期末复习：正弦定理与余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦解三角形核心，以正弦定理、余弦定理边角互化及面积公式为模块，通过典例变式构建从定理应用到综合计算的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦定理边角互化|例3+变式3|含外心、角平分线等情境，考查边角转化及范围问题|以定理为基础，实现边与角的互化推理| |余弦定理边角互化|例3+变式3|涉及中线、重心等几何条件，求解角度与边长|结合几何性质深化定理应用，强化逻辑推理| |三角形面积公式|例3+变式3|结合函数最值、角平分线等，综合面积计算|前两模块的延伸应用，体现数学应用意识|

期末复习：正弦定理与余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用专项训练 期末复习：正弦定理与余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用专项训练 考点目录 正弦定理边角互化的应用 余弦定理边角互化的应用 三角形面积公式及其应用 考点一 正弦定理边角互化的应用 例1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）平面上非零向量，规定一种运算“⨂”：，其中为向量与的夹角． (1)若，求的值； (2)在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且已知，，若点G为△ABC的外心，求． (3)已知向量，求的最小值． 例2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 例3．（25-26高一下·辽宁鞍山·月考）已知函数，其中，． (1)求的单调递增区间； (2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值． 变式1．（25-26高一下·辽宁锦州·月考）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)求的取值范围． 变式2．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为． 变式3．（25-26高一下·北京昌平·月考）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 考点二 余弦定理边角互化的应用 例1．（25-26高一下·北京顺义·期中）在中，． (1)求； (2)若，求边． 例2．（25-26高三上·辽宁锦州·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且. (1)求角 (2)求边 (3)若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长. 例3．（25-26高一下·辽宁本溪·月考）在锐角中，内角的对边分别为． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 变式1．（25-26高一下·北京丰台·月考）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若点到直线的距离为的面积为，求的周长. 变式2．（25-26高一下·北京石景山·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 变式3．（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 考点三 三角形面积公式及其应用 例1．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量，，设函数． (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； (2)已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 例2．（25-26高一下·北京大兴·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，且. (1)求角； (2)若，角的平分线交于点，求线段的取值范围. 例3．（25-26高一下·辽宁营口·月考）在中，． (1)求的值； (2)求的面积． 变式1．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知中，. (1)求； (2)求的面积. 变式2．（24-25高一下·北京西城·期中）已知函数． (1)求的最小正周期、对称轴和对称中心： (2)求在上的最值及此时的取值； (3)锐角中，，角满足，求角A的值与面积． 变式3．（2025·北京海淀·一模）在中，已知，． (1)求的值； (2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：正弦定理与余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用专项训练 期末复习：正弦定理与余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用专项训练 考点目录 正弦定理边角互化的应用 余弦定理边角互化的应用 三角形面积公式及其应用 考点一 正弦定理边角互化的应用 例1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）平面上非零向量，规定一种运算“⨂”：，其中为向量与的夹角． (1)若，求的值； (2)在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且已知，，若点G为△ABC的外心，求． (3)已知向量，求的最小值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系及数量积定义可得，再根据数量积的坐标运算与模的坐标运算公式计算求解即可； （2）根据正弦定理及余弦定理可得，，取的中点为，连接，根据向量数量积的几何意义可得，，结合（1）计算即可求解； （3）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）若，则， 因为， 所以； （2）由和正弦定理，可得， 因， 代入得，因，则，故， 由余弦定理，可得，即. 取的中点为，连接，因为点G为的外心，所以， 由正弦定理可得，所以， 由向量数量积的几何意义可知，，同理， 所以， 所以； （3）设，   ， 因为向量 故， ， 当且仅当，即时等号成立，取得最小值是. 例2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1)由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故． (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出，再结合角的范围得出，最后应用等角对等边即可证明； （2）先应用正弦定理结合角平分线性质计算化简，再换元设，，结合正弦函数值域及单调性计算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，则． 因为为锐角三角形， 所以 解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得， 又函数在上单调递增， 故，即. 例3．（25-26高一下·辽宁鞍山·月考）已知函数，其中，． (1)求的单调递增区间； (2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数量积的坐标表示列式，并用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数的单调性可解. （2）由（1）中信息求出角A，再利用正弦定理及三角恒等变换求解. 【详解】（1）依题意，， 由，解得，， 所以的单调增区间为. （2）由（1）得，则， 由，得，于是，解得， 由及正弦定理得，， 所以. 变式1．（25-26高一下·辽宁锦州·月考）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理计算，再结合角的范围求解； （2）应用两角和差正弦公式计算化简，再应用正弦函数值域计算. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，而，故， 因为是锐角三角形，所以，有； （2）利用（1）中结论，结合三角形内角和的条件，有： 因为是锐角三角形，可得，，所以 所以，的取值范围是． 变式2．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理可求得，即可知； （2）选择条件①由可求得，再利用三角形面积公式计算可得结果； 选择条件②时，由可得，利用正弦定理可得，结合恒等变换以及三角形面积公式计算即可； 选择条件③时，因为，，不存在这样的三角形，不合题意. 【详解】（1）由正弦定理，可得 又因为，因此， 又因为 因此 （2）由（1）中，代入得； 选①时，， 由得， 又因为，因此，故； 而， 因此三角形面积为； 选②时，，因为，因此， 由正弦定理可得； 而， 因此三角形面积为； 不能选③，因为此时，不是三角形. 变式3．（25-26高一下·北京昌平·月考）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 不能选①， 选条件②或③：， 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解. 【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由①②得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. （2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①. 选条件②： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③： 边上的高，所以， 以下与选择条件②相同. 考点二 余弦定理边角互化的应用 例1．（25-26高一下·北京顺义·期中）在中，． (1)求； (2)若，求边． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）由可得, 由于,故， （2），故， 进而，故 例2．（25-26高三上·辽宁锦州·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且. (1)求角 (2)求边 (3)若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据特殊角的正切值即可求解， （2）利用正余弦定理边角互化，即可求解， （3）利用余弦定理以及向量的模长可得，进而利用等面积法即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，故，,则； （2）因为，， 由余弦定理及正弦定理得：, 所以，解得； （3）由余弦定理得：， 即有①； 设为的中点，即，如下图： 又因为， 所以，即②， 由①，②得：，， 所以，所以， 因为为的平分线，所以， 则， 即. 例3．（25-26高一下·辽宁本溪·月考）在锐角中，内角的对边分别为． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据已知条件，利用余弦定理求得，再根据，利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得，进而求得角. （2）首先根据面积公式求得，然后再利用余弦定理求得，进而求得，即可求解三角形的周长. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，则，因为为锐角，所以． （2）因为的面积为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 所以，即， 故的周长为． 变式1．（25-26高一下·北京丰台·月考）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若点到直线的距离为的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理角化边即可求解； （2）由三角形面积公式结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）由余弦定理角化边得，，整理得， 所以， 因为，所以 （2）由题知，，即， 由三角形面积公式得，所以， 由余弦定理得， 所以，所以， 所以的周长为. 变式2．（25-26高一下·北京石景山·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得到，再利用余弦定理，即可求解； （2）根据条件，利用辅助角公式得到，进而得到，从而有，再利用正弦定理，即可求出结果. 【详解】（1）在中，由正弦定理得. 因为，所以，. 化简得. 在中，由余弦定理得. 又因为，所以. （2）由，可得， 又，所以，得到，即， 所以， ，又， 由正弦定理得，得到， 解得，， 故的周长为. 变式3．（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解， （2）根据重心的性质可得，进而根据余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得． 又因为，所以． （2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点， 又因为，所以． 在中，由和，可得． 在和中，有， 由余弦定理可得 故， 所以， 所以的面积为． 考点三 三角形面积公式及其应用 例1．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量，，设函数． (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； (2)已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 【答案】(1)单调递增区间为，，对称轴方程为， (2) 【分析】（1）先利用向量数量积的运算律和坐标表示及三角函数的二倍角公式和辅助角公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先利用正弦函数的性质求出角，代入余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1） ， 由，，得， 所以函数的单调递增区间为，， 令，，解得， 所以函数的对称轴方程为，. （2）由（1）知， 当时，则当即时函数取得最大值， 又恰是函数在上的最大值，且为锐角，可得， 由余弦定理可得，解得或， 因为，所以，则， 所以三角形的面积. 所以三角形的面积为. 例2．（25-26高一下·北京大兴·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，且. (1)求角； (2)若，角的平分线交于点，求线段的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化和三角恒等变换化简可得结果； （2）由三角形面积公式可得，再由等面积法可得，最后结合基本不等式得到线段的取值范围. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即， 所以，即， 又，所以，所以， 又，所以. （2）由（1）知，则， 因为角的平分线交于点，则， 又，所以， 则，当且仅当时取等号， 所以线段的取值范围为. 例3．（25-26高一下·辽宁营口·月考）在中，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系和和差公式直接计算可得； （2）利用正弦定理求出，然后由面积公式可得. 【详解】（1）由题可知，又，所以 因为， 所以． （2）在中，由正弦定理，得． 所以． 变式1．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知中，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）利用三角恒等变换得，再根据三角形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）由正弦定理得，即，解得， 又因为，则，则. （2），， 则. 变式2．（24-25高一下·北京西城·期中）已知函数． (1)求的最小正周期、对称轴和对称中心： (2)求在上的最值及此时的取值； (3)锐角中，，角满足，求角A的值与面积． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为，对称中心为； (2)最小值为，此时；最大值为2，此时； (3). 【分析】（1）利用正弦函数的图象性质求解. （2）求出相位的范围，进而求出最值及对应值. （3）求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由，得；由，得， 所以的最小正周期为，对称轴为，对称中心为. （2）当时，，则当，即时，； 当，即时，， 所以的最小值为，此时；最大值为2，此时. （3）由，得，而为锐角，则，解得， 又，所以面积为. 变式3．（2025·北京海淀·一模）在中，已知，． (1)求的值； (2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）转化已知条件求得，解得正弦定理，即可求得； （2）对条件①：求得，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面积；对条件③，求得，由，判定为锐角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面积. 【详解】（1）因为，则， 又，，故，也即； 又，由正弦定理可得：，解得. （2）由（1）可知，，又为锐角，故，又； 若选择条件①：，由正弦定理可得，解得， 此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择； 若选择条件②：，则，由正弦定理，可得； 此时，两角均为锐角，故三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 若选择条件③：，又，解得， 因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $