由①得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当与点重合时，、、三点重合， 由①得， ∴， ∴点M的运动路径长为． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点（点不与，重合），以为斜边在直线的右侧作等腰． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，点是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：在中， 令，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 设直线发表达式为， 则 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）设， 在等腰中， ， ∵点，， ∴， ∴， 在中， 令，得， 解得， ∴点的坐标为， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴，    ∴点的坐标为； （3）的大小是定值，， 理由如下： 延长到点，使得，连接，， 设，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，       ∴． 一次函数中存在性问题题型8 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求点B与点C的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）当时，， ， 当时，， ， ， ， ， ； （2），动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， ， ， ，且； （3）存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 解得； 如图2，当时，过点作轴交于点， 同理可得， ，， ， ， 解得； 综上所述：的值为或5． 2．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，．    (1)求直线的解析式； (2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； (3)如图2，在轴负半轴有一点，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ， ， ， ， 将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：． （2）联立方程组：， 解得：， ∴， ， ∴， 过点作轴垂线交于点，如图： 设，则， ， ∴， 或， ∴或． （3）存在，理由如下： 由（1）得：， 令，则， ， ， ， ， ， ， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， ∵将直线平移过点得直线，直线的解析式， ∴设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式为：． 当时，， ∴， 当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接并延长交于点M，如图所示： ∴， ∴， ∴，符合题意， 设直线的函数解析式为，将点B、M代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立， 解得：， ∴； 当点M在y轴左侧时，过点B作轴交交于点M，如图所示： ∵， ， ， ∵，直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， 综上可得：或 ． 3．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点． (1)求的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）． 【详解】（1）∵直线 与x轴交于点A，且经过定点， ∴， 解得：， ∴直线． ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴， 对于直线，令，得到， ∴， ∴． 对于直线，令，得到， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：在x轴上存在一点E，使的周长最短． 如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短． 根据轴对称图形的性质可知的坐标为． 设直线的函数解析式为． 将代入，得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为． 令，得到， 解得，， ∴点E的坐标为． （3）解：，，， ， 当为平行四边形的边时，， ∴ ∴点的横坐标为：或， 点Q的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， 点C向右平移2个单位，向下平移2个单位到点A， 则点D向右平移2个单位，向下平移2个单位到点Q， ∴点Q的坐标为，即； 综上，点Q的坐标为或或． 一次函数与方程、不等式综合题型9 1．一次函数与的图像如图所示，下列说法①；②；③两个函数都是随的减小而增大；④的解集为；⑤．其中正确的是 ．（请填写序号）． 【详解】解：由函数图像可得：， ∴，故①错误，②正确； 由函数图像可得：两个函数都是随的减小而增大，即③正确； 由函数图像可知不等式的解集为，故④正确； 由函数图像可知：一次函数与的图像交点的横坐标为，则，即，即⑤正确； 综上正确的有②③④⑤． 故答案为：②③④⑤． 2．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④其中正确的是 ． 【详解】解：由图象可得：，，，，两直线交点的横坐标为4， ， 对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确； ，， 函数经过第一、二、三象限，故②错误； 由图可得，当时，直线在直线的上方， 的解集为， 的解集是，故③正确； 两直线交点的横坐标为4， ， ，故④正确； 综上可知，正确的有①③④． 3．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．其中正确的有 ．（填上正确的序号）    【详解】解：因为正比例函数经过二、四象限，所以，①正确； 一次函数经过一、二、三象限，所以，②错误； 由图象可得：不等式的解集是，③正确； 当时，，④错误； 故正确的有①③共2个， 故答案为：①③． 4．平面直角坐标系中，直线与相交于点，有下列结论：    ①关于x，y的方程组的解是； ②关于x的不等式的解集是； ③关于x的方程的解是； ④． 其中，正确的是 （填写序号）． 【详解】∵直线与相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是，关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是， 当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故， 故①②③正确；④错误， 故答案为：①②③． 5．如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中，所有正确结论的序号是 ．    【详解】由一次函数图像可知：，，由一次函数图像可知：，所以①错误， ∴，故②正确， 观察图像交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图像位于图像上方，即当时，，故③错误，同时因为交点横坐标为1，代入两解析式可得，故④正确， 由当时一次函数图像上的对应点在第三象限，即时，代入得：，即，故⑤正确， 故答案为②④⑤． 6．如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋b（n≠0）的交点的横坐标为－2，有下列结论：①当x＝－2时，两个函数的值相等；②b＝4n；③关于x的不等式nx＋b＞0的解集为x＞－4；④x＞－2是关于x的不等式－x＋m＞nx＋b的解集，其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【详解】解：①∵直线y=-x+m与y=nx+b（n≠0）的交点的横坐标为-2， ∴当x=-2时，两个函数的值相等，结论①正确； ②∵点（-4，0）在直线y=nx+b上， ∴-4n+b=0， ∴b=4n，结论②正确； ③∵当x＞-4时，直线y=nx+b在x轴上方， ∴关于x的不等式nx+b＞0的解集为x＞-4，结论③正确； ④∵当x＞-2时，直线y=nx+b在直线y=-x+m的上方， ∴x＞-2是关于x的不等式-x+m＜nx+b的解集，结论④错误． 故答案为：①②③． 一次函数与几何综合题型10 1．如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【详解】（1）解：， 令，则；，则； ，； （2）解：，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综合上述，点P的坐标为或或或． 2．如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是． (1)求点B的坐标； (2)已知点D是线段上一个动点，若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 【详解】（1）解：点A坐标是，点O坐标是， ， 平行四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：点是线段上一个动点， 设， 是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时，则点在的垂直平分线上， ； ③时， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图：连接交于， 平行四边形， 点A坐标是，点坐标是， ， 由于正好将平行四边形分成面积相等的两部分， 直线过， ， ， 故． 3．如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值． 【详解】（1）解：当时，点分别在上运动，连接 ∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发， ∴ 又∵ ∴等边三角形， ∴ 当时，点分别在上运动， ∵四边形是菱形，是边长为的菱形， ∴， ∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发， ∴ ∴ ∴等边三角形， ∴ ∴ （2）如图所示， 该函数是轴对称图形，对称轴是直线； 该函数在自变量范围内有最值，当或时，函数有最小值；当时，函数有最大值； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （选择其中之一即可） （3）解：当时，     当时，， 当时，，解得： ∴或 4．【问题提出】 已知直线的图象与轴、轴分别交于，两点． （1）如图①，当时，在第二象限构造等腰直角，，则点的坐标为__________； （2）如图②，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变化，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，长方形是某植物园一块郁金香种植区的平面示意图，经测量，米，米．现要在植物园修建一座凉亭点（凉亭大小忽略不计），并从种植区边沿出发修建两条通往凉亭的小路以便游客观赏．为方便确定点的位置，将长方形以原点为坐标原点，以所在边为轴，所在边为轴，建立平面直角坐标系．考虑植物园的整体布局，确定将凉亭点建在直线上比较美观．计划将点作为一条小路路口，在线段上找的一点作为另一条小路路口，要求凉亭点到两路口距离相等，且，求所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）如图①，过点作轴于点， 当时，直线的解析式为， 令，则，令，则， 解得：， ，， ，， 在等腰直角中，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）的面积不变， 如图②，过点作轴于点， 在中，令，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即的面积不变，其面积为； （3）如图③，过点作轴于点，并延长交于点， 则， 米，米， ， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 由题意可得：， 在和中， ， ， ，即， 解得：， ， ． 压轴真题题型11 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 【分析】本题主要考查了通过函数图象解决几何问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 通过函数图象获取信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米， 当时，的面积为平方米， 该选项正确，不符合题意； B.假设运动速度为米／秒，， 结合图象可得，，联立两个方程可得， ， 该选项正确，不符合题意； C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒， ∴， ∴长方形的周长为米， 该选项正确，不符合题意； D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米， 当的面积增加为2平方米时，， 解得； 当的面积减少为2平方米时，， 解得； ∴这两个时刻之和为， 该选项错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边，使得点落在第一象限，连接，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质及轴对称-最短路线问题，根据点的运动先证明点在直线上运动，再根据轴对称最值问题，作点关于直线的对称点，连接，求出的长即可． 【详解】解：如图，作，边交直线于点，作直线， 由直线可知，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 轴，即点在直线上运动， 过点作关于直线的对称点，连接，即为所求最小值， 此时，在中，，， ， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象，若该图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解题意，能根据一次函数的增减性列出符合题意的不等式组．根据题意，直线的图象沿x轴翻折后的函数关系式是，两函数与x轴的交点坐标为，且对，当时；对，当时，；据此列出不等式组，再求解即可． 【详解】解：根据题意，直线的图象沿x轴翻折后的函数关系式是， 把代入得：， 解得：， ∴两函数与x轴的交点坐标为：， 对，当时； 对，当时，； 可列出不等式组， 解得：． 故选：A． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，已知长方形，动点从点处出发沿的路径向终点运动，设动点的运动路程为的面积为，图2反映了与之间的函数关系，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．当时，或 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，勾股定理，由图2可知，当时，点P运动到点B，当时，点P运动到点C，当时，点P运动到点D，据此可得的长，利用勾股定理可求出的长，据此可判断A、B、C；当时，点P在上运动，则，当时，点P在上运动，则， 当时，点P在上运动，则，据此可判断D． 【详解】解：由图2可知，当时，点P运动到点B， 当时，点P运动到点C， 当时，点P运动到点D， ∴ 由长方形对边相等可得，， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论错误，符合题意； 如图1所示，连接， 在中，由勾股定理得，故C结论正确，不符合题意； 当时，点P在上运动，则， 当时，； 当时，点P在上运动，则，此时不满足； 当时，点P在上运动，则， 当时，； 综上所述，当时，或，故D结论正确，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系，对于一次函数（k为常数，）图像与k、b的关系是解题的关键． 根据一次函数图像与系数的关系判断两个函数的图像对应解析式中m的符号，再看是否存在矛盾即可解答． 【详解】解：A．一次函数的图像经过第二、三、四象限，则；一次函数的图像经过第一、三、四象限，则，不存在矛盾，符合题意； B．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； C．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； D．一次函数的图像经过第一、三、四象限，则；一次函数的图像经过第二、三、四象限，则，二者存在矛盾，不符合题意． 故选：A． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 【分析】根据一次函数的定义，函数中的最高次数必须为，且一次项系数不为．因此，需使含的项的系数为或指数为或，并确保整体函数为一次函数． 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴需考虑的情况： 情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数； 情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 其他情况均不满足一次函数定义； 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛．下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系．根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为 s． 【分析】本题考查一次函数的应用．由图象交点个数可知比赛途中两组同学相遇了2次，然后根据待定系数法分别求出函数解析式，求解交点坐标即可． 【详解】解：如图， ， 设段的函数表达式为， 把和代入， 得， 解得， ∴函数段的解析式为； 设段的函数表达式为， 把和代入， 得， 解得， ∴函数段的解析式为； 同理段的函数表达式为； 当时，甲乙在比赛途中相遇， 即， 解得； 当时，甲乙在比赛途中相遇， 即， 解得， 甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为， 故答案为：14． 8．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x，y轴于点A，B，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于点C，D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线．若一次函数的图象为直线l，点O关于直线l的对称点F恰好落在射线上，则b的值为 ． 【分析】如图，记一次函数的图象与坐标轴的交点分别为，过作于，连接，求解，，可得，同理可得：，证明，再利用三角形的面积进一步求解即可. 【详解】解：如图，记一次函数的图象与坐标轴的交点分别为，过作于，连接， ∵， 当，则， 当，则， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵点O关于直线l的对称点F恰好落在射线上， ∴，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，角平分线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，作出合适的辅助线是解本题的关键. 9．（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点关于点的“逆和差变化”点的坐标为，则关于的“逆和差变化”点的坐标为 ；若点关于点的“逆和差变化”点在直线上，其中，则k的取值范围为 ． 【分析】本题考查平面直角坐标系中的新定义坐标变换，以及一次函数与不等式组的综合应用． （1）根据“逆和差变化”的定义，代入坐标计算即可得到变换后的点坐标； （2）先求出点的“逆和差变化”点坐标，代入直线方程后，通过方程变形得到关于的表达式，再结合的取值范围分情况解不等式，从而推导的取值范围． 【详解】解：根据“逆和差变化”定义，将与代入， 得，，故变化点坐标为； 点关于的“逆和差变化”点坐标为，化简得， 代入直线得：， 整理得到：，∴，且． ∵，∴， ∴当，即时，不等式组为，解得； 当，即时，不等式组为，解得． 综上，的取值范围为或． 故答案为：；或． 三、解答题 10．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D；直线的函数表达式为，与x轴交于点A；与交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求的面积． (3)若是直线上的点，P为线段上的一个动点，且．求点P的坐标． 【分析】本题考查了两条直线相交问题，求交点坐标，及求三角形面积． （1）根据两直线解析式，列二元一次方程组求交点坐标； （2）根据两直线解析式，求出两直线分别与轴的交点、的坐标，进而计算的长，结合点的坐标得的高，从而计算的面积； （3）先求出点坐标，设得，，根据得，从而计算的值，进而表示出的坐标． 【详解】（1）解：根据题意，可列方程组， 解得， ； （2）解：对于， 当时，，解得，， 对于， 当时，，解得，， ， ； （3）（3）在直线上，，解得 设则，， ， 即， ， 解得， ． 11．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，点在一次函数图象上，垂直轴于点，点为线段上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)求，的值； (2)是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当、、或者、、不共线时，请直接写出，和之间的数量关系． 【分析】本题主要考查一次函数，图形折叠以及直角三角形的相关知识． （1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将点的横坐标代入解析式求出的值即可解答； （2）分三种情况讨论为直角三角形时的情况，即，（点在点上方）和（点在点下方），通过构建直角三角形，利用勾股定理求出点的坐标即可解答； （3）分三种情况讨论：点落在直线和直线之间，点落在直线的上方和点落在直线的下方，通过作辅助线，利用平行线的性质和折叠的性质得出，和之间的数量关系． 【详解】（1）解：把点代入函数得：， 解得， 所以一次函数关系式为， 把代入得， 所以； （2）解：由（1）可知， ∴， ①当时，如图1， 轴，， ， ，， ， 设，则，， 在中，，即， 解得， ， ； ②当且点在点上方时，如图2， 由题易知， 在中，，即，解得， ． 设，则，， 在中，，即， 解得， ， ； ③当且点在点下方时，如图3， 同②可得， ， 为的垂直平分线， 点与原点重合， ， 综上可知，或或； （3）解：当、、或者、、不共线时， ，和之间的数量关系为：或或，理由如下： ①当点落在直线和直线之间时，如图4， 过点作平行于轴， 易知， ，． ； ②当点落在直线的上方时，如图5， 过点作平行于轴， 易知， ，， ； ③当点落在直线的下方时，如图6， 过点作平行于轴， 易知， ，， ， 综上所述，当、、或者、、不共线时， ，和之间的数量关系为或或． 12．（25-26八年级上·四川成都·期末）直线：交轴于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)延长线段到点，使，轴上有一动点，当最小时，求点坐标； (3)定义：若四边形有两个内角是直角，则称该四边形是双直四边形．若轴上有一点，为平面内一点，当四边形是双直四边形时，求点的坐标． 【分析】本题考查了一次函数的待定系数法、轴对称求最短路径、中点坐标公式、勾股定理以及分类讨论思想的综合应用，关键是将几何问题转化为代数方程问题求解，同时结合“双直四边形”的定义做到分类讨论不重不漏． （1）利用直线上两个已知点的坐标，代入一次函数的一般式，通过解二元一次方程组求出斜率和截距，进而确定直线解析式； （2）先根据线段中点的性质求出点的坐标，再利用轴对称的性质将转化为对称点到的距离，结合“两点之间线段最短”，求出对称点与点连线的直线解析式，该直线与轴的交点即为所求点； （3）先设出点的坐标，利用勾股定理表示出相关线段的平方，再根据“双直四边形”的定义分三种两个内角为直角的情况，分别列出方程组，求解后舍去点重合的增根，得到点的所有可能坐标． 【详解】（1）解：将点、代入， 得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，即点是线段的中点，设， 根据中点坐标公式，，，解得，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， ∵， ∴， 根据两点之间线段最短，当为与轴的交点时，取得最小值； 设直线的解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的解析式为； 令，则，解得， ∴点的坐标为； （3）解：设，已知，，， 由勾股定理得， ， ， ， ，， ①当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②化简得， 代入①，整理得，解得(舍去，此时与重合)或， 将代入，得， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由④化简得， 代入③，整理得，解得或(舍去，此时与重合)， 将代入，得， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 由⑤化简得，由⑥化简得， 联立解得， ∴； 综上所述，的坐标为或或． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标； (3)点E是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【分析】（1）由待定系数法可求出答案； （2）根据三角形的面积可求出点的纵坐标，代入直线的解析式可得出答案； （3）分四种情况画出图形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质可求出答案． 【详解】（1）解：直线：分别与轴，轴交于两点， 在中，当时，， 点坐标为， 点在轴正半轴上，， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的函数表达式为； （2）解：直线：分别与轴，轴交于两点， 在中，当时，， 解得， ， ， ， ， ， ， 由题意知，点在轴下方， ， ， ， 把代入， ， 解得， ； （3）解：若点在轴的正半轴，如图， 是以为底边的等腰直角三角形， ， ， 直线的解析式为， 时，， ， ， ， ； 若点在轴的负半轴，如图， 同理可得， ， ； 若点在轴的负半轴，如图， 过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 设，则， ， 解得， ， ， ； 若点在轴的正半轴，如图， 过点作轴于点， 同理可得， ， ， ， ， ， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，面积的计算等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质． 14．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴，轴于，两点，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴上一动点． (1)求点的坐标与直线的解析式； (2)若，求的值； (3)如图，连接，，将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上，求此时点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求得，即可得点坐标，再利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点在轴的负半轴时，，过点作于点，利用点的坐标和勾股定理表示出线段，，，，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论；当点在轴的正半轴时，，作出点关于轴的对称点，过点作于点，类比的解法解答即可； （3）过点作于点，轴于点，过点作于点，利用点的坐标和勾股定理表示出线段，，，，利用等腰直角三角形的性质求得，，利用勾股定理表示出，列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ，解得， ． 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：当点在轴的负半轴时，，过点作于点，如图， 对于直线， 令，则， ， ， ， ， ， ． ，， ， ，． ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； 当点在轴的正半轴时，，作出点关于轴的对称点，过点作于点，如图， 则，， ， ． ，， ， ，． ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 综上，若，的值为； （3）解：过点作于点，轴于点，过点作于点，如图， ， ， 对于直线， 令，则， ， ， ， ，，， ，， ， ， 将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【知识回顾】 如图1，是的中线，在图中过点作于点． 是的中线 据此可得结论： 三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【定义运算】 一条直线将一个三角形的面积分成两部分，若两部分的面积比为时，我们称这条直线整分三角形． 例如，如图2，在中，直线交边于点，交边于点，若，我们则称直线整分． 【理解内化】 （1）如图3，在中，经过点的直线交边于点，若，的面积是24，则_____． 【综合应用】 （2）如图4，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，过点的直线整分，求直线对应的函数表达式． 【拓展延伸】 （3）在（2）问题中，若直线平行于直线，且直线整分，你认为直线是否存在？若存在，请直接写出所有符合条件的直线对应的函数表达式；若不存在，请说明理由． 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据，设，，进而得，由此得，进而可得的值； （2）先求出，设过点O的直线m与相交于点E，设直线m的表达式为，再分两种情况讨论如下：①当时得，，由三角形的面积公式得，，则点，然后利用待定系数法可得直线m的表达式为；②当时得，，由三角形的面积公式得，，则点，然后利用待定系数法可得直线m的表达式为，综上所述即可得出直线m对应的函数表达式； （3）依题意得，先利用待定系数法求出直线的表达式为，设直线m的表达式为，其中，直线m交于点M，交于点N，进而得点，点，则，，由三角形面积公式得，再分两种情况讨论如下：①当时得，则，解出，得直线m的表达式为；②当时得，则，解出，得直线m的表达式为，综上所述即可得出直线m对应的函数表达式． 【详解】解：（1）∵， ∴设，， ∴， ∵的面积是24， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：8； （2）∵直线与x轴、y轴分别交于，两点， ∴，， ∴， 设过点O的直线m与相交于点E， 设直线m的表达式为：， 过点E作于点F，于点H， ∵直线m整分， ∴有以下两种情况： ①当时，如图4①所示： 设，， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点E的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线m的表达式为：； ②当时，如图所示： 同①得，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点E的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线m的表达式为：， 综上所述：直线m对应的函数表达式为或； （3）在（2）问题中，， 设直线的表达式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵直线m平行于直线， ∵设直线m的表达式为：，其中， 设直线m交于点M，交于点N， 对于，当时，， 当时，， 解得：， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∴，， ∴， ∵直线m整分， ∴有以下两种情况： ①当时，如图所示： 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴设直线m的表达式为：； ②当时，如图所示： 同①得：， ∴， 解得：， ∴设直线m的表达式为， 综上所述：直线m的表达式为或． 16．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，一次函数的图象与，轴分别相交于点，（点在轴的正半轴上），这两个一次函数的图象相交于点． (1)若点的坐标为， ①求一次函数的表达式； ②求点的坐标； (2)如图，在（）的条件下，一束光线从点出发，先后经过在镜面的点处和镜面的点处反射后正好通过原点（温馨提示：，），当光线所经过的路径的总长为时，请直接写出此时的值． 【分析】本题考查一次函数解析式求解、两直线交点坐标计算，以及轴对称性质与两点距离公式在路径最短问题中的应用． （）先将一次函数所过的两点坐标代入解析式，通过解方程组求出一次函数表达式；再联立该一次函数与另一直线的方程，求解方程组得到两直线交点的坐标； （）利用轴对称性质(对称点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等)，作O关于的对称点，得；针对光线反射的路径最短问题，先利用轴对称性质作出点关于直线、点关于直线的对称点和，将路径转化为线段的长度；先通过直线求出,得为等腰直角三角形，;由，可得，即，同理可得：,，即，代入两点距离公式列方程，求解得到的值． 【详解】（1）解：①将和代入， 得，解得：， 所以， ②∵是一次函数的图象和一次函数的图象的交点， ∴点处的意义即为此时是一次函数的图象和一次函数的函数值相等， ∴， 解得，， ∴点的横坐标为， 将代入得，， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：根据光线反射的性质，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接,， ∵， ∴，即， ∵直线：，直线的斜率为， 令，得， 解得：，即点， ∴， 令，得，即点， ∴， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∵点关于直线的对称点， ∴ ∴， ∴， ∴可得， ∵直线：， 同理可得：, ∵点 ∴ ∴， 根据两点距离公式：， ∴， 即：， ∵， 当时，； 当时，（舍去）； ∴． 1 / 100 学科网（北京）股份有限公司 $