旋转中的全等三角形综合问题、折叠中的全等三角形综合问题专项训练-2026年中考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦旋转与折叠两种图形变换，通过12道综合题构建全等三角形应用体系，强化空间观念与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |旋转中的全等三角形|3例+3变式|含动态旋转（如60°/90°旋转）、多问递进（判断形状-数量关系-最值计算）|旋转性质→对应边/角相等→全等判定（SAS/ASA）→线段/角度关系推导| |折叠中的全等三角形|3例+3变式|涉及矩形/三角形折叠、对称性质应用（如中点折叠-外部落点-最值探究）|折叠性质→轴对称全等→对应边/角转化→方程思想解决线段关系|

旋转中的全等三角形综合问题、折叠中的全等三角形综合问题专项训练 旋转中的全等三角形综合问题、折叠中的全等三角形综合问题专项训练 考点目录 旋转中的全等三角形综合问题 折叠中的全等三角形综合问题 考点一 旋转中的全等三角形综合问题 例1．（2026·山西大同·模拟预测）综合与探究 问题情境： 综合与探究课上，同学们以直角三角形纸片的平移、旋转变化开展数学活动探究，其中． 操作探究： 如图1，将三角形纸片沿方向平移得到，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)当时，停止平移，然后将绕点顺时针旋转得到，其中点E，F的对应点分别为G，H． ①如图2，当点C在线段上时，延长交边于点P，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②若，，当直线与垂直时，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形为矩形． 理由如下： 由平移的性质，得，， 四边形是平行四边形． 又， ∴平行四边形是矩形． (2)①． 证明：由平移的性质，得， ． 由（1）得，四边形为矩形． ． 又， ，   ， ． 由旋转的性质，得，，， ，， ， ， ． ②或． 【分析】（1）先根据平移后的对应点所连线段平行且相等，得到四边形是平行四边形，又有一个角是，那么这个平行四边形是矩形． （2）①利用平移后对应线段平行、平行线内错角相等、等边对等角、旋转的性质对应边相等、对应角相等，再利用的等角的性质和等角的补角相等，得到证明与全等的条件，证出对应边相等． ②运用分类讨论思想，分别画出符合题意的图形，结合旋转的性质，得到对应边相等，矩形的对边相等，在运用勾股定理求斜边的长度． 【详解】（1）略 （2）①略 ②，， ． 分两种情况讨论： 如图3-1，绕点D顺时针旋转得到，交于点M． 由旋转的性质得，，，， 由（1）得四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理，得． 如图3-2，绕点D逆时针旋转得到，延长交直线于点N． 同理可得，，， ， 在中，根据勾股定理得，． 综上所述，的值为或． 例2．（2026·重庆·三模）在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． (1)如图1，点、分别在线段、上，连接，，满足，若，求的度数（用的代数式表示）； (2)如图2，在（1）的条件下，点在射线上，连接并延长至点，使，连接．满足，，请用等式表示，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，，点为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，，之间的数量关系为， 证明：延长、交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先求出，再结合三角形内角和定理可得，由求出，最后再由平角的定义计算即可得出结果； （2）延长、交于点，过点作交于点，导角得出，由等腰对等角并结合题意得出，证明，得出，即为的中点，由直角三角形的性质求出，再证明，得出，，，最后再证明，得出，即可得证； （3）求出，，，由旋转的性质可得，，从而可得点在直线上运动，且，由折叠的性质可得，，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称的性质可得，，，求出，，，作交的延长线于，则，，，由勾股定理可得，连接，交直线于，交于点，当点、、在同一直线上时，的值最小，为，连接，作于点，则，证明，求出，最后由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，，之间的数量关系为， 证明略； （3）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵点为直线上一动点，且， ∴当点在的中点时，如图中的，由（2）可得此时点在的延长线上，且，作直线， ∴垂直平分， ∴，， 当点与点重合时，如图中的点，此时，， ∴， ∴， ∴， ∴，即点为的中点， ∴点在直线上，即点在直线上运动，且， ∵将沿所在直线翻折到所在平面内，得到， ∴，， ∵点为直线上一动点， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得，，， ∵， ∴， ∴，， 作交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴连接，交直线于，交于点，当点、、在同一直线上时，的值最小，为， 连接，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 例3．（2026·河北衡水·二模）如图1和图2，在矩形中，，，点E为边中点，把绕点E顺时针旋转（）得到，连接，过E点作交矩形边于F点，连接，，设点F运动的路径长为x． (1)求证：； (2)直接写出线段的最小值，并求当时，的度数； (3)当点落在边上时，求x的值； (4)当时，直接写出点到的距离（用含x的式子表示）． 【答案】(1)证明见解答 (2)的最小值为4， (3)或 (4) 【分析】（1）根据旋转和等腰三角形的性质利用证明，即可解题； （2）分点在上、点在边上、点在上三种情况分别计算最小值，然后利用（1）中的全等三角形的性质解题即可； （3）分点在上、点在边上两种情况画图，利用相似三角形的判定和性质和勾股定理解题即可； （4）过点作交和于点，推导，然后根据得到结果． 【详解】（1）证明：由旋转可得， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：当点F在上时，的最小值为长， 即， 当点F在边上时，即当时最小， 即， 当点F在上时，即当F点在点C时最小， 即， ∴最小值为4； 当时， ， 根据（1）得到， ∴， ∴； （3）解：如图，当点F在上时，连接， 由（1）得，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可得， ∴， ∴ ， ∴点F运动的路径长； 如图，当点F在上时，过点E作于点G， 则四边形是矩形， ∴，， 由（1）可得，，， ∴， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点落在边上时，x的值为或7； （4）解：如图，当时，过点作交和于点M，N， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 由（3）可得， ∴， 即， ∴， ∴，整理得， ∴； 当 时，如图，过点作交和于点M，N， 则，， 设，则， 由（3）可得， ∴， 即， ∴， ∴，整理得， 解得， ∴点到的距离为． 变式1．（2026·河南平顶山·二模）如图1，等边三角形的顶点在等边三角形的边上，点在下方．将绕点沿顺时针方向旋转，旋转角为（且），直线，交于点，连接． (1)观察猜想 当时，如图2，用等式表示线段，，的数量关系：______． (2)类比探究 当时，如图3，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且是直角三角形时，若，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)不成立，正确结论为，见解析 (3)的面积为或 【分析】（1）通过证明，构造，推出为等边三角形，进而证得； （2）同（1）构造，推出为等边三角形，进而证得； （3）分点在左侧和右侧两种情况，结合勾股定理、全等三角形、三角函数等计算的面积． 【详解】（1）解：，均是等边三角形， ，，， ， ， ． 如图1，延长到点．使，连接，则； 又， ， ，， ， 是等边三角形， ， ． （2）不成立，正确结论为． 理由如下： ，均是等边三角形， ，，， ， 在和中 ， ． 如图2，延长到点，使，连接，则． 又， ， ，， ， 是等边三角形， ， ． （3）的面积为或． 分两种情况讨论． ①当点在左侧，且时．，如图3， 则，． 又，， ， ， ， ， ， ， ． ②当点在右侧，且时，，如图4， 同理可得，，，， ， ， ． 综上可知，的面积为或． 变式2．（2026·山东德州·模拟预测）在锐角中，，，射线与交于点，在上任取一点，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)如图1，若，线段与重合，点在线段延长线上时，请直接写出＝ °，与的数量关系是 ； (2)如图2，若点M在线段上，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，时，试探究当为多少时，是等腰三角形． 【答案】(1)； (2)仍然成立． 理由：如图1，在中， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转，， ， ， 即， ， ， ． (3)当时，是等腰三角形 【分析】（1）先证，可得，由 可得． （2）可由，得到，即可求得． （3）分三种情况讨论等腰三角形：①②③，借助，再结合，结合锐角三角形的条件，即可得解． 【详解】（1）解：， 与的数量关系：． 理由如下： 线段绕点逆时针旋转 30 ° 得到， ， ，又， 得到， ．  ， ， ． （2）略． （3）解：时，是等腰三角形． 如图2，延长到点，使得，连接， ， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当， 是等边三角形， ， ， 即是等腰三角形． 变式3．（2026·重庆沙坪坝·一模）在中，，，点是上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，点在边上，，连接．若，求的长度； (2)如图2，点是的中点，，点在边上，点在射线上，连接，，．若，．求证：； (3)点在直线上，，点在边上，且．是直线上一点，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）因为是等腰直角三角形，，所以先利用勾股定理求出的长度．因为绕A逆时针旋转得到，所以，又，可推出，进而证明，得到，从而得出．先求出的长度，再在中用勾股定理求出的长度． （2）因为D是中点，是等腰直角三角形，所以，，．因为，可考虑构造全等三角形，在上截取，证明，得到．结合已知角的关系，推导与的关系，再证明，得到，进而证明． （3）因为，所以，先确定点H的位置．由翻折可知，所以点P在以H为圆心，1为半径的圆上，根据点与圆的位置关系，当H、P、E三点共线时，取最小值．结合，旋转得到，分析相关角度和线段长度，进而求出的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，​， ∴． （2）证明：如图，延长至点K，使得，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， ∴， ∵，D是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：把放在平面直角坐标系中，顶点在原点，所在直角为x轴， 则， ∴， ∵，，点D在直线上运动， ∴点E在直线上运动，直线与直线成角， ∴，设垂足为L， 过点H作于点J，过点D作于点I， 则， ∵， ∴四边形是矩形， 当点D在中点时，，， ∴点E在点L位置， 此时，， ∴， ∵， ∴， 由轴对称知，， ∴点P在以H为圆心，以1为半径的圆上运动， 当点E在点J位置，且点P在上时， ，最小， 此时， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 两边平方得， 化简得， 解得（舍去），， ∴， ∵， ∴． 考点二 折叠中的全等三角形综合问题 例1．（2026·福建泉州·一模）如图，小明利用折叠矩形纸片进行数学探究活动： 第一步：先折叠矩形纸片，确定边的中点，连接； 第二步：将沿折叠至处，点与点对应．连接，延长交于点； 第三步：点是边上一点，连接，将沿折叠，且点与点重合．    (1)求证：； (2)求的值； 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ，   ， 由图形折叠的特征可得：，， ． (2) 【分析】（1）利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，再结合两次折叠的角平分线特征，证明两角相等； （2）解法：通过设参数表示线段长度，利用定理证明直角三角形全等，结合（1）的结论证明平行线，再通过相似三角形的比例关系求解线段比值； 解法：利用折叠的直角性质证明三点共线，结合矩形对边平行与折叠的等角性质，证明等腰三角形，再通过设参数建立线段关系，求解线段比值． 【详解】（1）略 （2）解：连接．    解法： 设，，则，． ， ， 易得， ， ， ， ， ， 由（1），得， ， ， ，即， ， ， ， ． 解法：由图形折叠的特征可得：，，   ， ， 三点共线， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， ． 例2．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到，再证明即可； （2）证明，则，再对运用勾股定理求解即可； （3）当时，可得四边形是矩形，则，然后可得 为等腰直角三角形，则；当时，连接，过点作于点，先得到三点共线，求出，则，再证明，设，则，根据相似三角形的性质求解，最后由勾股定理求解得到． 【详解】（1）证明：连接，如图②： 由第一次折叠可得，， ∵四边形是矩形， ∴ 由第二次折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图③： 由②得，， ∴ ∵矩形， ∴，， ∴ 由折叠可得， ∵ ∴ ∴， 由（1）得， ∴ ∴ ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ∴ ∵矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，平分 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当时，连接，过点作于点， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， 同上可证明四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， 由（1）得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得 ∴， 综上：当为直角三角形时，则的长为或． 例3．（2026·河南商丘·一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． (1)【操作发现】 第一步：在矩形中，是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点．如图1，连接，则的度数为__________，用等式表示线段，，之间的数量关系：__________． (2)【类比探究】 第二步：更换另一张矩形纸片，仍然是边的中点，将沿所在直线折叠，此时点落在矩形的外部．如图2，判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并证明． (3)【拓展应用】 在矩形中，若，，是直线上的一动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，请直接写出线段的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)结论仍然成立，见解析 (3)线段的最小值是2，最大值是8 【分析】（1）由题易知，进而可证出，可得；再证明，即可得解第二空； （2）同（1）的方法即可解答； （3）由题意可得点在以为圆心，长度为半径的圆上，根据点到圆的距离，即可解答． 【详解】（1）解：在矩形中，， 由折叠可知，， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ； （2）解：两个结论依然成立； 证明：如图，连接， 在矩形中，， 由折叠可知，， ，，， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：将沿所在直线折叠， 点在以为圆心，长度为半径的圆上， 如图， ，， ， 当点在线段上时，即图中处，最小，为， 当点在线段延长线上时，即图中处，最大，为， ∴线段的最小值是2，最大值是8． 变式1．（2025·山东济宁·二模）综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． (3)拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，求的长． 【答案】(1)解：，理由如下， 如图所示，连接， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， ， 点是的中点， ， ， 又， ， ； (2)解：，证明如下： 如图所示，连接， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可得， 点是的中点， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）连接，利用矩形的性质，折叠的性质，证明即可． （2）连接，利用平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，证明即可． （3）利用矩形的性质，折叠的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ． 变式2．（2026·海南·模拟预测）如图，在中，，，于点，是边上一点，将沿折叠，点落在点位置． (1)求证：； (2)在折叠过程中，求点与点之间的最小距离； (3)在折叠过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围； (4)如图，已知与边交于点，若，直接写出点到的距离． 【答案】(1)见解析； (2) (3) (4) 【分析】（）根据等腰三角形的性质得出，然后通过“”证明即可； （）连接，，则，当点落在上时，点与点之间距离最小，由四边形是平行四边形，则，，所以，求出，从而求得； （）先求出当点落在上时，；当点落在上时，连接交于点，，从而得出的取值范围为； （）延长交于点，延长交延长线于点，连接，根据折叠得，再证明四边形是矩形，所以，又，，所以，则，即，则有，通过勾股定理得，再证明，所以，最后通过线段的和与差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，连接，， 由折叠得，， 则， 当点落在上时，点与点之间距离最小， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的最小距离为； （3）解：如下图，当点落在上时， 由折叠得，，平分， ∴， 又由（）得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如下图，当点落在上时，连接交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为； （4）解：如下图，延长交于点，延长交延长线于点，连接， 由折叠，得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 变式3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）【定义新知】 如图1，将矩形纸片沿BE折叠，点A的对称点F落在BC边上，再将纸片沿CE折叠，点D的对称点也与F重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形()，这个三角形称为叠合三角形．类似地，对多边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合矩形． (1)图1中叠合的底边BC与高EF的长度之比为_______； (2)将纸片按图2中的方式折叠成一个叠合矩形，若AD=13，MN=5，求叠合矩形的面积； 【问题解决】 (3)已知四边形ABCD纸片是一个直角梯形，满足，，AB 点F为BC的中点，EF⊥BC，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形． ①如图3，若线段EF是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出AB和CD的长； ②如图4，若线段EF是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此时AB和CD的长． 【答案】(1)2：1； (2)60； (3)①，；②，． 【分析】（1）根据条件可得四边形为全等的正方形，即可求解； （2）证，结合勾股定理即可求解； （3）根据【定义新知】结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得 ： 故四边形为全等的正方形 故的底边BC与高EF的长度之比为： （2）解：由四边形是叠合矩形，可得． 易得 ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴． 在和中， ∴ ∴， ∴ ∵ ， ∴叠合矩形的面积 （3）解：①叠合正方形的示意图如图1所示    由折叠的性质可得 由平行线分线段成比例可得 ∵四边形EFCG是叠合正方形， ∴, ∴ ∴ ②叠合正方形EGFH的示意图如图2所示.作于点N, 由题意可得E是AD的中点，    ， ∴ ∴ ∴ 2 学科网（北京）股份有限公司 $旋转中的全等三角形综合问题、折叠中的全等三角形综合问题专项训练 旋转中的全等三角形综合问题、折叠中的全等三角形综合问题专项训练 考点目录 旋转中的全等三角形综合问题 折叠中的全等三角形综合问题 考点一 旋转中的全等三角形综合问题 例1．（2026·山西大同·模拟预测）综合与探究 问题情境： 综合与探究课上，同学们以直角三角形纸片的平移、旋转变化开展数学活动探究，其中． 操作探究： 如图1，将三角形纸片沿方向平移得到，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)当时，停止平移，然后将绕点顺时针旋转得到，其中点E，F的对应点分别为G，H． ①如图2，当点C在线段上时，延长交边于点P，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②若，，当直线与垂直时，连接，请直接写出的长． 例2．（2026·重庆·三模）在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． (1)如图1，点、分别在线段、上，连接，，满足，若，求的度数（用的代数式表示）； (2)如图2，在（1）的条件下，点在射线上，连接并延长至点，使，连接．满足，，请用等式表示，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，，点为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 例3．（2026·河北衡水·二模）如图1和图2，在矩形中，，，点E为边中点，把绕点E顺时针旋转（）得到，连接，过E点作交矩形边于F点，连接，，设点F运动的路径长为x． (1)求证：； (2)直接写出线段的最小值，并求当时，的度数； (3)当点落在边上时，求x的值； (4)当时，直接写出点到的距离（用含x的式子表示）． 变式1．（2026·河南平顶山·二模）如图1，等边三角形的顶点在等边三角形的边上，点在下方．将绕点沿顺时针方向旋转，旋转角为（且），直线，交于点，连接． (1)观察猜想 当时，如图2，用等式表示线段，，的数量关系：______． (2)类比探究 当时，如图3，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且是直角三角形时，若，，请直接写出的面积． 变式2．（2026·山东德州·模拟预测）在锐角中，，，射线与交于点，在上任取一点，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)如图1，若，线段与重合，点在线段延长线上时，请直接写出＝ °，与的数量关系是 ； (2)如图2，若点M在线段上，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，时，试探究当为多少时，是等腰三角形． 变式3．（2026·重庆沙坪坝·一模）在中，，，点是上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，点在边上，，连接．若，求的长度； (2)如图2，点是的中点，，点在边上，点在射线上，连接，，．若，．求证：； (3)点在直线上，，点在边上，且．是直线上一点，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到．当取最小值时，请直接写出的面积． 考点二 折叠中的全等三角形综合问题 例1．（2026·福建泉州·一模）如图，小明利用折叠矩形纸片进行数学探究活动： 第一步：先折叠矩形纸片，确定边的中点，连接； 第二步：将沿折叠至处，点与点对应．连接，延长交于点； 第三步：点是边上一点，连接，将沿折叠，且点与点重合．    (1)求证：； (2)求的值； 例2．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 例3．（2026·河南商丘·一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． (1)【操作发现】 第一步：在矩形中，是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点．如图1，连接，则的度数为__________，用等式表示线段，，之间的数量关系：__________． (2)【类比探究】 第二步：更换另一张矩形纸片，仍然是边的中点，将沿所在直线折叠，此时点落在矩形的外部．如图2，判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并证明． (3)【拓展应用】 在矩形中，若，，是直线上的一动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，请直接写出线段的最大值与最小值． 变式1．（2025·山东济宁·二模）综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． (3)拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，求的长． 变式2．（2026·海南·模拟预测）如图，在中，，，于点，是边上一点，将沿折叠，点落在点位置． (1)求证：； (2)在折叠过程中，求点与点之间的最小距离； (3)在折叠过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围； (4)如图，已知与边交于点，若，直接写出点到的距离． 变式3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）【定义新知】 如图1，将矩形纸片沿BE折叠，点A的对称点F落在BC边上，再将纸片沿CE折叠，点D的对称点也与F重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形()，这个三角形称为叠合三角形．类似地，对多边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合矩形． (1)图1中叠合的底边BC与高EF的长度之比为_______； (2)将纸片按图2中的方式折叠成一个叠合矩形，若AD=13，MN=5，求叠合矩形的面积； 【问题解决】 (3)已知四边形ABCD纸片是一个直角梯形，满足，，AB 点F为BC的中点，EF⊥BC，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形． ①如图3，若线段EF是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出AB和CD的长； ②如图4，若线段EF是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此时AB和CD的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $