相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练-2026年中考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦相似与圆的综合应用，通过12道典型例题（含6道变式）系统覆盖计算与证明两大核心题型，强化几何直观与逻辑推理的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相似与圆中的计算问题|3例+3变式|涉及长度、角度、面积计算，含等腰三角形、角平分线等综合条件|以圆的直径、切线、圆周角性质为基础，通过相似三角形构建量关系，体现从图形直观到运算求解的思维链| |相似与圆中的比例式、乘积式证明问题|3例+3变式|需证明线段比例或乘积关系，常结合切线判定、弧中点等条件|依托圆幂定理、相似三角形判定，建立线段关系的逻辑推导，培养模型观念与推理能力|

相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 考点目录 相似与圆中的计算问题 相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题 考点一 相似与圆中的计算问题 例1．（2026·上海虹口·三模）如图1，已知是半圆O的直径，点D为延长线上一点，点B为上一点，连接交半圆O于点E，点P为半径上一点，连接． (1)如果，求证：； (2)如图2，，，如果是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)当时，如果，，平分，求的长． 例2．（2026·湖北恩施·一模）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，交于点．连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 例3．（2026·湖南长沙·二模）为的直径，点C为圆周上一点(不与点A、点B重合)； (1)如图1，的平分线交于点D，直径，弦，求的长； (2)如图2，弦于点E，交于点D，连接，令的面积为，的面积为，的面积为，且，求的值； (3)如图3，于点E，的平分线交、分别于点M、点N，设，，求y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）． 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，且，过上的点作于点，延长至点，使得，点是上任意一点，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：若，无论点在上的任何位置，都存在常数，使等式成立？若存在，请写出的值，并证明；若不存在，请说明理由． 变式2．（2026·安徽六安·二模）如图，在中，，为边上一点，以为直径的分别与，交于点，．连接，，且平分． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的直径． 变式3．（2026·湖南长沙·一模）如图1，圆内接四边形中，对角线交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)如图2，为弦上一点，连接并延长交于点，若，为弧中点，，，求的长； (3)如图1，若为弧中点， ①当成立时，试判断的形状并说明理由； ②在①的结论下，若的面积为，请直接写出关于的解析式． 考点二 相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题 例1．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，已知内接于，，，连结并延长交于点．点是线段上异于端点的动点，过点作分别交，边，边于点，，，且点在左侧． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，当时，求的取值范围． 例2．（2026·四川内江·二模）如图，与相切于点A，为的直径，点B在上，连接、，交于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点E，求证：； (3)若，，求图中阴影部分的面积． 例3．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，内接于，直径交于点E，、的延长线相交于点P，点C为中点，过点C作的切线交于点Q． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的面积． 变式1．（2026·福建南平·二模）如图，在中，，分别是半径及其延长线上的点，交于点，且，连接． (1)如图1，求证：为的切线； (2)如图2，是经过点的弦． ①求证：； ②连接交于点，连接．求证：． 变式2．（2026·广东·模拟预测）综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 变式3．（25-26九年级下·上海金山·开学考试）如图，在中，和是弦，半径、分别交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 考点目录 相似与圆中的计算问题 相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题 例1，(2026上海虹口三模)如图1，已知41C是半圆0的直径，点D为O1延长线上一点，点B为1C上一点。 考点一 相似与圆中的计算问题 连接BD交半圆O于点E,点P为半径OA上一点，连接PE. B B 图1 图2 (备用图) (备用图) (I)如果OA=OP.OD,求证：△DEP∽△DOB: OP (②)如图2，∠AOB=90°，BE:ED=2:3,如果AEP4是以AE为腰的等腰三角形，求BO的值： 6)当os∠B0C=写时，知果BO/AE:AP=AE平分∠PED求CD的K. 【答案】(I)连接BP、OE,如图， B 根据圆的半径相等可知：OA=OB=OE, .OA2 OP.OD. ..OE2 =OB2=OA2=OP.OD, 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 OB OD OE OD ·OP=OB,OpOE' :∠BOP=∠DOB,∠EOP=∠DOE, .△BOPn△DOB,△EOP∽aDOE. .LOBP=∠ODB,∠OEP=∠ODE, .∠OBP=∠ODB=∠OEP. ∴点B、E、O、P四点共圆， ∴.∠BEO=∠BPO .∠BOD=180°-∠OBP-∠BPO.∠PED=180°-∠BEO-∠OEP, .∠BOD=∠PED .∠BDO=∠PDE, △DEP∽△DOB 35-V10 (2)5或5 (3)18 【分析】(I)通过已知的线段之间的关系证明△BOP∽△DOB,△EOP∽aDOE,据此证明点B、E、O、P四点 共圆，再利用三角形内角和为180°以及平角为180°，证明∠BOD=∠PED,问题随之得证： (2)连接BC,过点E作EM⊥OD于点M,设BE=2k,ED=3k,即BD=5k,k>0,设圆的半径为I,即 OC=OB=OA=r,r>O,根据四边形AEBC内接于圆O,证明∠AED=∠BCD,进而证明△EDAACDB,由此 可根据线段之间的比例用K、r表示出AD,进而可以表示出OD,再在△DOB也表示出OD,两个式子相等，即可 求出k、T之间的数量关系；根据△EPA是以AE为腰的等腰三角形，分类讨论：当AE=PE时，过点B作 BG⊥CD于点G,再根据平行线分线段成比例，可以用k表示OM、AM、OP,即可求解；当AE=AP时，直接 利用己经证明的△EDAACDB,表示出AE,即有AP,则OP=OA-AP,问题得解： (3)连接BC,根据己知的余弦值表示出G0、BO之间的关系，设G0=t,B0=3t,进而可表示出C0、BG、 BC、BG,，结合四边形AEBC内接于圆O,证明∠OBD=∠BCD,进而证明△ODBABDC,可得BD、DA之间 的关系式，再在Rt△BGD中，又可得到一个BD、DA之间的关系式，进而可用1表示出DA,则可表示出BD,再 根据平行线分线段成比例，可以用t示DE,再证明△PDE∽aBDO,即可求出t值，问题随之得解. 【详解】(1)略 (2)解：连接BC,如图， 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 ⊙ P A BE:ED=2:3, 设BE=2k,ED=3k,即BD=5k,k>0, 设圆的半径为r,即OC=OB=OA=r,r>0, ∠AOB=90°， ..BC= ..CD=AC+AD=2r+AD,OD=OA+AD=r+AD, :四边形AEBC内接于圆O, .∠BCA+∠AEB=180°， :∠AED+∠AEB=180°， ∴.∠AED=∠BCD, ,∠EDA=∠CDB, .△EDA∽aCDB. CD BC BD 2r+AD 2r 5k .DE AE AD,即3 kAE AD, :(2r+AD)AD=152 解得：D=V15k2+-r (负值舍去)， :.0D=4D+r=i5k+r,即0D2=152+r, .∠AOB=90°， ∴.∠DOB=90°，即△DOB是直角三角形， .0D=BD2-B02，即0D2=25k2-r2, 160425-,报.广5-5欧 即0D=V15k2+P=2W5k 3 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 根据△EPA是以AE为腰的等腰三角形，分情况讨论： 当时AE=PE时，过点E作EM⊥OD于点M,如图， B D O PMA :△EPA是以AE为腰的等腰三角形，EM⊥OD, 1 .PM=MA-7PA, .EM⊥OD,BO⊥OD ..EM/BO DE BE 3k2k DMOM,即DMOM, .OM=2k （DM+OM)=20D. 2k+3k 5 .oM=20D=45k 5 5 :w=01-oM=56 5 PM-AM=5 :OP-0A-PM-AM=3 -k 5 35,35 .Op -k 5 5 k3: BO 5k5 当AE=AP时， .'△EDAACDB. BC BD √2r 5k .AEAD,即AEV15k2+2-r, 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 解得： AE=2k AP=AE=2k OP=OA-AP=V5k-√2k OP 5k-2k 5-10 ∴.B0V5k 5, OP 35-V10 综上：BO的值为5或5； (3)连接BC,过点B作BG⊥CD于点G,如图， B E GOP BG⊥CD, :cos∠B0C=G0 BO :cos∠B0C= 3 cos∠B0C=G01 BO 3 设G0=t,B0=3t, .C0=0A=B0=3t,CG=21,BG=VB02-G02=2V2t, :.8C=VBG+GC=23. BO∥AE, .∠AED=∠OBD, ,四边形AEBC内接于圆O, .∠BCA+∠AEB=180°， :∠AED+∠AEB=180°， .∠AED=∠BCD. 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 ∴.∠OBD=∠BCD. .∠ODB=LBDC, ∴.AODBABDC, OD BD OB 3t+AD BD 3t ÷BD-CD-BC,即BD 6t+AD2√5t, BD2=(6t+AD)(3t+AD)=AD2+9tAD+182 BG⊥CD .在Rt△BGD中，BD2=GD2+BG2, 即BD2=(G0+0A+AD+(22=(4+AD}+22, :AD2+9AD+182=(4+AD'+(22. 解得AD=6t, 即BD=V4t+AD}+(22=6√3， :BO∥AE DE AD DE 6t6t 2 ∴BDOD,即BDOA+AD9iF3, DE 6t 6t2 ·BDOA+AD9t3' 2 :DE=号BD=4W51, 3 .B0=C0, ∴∠CBO=∠BCO. ∴.∠BOD=∠CBO+∠BCO=2∠BCO, ,AE平分∠PED, ∴.∠PED=2∠AED, 又：∠AED=∠BCD, ∴LPED=∠BOD, 又，∠PDE=∠BDO, ∴△PDEP△BDO. 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 PD DE PD-DEx BD_4V1x6V31=8 .BDDO,即 DO 91 AP=3,AP+AD=PD .3+6t=8t, 3 =2, .CD=CO+0A+AD=12t=18 例2.(2026：湖北恩施一模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，BC是⊙0的直径，BD平分∠ABC交⊙0于点D, 交AC于点G.连接AD,过点D作DP∥AC交BC的延长线于点P, D (1)求证：DP是⊙O的切线； (2)若⊙0的半径为5，AB=6,求GD的长. 【答案】(1)见解析： 5. 【分析】(1)连接OD,OD与AC交于点H,利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到OD⊥AC,利 用平行线的性质得到OD⊥DP,再利用圆的切线的判定定理解答即可； (2利州至径定得到H-0以-4C-4,利用=角形销中位线定里得到0-B=3,OHB·利用和 三角形的判定与性质求得GH,再利用勾股定理解答即可得出结论. 【详解】(1)证明：如图，连接OD,交AC于点H. A 是直径， .BC .∴∠BAC=90° BD平分∠ABC, > 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 ∠ABC=2∠CBD, ∠DOC=2∠CBD .∠ABC=∠DOC, .AB∥OD .∴∠OHC=∠BAC=90° DP∥AC, .∠ODP=∠OHC=90°. OD⊥DP :OD为⊙0的半径， .DP是OO的切线： (2)解：⊙0的半径为5， .BC=10,OD=5 :BC是⊙0的直径， ∠BAC=90° .AC=VBC2-AB2=V102-62=8 由(1)知：OD⊥AC, =CH=4C=4, 0n=48=3, .DH=OD-OH=5-3=2 由(1)知OD∥AB, .∴DHGABAG, HG DH 2 1 AG AB 6 3 .GH-3AG AG+GH=AH=4, .GH=1. :DG=DH2+GH2=22+1=5 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 例3.(2026：湖南长沙二模)AB为⊙0的直径，点C为圆周上一点（不与点A、点B重合）： E D 图1 图2 图3 (I)如图1，∠ACB的平分线交⊙0于点D,直径AB=10,弦BC=6,求CD的长； （(②如图2，弦CDL4B于点B,交O0于点D,连接BD,令△4CE的面积为 S△BCE的面积为， S,△BDE的面 积为5，且S=8+,求am∠C8 的值； (3)如图3，CE⊥AB于点E,∠CAB的平分线交CE、CB分别于点M点N,设x=CE2, y-CN,CM 1 1 =CE+CB+C8+CA,求y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）· 【答案】1)7V2 2 (2)2 3)y=1+1 【分析】(1)过B作BE⊥CD于E,根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=9O°，结合角平分线的定义求出 ∠BCD=45°，则∠CBE=45°=∠BCE,根据等角对等边得出CE=BE,在RtABCE中根据勾股定理可求出 CE BE =3V2 ,根据圆周角定理得出∠B1D=4好°=∠ABD,则MD=BD,在R1△4BD 根据勾股定理可求出 BD=5V2Rt△BDE 在 中根据勾股定理可求出DE=4W5 ,即可求解： （2)根据垂径定理得出CE=DE,则=S,结合5=8+5，求出=25，则证=2BE,证明8C5aC1E 根据相似三角形的性质求出DE=CE=√2BE,最后在Rt△BDE中，根据正切的定义求解即可； 9 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 (3)过N作NF⊥AB于F,根据角平分线的性质定理得出CV=FV,根据余角的性质、对顶角的性质等得出 ∠CMN=∠ANC=∠AME,根据等角对等边得出CM=CN,证明四边形CMFN是菱形，得出MF=CM,MF∥CN, CM EF CN NF BF CN CM 证明aMEF∽CEB,根据相似三角形的性质得出BCBE,同理CECE-BE,则可求C记+aC1,证明 △CBE∽△ABC BC2=BE·AB AC2=AE·AB ,根据相似三角形的性质得出得出 ,同理 则可求出 11 1 1,11 CB+C=BE,AE,由(2)可求出4AEBE=CE2=x'则CB+CAF=x,即可求解. 【详解】(1)解：过B作BE⊥CD于E, B D :AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， :∠ACB的平分线交OO于点D, ZACD=ZBCD-ZACB=45 .∠CBE=45°=∠BCE, .CE=BE, .CE2+BE2=2CE2=BC2=62, CE=BE=32 .AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， :∠ACD=∠ABD=45°， .∠BAD=45°=∠ABD. .AD=BD, 10 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 .AD2+BD2=2BD2=AB2=102, BD=52 DE-BD2-BE=4V CD-CE+DE=7 (2)解：CD1⊥AB, .CE=DE. cEE-DEE,即s,=S 9=8+3 ∴8=28，即746-CE=2×BE,CE, 1 2 .AE =2BE, :∠BCE=∠CAE=90°-∠ABC,∠BEC=∠AEC=90°， .△BCEACAE, CE BE CE BE AECE,即2BE-CE, .'DE=CE=2BE, tan∠CDB= BE BE2 DE2BE 2 (3)解：过N作NF⊥AB于F,连接FM, OE F :AN平分∠CAB,∠ACB=90°， 11 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 ∴.CN=FN,∠CAN=∠BAN, .CE⊥AB, .CEFN,∠MAE+∠AME=90°， 又∠CAW+∠ANC=90°. .∠AME=LAWC, 又∠AME=∠CMN」 .∠CMN=∠ANC, ∴.CM=CN, ..CM=NF, 又CM∥NF, ∴.四边形CMFV是平行四边形， 又CN=NF, .平行四边形CMFN是菱形， .MF=CM,MF∥CN, ∴、△MEF∽aCEB, MF EF BC BE' CM EF :BC BE, ·CE FN, ∴△BFNABEC, BF NF CN ∴BE=CE=CE, CN CM BF EF BF+EF ·.CE+BC=BE+BE =1 BE .∠BEC=∠BCA=90°，LCBE=∠ABC, .△CBE∽△ABC BC BE AC BC' BC2=BE·AB, 12 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 同理AC2=AE·AB, 1 1 1 1 CB2+CAP=BE·AB+AE·AB (配+和】 1 AE+BE ABBE·AE 1 BE·AE: CEBE 由(2)知：AECE: AE·BE=CE2=x, 111 CBCx 少=141 x· 变式1.(2026·云南昆明模拟预测)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，且AB=30,过⊙0上的 点C作CD1HB于点D:廷长AB至点E,发得∠BC-DE,点p是OO上任意一点，益接pDPE D B (1)若OA=BC,求∠ABC的度数： (2)求证：直线CE是⊙O的切线： 3 (B)探究，发现与证明：若an∠OEC=4,无论点p在o0上的任何位置，都存在常数。？使等式pD-aPE=0成立？ 若存在，请写出a的值，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)60° (2)略 13 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 (3)略 【分析】(1)连接OC,证明△OBC是等边三角形，即可求解： (2)要想证明直线CE是⊙0的切线，则需证∠0CE=90°，根据直径所对的圆周角为90度，CD⊥AB,通过导角 可正∠B4C=∠BCD,结合∠1C=DCE,可符∠BCD=∠BCE,再由等边对等角得出∠OCB=∠OBC,即可 证明∠0CE=90°； (3)根据an∠OEC=3 ,设0C=3x,EC=4x,求出OE,BE'OD:BD,分三种情况，当点P与点B重合 时，或点P与点A重合时，根据PD-aPE=0求出a的值；当点P与点A,B不重合时，证明aDOP∽aPOE,可得 PD OD 3 PEOp5,代入PD-aPE=0求出a的值，即可求解。 【详解】(1)解：如图，连接OC, D E B .·OA=BCOA=OB=OC ..BC=OB=OC, .△OBC是等边三角形， .∠OBC=60°，即∠ABC=60°； (2)证明：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° ∴∠ABC+∠BAC=90°， CD⊥AB, ·∠ABC+∠BCD=90°， .∠BAC=∠BCD」 又.∠BAC=)∠DCE 2 .∠BCD=LBCE, 14 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 OB=OC. ∴.∠OCB=∠OBC, ·∠ABC+∠BCD=90° .∠OCB+∠BCE=90°，即L0CE=90°， .OC⊥CE, 又：OC是⊙0的半径， 直线CE是⊙O的切线； 8-3 证明：如图，连接OP, P E D A B tan∠OEC=OcC_3 EC4∠0CE=90° ∴.设0C=3x,EC=4x, ..OE =OC2+EC2=5x .BE=OE-OB=5x-3x=2x, .8aa=50s-cD-=50c-Ec, CD=OC·EC=3x4x12 OE 5x 0m=ac-n--- BD=OB-OD=3x- =亏，当点P与点B重合时：PD=BD= 96 -5*,PE=BE=2x PD-aPE=0. 6 3 x-a2x=0,解得a= .5 5: 当点P与点A重合时：PD=AD=AB-BD=23x-6x=24x 5*PE=AE=AB+BE=2.3x+2x=8x 一X= 5 15 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 .PD-aPE=0 2 3 .5 x-a8x=0,解得a= 5: 9 当点P与点A,B不重合时： x 3 OP 3x 3 OD5 0E5x5'0p3x51 OP OD .OE OP, 又∠DOP=∠POE ∴△DOP∽△POE PD OD 3 .PEOP=5,即PD=2PE 5 .PD-aPE=0 3PE-aPE=0,解得3 .5 5: 3 综上可得，无论点p在⊙0上的任何位置，都存在常数a=5,使等式成立. 变式2.(2026~安徽六安二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙0分 别与BC,AC交于点E,F.连接DE,AE,且AE平分∠BAC, C D (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)求证：BE2=BD·AB: (3)若AC=6,BC=8,求⊙0的直径. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 15 (3)2 【分析】(1)根据角平分线的定义结合等边对等角可得OE∥AC,即可证明结论： (2)利用圆周角定理和切线的性质可证∠BAE=∠BED,进而证明△BED∽△BAE,即可证明结论： 6 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 (3)过点E作EM⊥AB于点M,由角平分线的性质可得EM=EC,AM=AC=6,求出BM=4,设CE=x,则 EM=x,BE=8-x,由勾股定理求出EM=EC=3'BE=5,由(2)BE2=BD.B,得BD=3 2,即可求解。 【详解】(1)证明：连接OE,如图： C F 平分 D .AE ∠BAC ∠CAE=∠BAE, .OA=OE .∴∠BAE=∠AEO. .∠CAE=∠AEO, :OE∥AC. .∠BEO=∠ACB=90°， .OE⊥BC, :OE为⊙0的半径， BC是⊙O的切线： (2)证明：由(1)可知，BC与⊙0相切于点E, ∠OED+∠BED=90°， :AD为⊙O的直径， ∠AE0+∠OED=90°， .∠AEO=∠BED, OE=0A, ∠EAB=∠AEO=∠BED, ∠B=∠B, ,△BED∽△BAE, BD BE BE AB' :.BE2=BD.AB (3)解：过点E作EM⊥AB于点M,如图： 17 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 C M ID 在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC=VG+8=10 :AE平分∠BAC, ∴.EM=EC,AM=AC=6, :BM=AB-AM=4, 设CE=x,则EM=x, :.BE=8-x, 在RtABEM中，EM2+BM2=BE2, x2+42=(8-x)2 解得x=3, .EM=EC=3, BE=5, .由(2)BE2=BD·AB, :0 O0的直径AD=10-5=15 22· 变式3.(2026湖南长沙·一模)如图1，圆内接四边形ABCD中，对角线AC、DB交于点P,延长BCAD交于点 E B E 图1 图2 (I)求证：△ADP∽aBCP; 18 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 (2)如图2，Q为弦DC上一点，连接P吧并延长交AE于点H,若2∠DAC=∠CQP,C为弧DB中点，PD=3, BP=4,CE=5 OH ,求的长： (3)如图1，若C为弧DB中点， (CE+CP)(CE-CP)=BP.PD ①当 成立时，试判断△APD的形状并说明理由： ②在①的结论下，若AB=x,DC=l,△DPC的面积为y,请直接写出y关于x的解析式. 【答案】(1)见解析 .15 (27 x2-2)Nx2-1 (3) △MPD是直角三角形，理由见解析：②y= 2x2(x2-1)） 【分析】(1)根据圆周角定理得出∠DAP=∠PBC,然后根据相似三角形的判定即可得证： (2)根据圆周角定理得出LBAC=∠DAC,结合已知可得出∠CQP=∠BAD,结合圆内接四边形的性质可得出 DH 3 ∠COP+∠BCD=180°，则PQ∥BC,根据平行线分线段成比例可求出DE=7,证明aDQH∽aDCE,根据相似 三角形的性质求解即可： (3)①根据弧、弦的关系得出BC=DC,根据(I)△APD∽△BPC得出AP·PC=BP·PD,化简 (CE+CP)(CE-CP)=BP.PD D,得出CE=CP·AC,证明△BCPAACB,得出BC=CP.AC,进而得出 BC=CD=CE,则点B、D、E在以C为圆心，CD为半径的圆上，此时BE为直径，根据直径所对的圆周角是直 角可得出∠ADP=90°，即可得出结论： ②根据勾股定理求出4C=√-1，结合①中BC2=CP1C,求出CP=r-」 x2-1,证明△DEC∽△BEA,求出 DE=2 ,AE=x,则 D=x-2 x,过D作DM⊥AC于M,证明△DMC△ADB,求出 DM=x-2 x2,最后根据三 角形的面积公式求解即可， 19 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 【详解】(1)证明：∠DAC、∠DBC CD 所对的弧都是 LDAC=LDBC,即∠DAP=∠PBC, 又∠APD=∠BPC, △APD∽△BPC: (2)解：，四边形ABCD是圆的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180° C为弧DB中点， :BC=DC .∠BAC=∠DAC, .∠BAD=2∠DAC, 又2∠DAC=∠CQP, ∴∠COP=∠BAD. 又∠BAD+∠BCD=180°. .∠CQP+∠BCD=180°， Pg∥BC, DH DP 3 :HE PB 4' DH 3 DE7' OH∥CE, :.△DOH∽aDCE, OH DH OH 3 ·CE=DE,即5=7， :QH= 7； (3)解：OBC=DC 20 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 .BC=DC, .△APD∽△BPC, AP DP BP CP .'AP.PC=BP.PD, .(CE+CP)(CE-CP)=BP.PD ∴.CE2-CP2=BP.PD, .CE2-CP2=AP.PC, CE2=CP2+AP.PC=CP(CP+AP)=CP.AC .∠DBC=∠DAC=∠CAB,∠BCP=∠ACB, ∴△BCP△ACB, BC CP .AC BC' .BC2=CP.AC, .'BC2=CE2, .BC=CD=CE ∴点B、D、E在以C为圆心，CD为半径的圆上，此时BE为直径， .∠BDE=90°， ∴.∠ADP=90°， ∴.△APD是直角三角形： ②，∠ACB=∠ADP=90°，AB=x,CD=BC=1, :AC=V2-1 BC2=CP·AC, .Cp= x2-1, 21 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 :∠BAD+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°， .∠BAD=∠DCE, 又∠DEC=∠BEA, ∴.△DECn△BEA, DE CD CE DE 11 小BE=ABAE,即1+1xAE, 解得DE=2 x AE=x' .AD=AE-DE=x- 过D作DM⊥AC于M, B MP A E ∠DMC=∠ADB=90°， 又∠MCD=∠DBA, .△DMCP△ADB, DM 1 2x, :DM-CD,即x-2 AD AB DM=-2 x2, ..y-cP.DM-x2_(-2) 2 2x2-1x2 2x2(x2-1）· 22 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 考点二 相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题 例1.(2026：浙江嘉兴二模)如图，己知△ABC内接于⊙0，AB=AC=10,BC=12,连结A0并延长交BC于 点H.点D是线段AH上异于端点的动点，过点D作F∥BC分别交⊙O,边AB,边AC于点N,M,F,且 点N在M左侧. W∠M B H (1)求证：∠AMN=∠MFC: (2)求证：NM·NF=AMMB: (3)设AM=x,当2≤x≤7时，求DN2-DM2的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 16≤DW2-DM2≤25 (3) 【分析】(1)根据平行线的性质得到∠AMF=∠B,∠AFM=∠C,根据等边对等角得到∠B=∠C,则 ∠AMF=∠AFM,根据等角的补角相等即可得到结论： (2)连结AN,NC,MC,证明△AMNCFN,则NM·NF=AM·FC,由MB=FC即可得到结论： (3)证明DM=DF,得 DN-DM=M-(aB-AM),又白4M=x,B=10,得到 DN2-DM2=x(10-)=-(c-5+25.设DN2-DM=y=-(K-5+25,根据二次函数的性质进行解答即可. 【详解】(1)证明：~MF∥BC, ∴∠AMF=∠B,∠AFM=∠C 又：AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠AMF=∠AFM, ∠AMN=∠MFC: 23 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 (2)证明：连结AN,NC,MC, B H NF∥BC, ∠CNF=∠NCB, ∠NAB=∠NCB, .∠NAM=∠CNF 又由(1)知∠AMN=∠CFM, AAMN∽aNFC, .AM_NM NF=FC,即NMNF=AM·FC, .MB=FC. NM·NF=AM.MB: (3)解：在⊙0中，AB=AC, .AB=AC 而AH过点O, :BH=HC, .NF∥BC DM AD DF AD BH AH,HC AH' DM DF BHHC· 又BH=HC, .DM=DF, :DN2-DM2=(DN-DM)(DN+DM)=(DN-DM)(DN+DF) =NM·NF=AM·MB=AM(AB-AM) 又AM=x,AB=10 24 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 .DW2-DM2=x(10-x)=-(x-5)+25 设DN-DM2=y=-(x-5y+25 又2≤x≤7， 当x=2时，m=-(2-5}+25=16 当x=5时，mx=-(5-5)°+25=25 即16≤y≤25， .当2≤x≤7时，16≤DW2-DM2≤25 例2.(2026：四川内江二模)如图，PA与⊙0相切于点A,AC为⊙0的直径，点B在⊙0上，连接PB、PC, PC交OO于点D,且PA=PB. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)连接OP交AB于点E,求证：PE·PO=PDPC: (3)若∠APB=60°.PA=2V ,求图中阴影部分的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 2 (35π 【分析】(1)连接OB,证明△1 OPBOP(SS) 结合圆的切线的性质，得出OB上PB,即可得证； (2)连接AD,证明△PAD∽△PCA,得到PA=PD·PC,再结合切线长定理和三线合一的性质，证明 △APE AOPA PA=PE·PO ，得到 ,即可得证： 25 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 (3)连接OB、BC,根据直径和圆的切线的性质，得到BC/OP,进而推 S影分=S形80C, 利用四边形内角 和得出∠BOC=60°，在RtAAOP中，OA=PA-tan ZAPO=2,再利用扇形面积公式求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OB, 在△AOP和△BOP中， PA=PB PO=PO OA=OB △AOP≌△BOP(SSS) ∴.∠PBO=∠PAO, :PA与⊙0相切， .∠PA0=90° .∠PB0=90°，即OB⊥PB, 又.OB是半径， .PB是⊙O的切线； (2)证明：如图，连接AD, ,AC是⊙O的直径， .∠ADC=90°， ∴.∠ACD+∠CAD=90°， ∠CAD+∠PAD=∠PAO=90° .∠ACD=∠PAD, 又：∠APD=∠CPA 26 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 ·.△PAD∽△PCA PA PD PC PA' .PA2=PD.PC, ,PA、PB是⊙O的切线， ∴.PA=PB,且PO平分∠APB, .PE⊥AB, ∴.∠PEA=∠PAO=90°， 又：∠APO=∠APE, ∴△APE∽aOPA, PA PO .PE PA' .PA2=PE.PO .PD.PC=PE.PO. (3)解：如图，连接OB、BC, B ,AC是⊙O的直径， ∠ABC=90°，即AB⊥BC, PE⊥AB, .BC∥OP, S.BCP=S.RCO S阴影部分=S角形B0C .∠APB=60°，∠PAO=∠PBO=90°， .∠A0B=360°-90°-90°-60°=120° .∠B0C=60°. 27 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 :PO平分∠APB, .∠AP0=30° 04-P4-LAPO=2x3=2 ∴在Rt△AOP中， 3 ..0B=0A=2 60π.222 ∴.S阴影部分=S。Pac+S号形BC=S扇形BOC三 3600. 例3.(2026福建漳州模拟预测)如图，△ABC内接于⊙O,直径BD交AC于点E,AD、BC的延长线相交于 点P,点C为BP中点，过点C作OO的切线交AP于点Q. (I)求证：∠P=∠DBC: (2)求证：PAPC=PB·Pg: (3)若DE=3, sin∠ABD= 3,求aBCE的面积. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 3)30v5 【分析】(1)根据圆周角定理得∠BAP=90°，根据斜边中线定理得∠P=∠CAP,根据“同弧对等角”即可得证； OC ,根据()可推得OC∥AP ∠0C0=90° △ABP∽△QCP (2)连接，根据切线的性质得 从而证明 ,即可得 证： (3)根据樱意可设4D=大，BD=冰，由(2)可得△1BD△COE,则可计算=5，从而得到4B=105 AP=20C0=5V2 即可计算5c=505,出于8E与BCE的商相同，根这两个三角形底边的比计面 积即可 28 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 【详解】(1)证明：：BD为直径， .∠BAP=90°， 点C为BP中点， .AC=CP, .∠P=∠CAP, CD=CD ∴.∠CAP=∠DBC, .∠P=∠DBC: (2)证明：连接0C, A D ...OB=OC, ∴.∠DBC=∠OCB. ,由(1)可知，∠P=∠DBC, .∠P=∠OCB OC∥AP, .CQ是⊙0的切线， .∠0C0=90° .∠P0C=L0CQ=90° :∠BAP=∠CQP=90°，∠P=∠P, △ABP∽△QCP PCP≌ :PB PA' 即PAPC=PBPO, 20 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 1 (3)解：sin∠ABD=3, .设AD=k,BD=3k, 3 则半径OC=二k 2 由(2)可知，OC∥AP, .△AEDn△COE, AD DE AE 2 ∴.OC=0ECE3' _9SE=2 OE= 2,S.8CE 3, OC=OD=OE+DE=15 k=5, BD=15 AB=102 则 由(1)可知，∠P=∠DBC, .BD=DP=15, 、AP=20 PC PO CO1 由(2)可知，△ABP∽△QCP,则PBPA AB2, .C0=52 SAc=Sw-SAcr=1AB.AP-CQ-AP=50 1 2 2 S.ANE =2 .S.BCE 3, SAOCE =30V2 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的概念，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数解直角三角形，能够熟练 掌握相关性质，并灵活地解直角三角形是解题的关键. 变式1.(2026福建南平二模)如图，在⊙0中，P,卫分别是半径OA及其延长线上的点，BP⊥OA交⊙0于点 30 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 00-OP=OA2 B,且 BQ ，连接 B B 图1 图2 (I)如图1，求证：B为⊙O的切线； (2)如图2，CD是经过点P的弦. ①求证：CPDP=OA-OP2: ②连接AD交BP于点E,连接AB.求证：∠ADB=∠ABQ】 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 OB OP 【分析】(1)连接OB,则OB=OA,由OOOP=OA'可得O0OB,根据∠BOP=∠QOB可证△BOPQOB 根据相似三角形的性质可得∠OB0=∠OPB=90°，从而可证B0为⊙O的切线： (2)①延长BP交OO于点M,连接CM,OB,由勾股定理得：BP2=OB2-OP2,等量代换可得 BP2=OA2-OP2 △BPD∽△CPM ,可证 ，根据相似三角形的性质可证结论成立： ②由（)知∠0B0=90,由三角形内角和定理可得<0B1=90-40B,从而可得<ABQ40B,等量代 换可证结论成立。 【详解】(1)证明：如下图所示，连接OB,则OB=OA, .00.OP=OA2 ..00.OP =OB2 31 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 OB OP 00 OB' ∠BOP=∠QOB ∴△BOP∽△QOB .∠OPB=∠OBQ BP⊥OA, .∴∠OBQ=∠OPB=90° ∴.QB⊥OB 又：0B为⊙0的半径， ∴.BQ.⊙O 为的切线； B (2)①证明：如下图所示，延长BP交⊙O于点M,连接CM,OB, BP⊥OA, :.BP=PM, 在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OB-OP2, .OB=OA .BP2 =042-OP2 Bc=BC」 ∴.∠BDC=∠CMB. ∠BPD=LCPM, .△BPD∽△CPM, 32 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 BP DP CPMP· ..BP.MP=CP.DP, ∴.BP2=CP.DP ∴.CP.DP=OA2-OP2 ②证明：如下图所示，由(1)知∠0B0=90°， ∴.∠ABQ=90°-∠OBA 在△OAB中， .OA=OB, ∠0BA=∠0AB=180-,∠40B=90°-1∠A0B. 2 2 ∠AB0=90°- ∠ADB=∠AOB 2 ∴.∠ADB=∠ABQ D B 变式2.(2026广东模拟预测)综合运用 33 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 如图所示，圆肉接四边形48CD中，点B平分CMD,C1平分∠BCD B D (I)求证：∠CDE=2∠ECD, (2)若cos∠CBA=2,求证：∠BDC=4LCBD. (3)求证：BC2-AB2=CA·AD 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】)由点B平分C4D,可知∠BCD=∠CDE,由C4平分∠BCD,可知∠BD=∠BCE-BCD,即可证 明结论； (2)结合题意可知∠CBA=60°，∠BDC=∠BCD,∠BDC=∠BCD=2∠BCA,设∠CBD=x,∠BCA=y,则 ∠ABD=∠ACD=y∠BAC=LBDC=2y∠BCA+∠BAC=3y=180°-∠CBA=120° y=40° ,结合 ,求得 ，再求得 ∠CBD=∠CBA-∠DBA=20°，即可证明结论； (3)如图，过点B作BH⊥AC,在HC上取点F,使FH=AH,连接BF,则BF=BA,可知 ∠BCD=∠BDC=∠BAF=∠BFA,得∠FPBA=∠CBD,可证△CBF2,DB1SAS）,得CF=AD,可知 BH=BC2-CH2=AB-AH,根 BC-AB2=CH-4AH=(CH+AH)(CH-AH)即可证明结论. 【详解】(1)证明：：点B平分CMD :BC=BD,则BC=BD, .∠BCD=∠CDE. .CA平分∠BCD, 34 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 .∠ECD=∠BCE=2∠BCD, ∴.∠CDE=∠BCD=2∠ECD: (2）证明：m<C84, .∠CBA=60°， :点B平分 CAD BC-BD ,则 BC=BD ∴.∠BDC=∠BCD :CA平分∠BCD ∠BCA=LACD=2ZBCD,则乙BDC=BCD=2BC, 设∠CBD=x,∠BCA=y,则∠ABD=∠ACD=y,∠BAC=∠BDC=2y, ·.∠CBA=60° .∠BCA+∠BAC=3y=180°-∠CBA=120°，则y=40°， ∴.∠CBD=∠CBA-∠DBA=20° .∠BCD=∠BDC=2y=80° ∴.∠BDC=4∠CBD (3)如图，过点B作BH⊥AC,在HC上取点F,使FH=AH,连接BF,则BF=BA. B A F C D ∴∠BAF=∠BFA. :点8平分CAD .BC-BD ,则 BC=BD ∴.∠BCD=∠BDC=∠BAF=∠BFA, 35 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 ∴.∠FBA=LCBD BC=BD ∠CBF=∠DBA 在 和 中， △CBF △DBA BF=BA △CBF≌△DBA(SAS) .'CF=AD .BH2=BC2-CH2=AB2-AH2, BC2-AB2=CH2-AH2=(CH+AH)(CH-AH)=CA·(CH-FH)=CA·CF=CA·AD 变式3.(25-26九年级下上海金山开学考试)如图，在⊙0中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点 E、F,且CE=DF」 (I)求证：AB∥CD: (2)若AB=BD,求证：AB2=BF·OB 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等 腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键， (1)连接OC,OD,由等边对等角得到∠OCD=∠ODC,利用SAS证明△OCE≌△ODF,得到OE=OF,证明 △OEF∽△OAB,得到∠OEF=∠OAB,则可证明AB∥CD: (2)连接OD,BD,由AB=BD得AB=BD,得到∠AOB=∠BOD,证明 △AOB≌△BOD(SAS) 得到 ∠OBD=∠OAB,则可证明∠OBA=∠BFD,进而证明△OAB∽△DBF,推出AB·DF=OB·BF:再证明 ∠DFB=∠DBF,得到A BD=DF AB2=OB·BF ,则可证明 【详解】(1)证明：如图所示，连接OC,OD, 36 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 B OC=OD .∠OCD=LODC, 在△OCE和△ODF中， OC=OD ∠OCE=∠ODF CE=DF AOCE≌AODF(SAS) .OE=OF, .OA=OB, OE OF OAOB 又：∠EOF=∠AOB, .△OEF∽△OAB, .∠OEF=∠OAB, .AB//CD: (2)证明：如图所示，连接OD,BD, .AB=BD .4B=BD ∴.∠AOB=∠BOD. 又，OA=OB=OD 37 相似与圆中的计算问题、相似与圆中的比例式、乘积式的证明问题专项训练 △AOB≌△BOD(SAS) .∠OBD=∠OAB: 由(1)可得AB∥CD. .∠OFE=∠OBA, 又，∠OFE=∠BFD .∠OBA=∠BFD. .△OAB∽△DBF. OB AB DF BF' .AB.DF =OB.BF .OA=OB, .∠OAB=∠OBA. ∴.∠DFB=∠DBF, ∴BD=DF, .DF=AB, ∴AB2=OB·BF 38