精品解析：山东青岛市即墨区第二十八中学2025-2026学年度第二学期第二次阶段性检测初三数学试卷

2025-2026学年度第二学期第二次阶段性检测初三数学试卷 （考试时间：120分钟） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为非选择题，共15小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（选择题共27分） 一、选择题（本题满分27分，共9道小题，每小题3分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 刍甍（chú méng）是中国古代著作《九章算术》提到的一个五面体．如图，其底面为长方形，其余四个侧面中有两个侧面形状是三角形，另外两个是梯形，则下图可以是刍甍的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点O按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共93分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 10. 计算：______． 11. 从甲、乙两名学生中选拔一人参加科技创新知识竞赛，在相同条件下对他们的科技创新知识进行了次测验，经计算知：，，这表明______（填写“甲”或“乙”）的成绩更稳定． 12. 为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，，，，都在格点（小正方形的顶点）上，和所在圆的圆心均为点，则阴影部分的面积为______． 14. 如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为__________． 15. 如图正方形的边长为4，、分别为、的中点，连接、，交点为．将沿对折，得到，延长与线段的延长线交于点，如下结论： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的是_____（填序号）． 三、作图题（本题满分4分）用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹． 16. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：直线，直线外一点． 求作：矩形，使边在直线上，且． 四、解答题（本题满分71分，共9道小题） 17. 计算 （1）解不等式组： （2）先化简，再求值：其中从、0、1、2中取一个合适的值． 18. 055型驱逐舰对于中国海军实施“近海防御、远海护卫”战略具有重要意义．某班开展“055驱逐舰”主题班会，班级的每位同学都从南昌舰、拉萨舰、鞍山舰、无锡舰、大连舰、延安舰、遵义舰、咸阳舰、东莞舰、安庆舰这10艘战舰中随机挑选一艘进行介绍，每位同学选择每艘驱逐舰的可能性相同． （1）该班的晓慧选择介绍延安舰的概率为______； （2）该班的军军和乐乐制作了四张正面分别为大连舰、延安舰、咸阳舰、安庆舰的不透明卡片（如图），这些卡片除了正面不同外其余均相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，军军从四张卡片中随机抽取一张，不放回，乐乐再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求两人均没有抽到咸阳舰的概率． 19. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（满分100分，分为四个等级：A．；B．；C．；D．．）下面给出了部分信息． 甲款聊天机器人的评分扇形统计图 甲、乙款聊天机器人的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲款 89.95 90.5 85 乙款 91.4 86 乙款聊天机器人的评分频数分布统计表 分组 频数 3 7 4 乙款聊天机器人的评分组的数据从低到高排列如下： 91，91，92，93，94，95，95． （1）填空：______，______，______． （2）你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由．（写出一条理由即可） （3）在此次调查中，分别有500人、400人对甲、乙款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数． 20. 在一次数学实践活动中，九（1）班数学小组想要测量山坡上一棵松树的高度（如图1）．经测量，数学小组绘制出图2的示意图，其中松树与水平地面垂直，在斜坡处测得松树顶端的仰角，并测得斜坡的坡度（即）为，然后沿着斜坡行走至松树底端处，测量得到． （1）求点到水平地面的距离； （2）求松树的高（精确到）．（参考数据： 21. 小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： ，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： （1）多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____； （2）若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____； （3）若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____． 22. 综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买台四足机器人和台人形机器人共需万元； 台人形机器人的售价比台四足机器人贵万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众人次； 每台人形机器人每日可服务观众人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共台，采购总预算不超过万元． （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 23. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，垂足分别为．延长至点，使．连接． （1）求证：． （2）当和满足什么数量关系时四边形是正方形？并说明理由． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 滑雪爱好者滑雪轨迹问题 素材1 图1是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台长为1米，平台距地面18米．以地面所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，取1米为单位长度，建立如图2的平面直角坐标系． 已知滑道对应的函数为． 素材2 滑雪爱好者（看成点）在方向获得速度米/秒后，从处向右下飞向滑道，点是下落过程中的某位置．设滑雪爱好者飞出时间为秒，滑雪爱好者与点的竖直距离为米，运动员与点的水平距离为米． 素材3 实验表明：． 素材4 滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行的过程中，若飞行的高度与跳台滑道的竖直距离能超过8米就可获得奖励． 问题解决 （1）确定滑道形状：根据图2，求滑道抛物线的解析式； （2）确定滑雪爱好者与滑道位置关系：根据图3，当时，判断此时滑雪爱好者是否在滑道上． （3）确定滑雪爱好者的滑雪方案：滑雪爱好者从处飞出，如果飞出的路径近似看成函数的图像，该滑雪爱好者能否获得奖励，为什么？ 25. 已知，与正方形如图①位置摆放，边，在同一直线上，点与点重合，，，，．正方形从图①位置出发，沿方向平移，速度为，交于点；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，线段的垂直平分线交于点，当与重合时，停止运动，连接，设运动时间为． 解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）如图②，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）如图③，当沿翻折，点的对应点恰好落到上时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第二次阶段性检测初三数学试卷 （考试时间：120分钟） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为非选择题，共15小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（选择题共27分） 一、选择题（本题满分27分，共9道小题，每小题3分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 4. 刍甍（chú méng）是中国古代著作《九章算术》提到的一个五面体．如图，其底面为长方形，其余四个侧面中有两个侧面形状是三角形，另外两个是梯形，则下图可以是刍甍的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：刍甍的俯视图为． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需根据合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方的法则逐一判断选项． 【详解】解：A选项：和不是同类项，不能合并，故A错误． B选项：根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故B正确． C选项：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故C错误． D选项：根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，，故D错误． 6. 如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点O按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转及平移的性质画出图形，然后问题可求解． 【详解】A点绕O点逆时针旋转，得到点， 向下平移4个单位，得到， 故选：D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形及平移的性质，熟练掌握旋转的性质、坐标与图形及平移的性质是解题的关键． 7. 图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，求出，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 8. 如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理．首先连接，由圆周角定理即可得的度数、的度数，然后由圆周角定理即可得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 第II卷（非选择题共93分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和特殊角的三角函数值，解题思路为先根据二次根式运算法则化简第一部分，再代入特殊角的三角函数值计算第二部分，最后作差即可求解． 【详解】解 ：原式        11. 从甲、乙两名学生中选拔一人参加科技创新知识竞赛，在相同条件下对他们的科技创新知识进行了次测验，经计算知：，，这表明______（填写“甲”或“乙”）的成绩更稳定． 【答案】乙 【解析】 【分析】比较甲和乙的方差大小，根据方差越小数据越稳定即可判断结果． 【详解】解：方差反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，成绩越稳定， ∵，， ∴， 因此乙的成绩波动更小，成绩更稳定． 12. 为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设张老师原来平均每小时批改x道题目， 则． 13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，，，，都在格点（小正方形的顶点）上，和所在圆的圆心均为点，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图形可知，借助网格求出扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：由图可知， ，，， 在和中，， ∴， ， ． 14. 如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，， ∴,的面积=的面积=， ∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 15. 如图正方形的边长为4，、分别为、的中点，连接、，交点为．将沿对折，得到，延长与线段的延长线交于点，如下结论： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的是_____（填序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】利用正方形的性质证得，通过角的关系求得，即可得①正确；利用翻折的性质推得，求出的长度，通过即可证得②正确；证得，可得，利用勾股定理求得，代入，求出的值，进而求出，即可得③错误；利用正方形的性质结合翻折的性质证得，设，在中，利用勾股定理构建方程，解方程，求出，通过即可证得④错误；通过即可得证⑤错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 、分别为、的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， 沿对折，得到， ，， 在和中， , , , ，故②正确； 在中，， ， 由①得：，， ，， ， ， ， 由②得：， ， ， 解得：， ， ， ，故③错误； 四边形是正方形， ， ， 沿对折，得到， ，，，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ，则， 在中，，故④错误； 由③得：，， ，故⑤错误． 综上所述：正确的结论是①②． 三、作图题（本题满分4分）用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹． 16. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：直线，直线外一点． 求作：矩形，使边在直线上，且． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、矩形的判定，理解题意，掌握基本的作图方法是解题关键． 利用尺规过点作直线的垂线，交直线于点，再作交直线于点和，再以点和为圆心，长为半径向上画弧，以为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，再根据矩形的判定可知四边形和为矩形，则图形即为所求． 【详解】解：如图所示，矩形和矩形即为所求： 四、解答题（本题满分71分，共9道小题） 17. 计算 （1）解不等式组： （2）先化简，再求值：其中从、0、1、2中取一个合适的值． 【答案】（1）不等式组的解集为 （2）化简结果为，当时，原式的值为 【解析】 【分析】（1）分别解出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到最终解集，用到一元一次不等式的基本解法； （2）先通分合并原式，再通过因式分解约分得到化简结果，根据分式有意义的条件排除使分母为0的的取值，选择合适的代入计算结果，用到分式运算法则和分式有意义的条件． 【小问1详解】 解：  解不等式①，不等式两边同乘2得：   移项得：  解不等式②，去括号得：  移项合并同类项得：  因此原不等式组的解集为． 【小问2详解】 解： 分式有意义时分母不能为0，因此，， 可得且． 从中只能选取，代入得：原式． 18. 055型驱逐舰对于中国海军实施“近海防御、远海护卫”战略具有重要意义．某班开展“055驱逐舰”主题班会，班级的每位同学都从南昌舰、拉萨舰、鞍山舰、无锡舰、大连舰、延安舰、遵义舰、咸阳舰、东莞舰、安庆舰这10艘战舰中随机挑选一艘进行介绍，每位同学选择每艘驱逐舰的可能性相同． （1）该班的晓慧选择介绍延安舰的概率为______； （2）该班的军军和乐乐制作了四张正面分别为大连舰、延安舰、咸阳舰、安庆舰的不透明卡片（如图），这些卡片除了正面不同外其余均相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，军军从四张卡片中随机抽取一张，不放回，乐乐再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求两人均没有抽到咸阳舰的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两人均没有抽到咸阳舰的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有10艘战舰，且每位同学选择每艘驱逐舰的可能性相同， ∴该班的晓慧选择介绍延安舰的概率为； 【小问2详解】 解：用A、B、C、D分别表示正面分别为大连舰、延安舰、咸阳舰、安庆舰的四张卡片，列表如下： 军军 乐乐 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两人均没有抽到咸阳舰的结果数有6种， ∴两人均没有抽到咸阳舰的概率为． 19. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（满分100分，分为四个等级：A．；B．；C．；D．．）下面给出了部分信息． 甲款聊天机器人的评分扇形统计图 甲、乙款聊天机器人的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲款 89.95 90.5 85 乙款 91.4 86 乙款聊天机器人的评分频数分布统计表 分组 频数 3 7 4 乙款聊天机器人的评分组的数据从低到高排列如下： 91，91，92，93，94，95，95． （1）填空：______，______，______． （2）你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由．（写出一条理由即可） （3）在此次调查中，分别有500人、400人对甲、乙款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数． 【答案】（1）15，6，91 （2）乙款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析 （3）估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数为445人． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提． （1）用“1”分别减去其它三组所占百分比可得a的值；用20分别减去其它三组的频数可b的值；根据中位数的定义可得c的值； （2）根据平均数、中位数和众数的意义解答即可（答案不唯一）； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，即； ； 把乙款聊天机器人抽取20份评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是91，91，故中位数， 故答案为：15，6，91； 【小问2详解】 解：乙款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为乙款聊天机器人评分的平均数比甲款高，所以乙款聊天机器人更受用户喜爱；（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数为445人． 20. 在一次数学实践活动中，九（1）班数学小组想要测量山坡上一棵松树的高度（如图1）．经测量，数学小组绘制出图2的示意图，其中松树与水平地面垂直，在斜坡处测得松树顶端的仰角，并测得斜坡的坡度（即）为，然后沿着斜坡行走至松树底端处，测量得到． （1）求点到水平地面的距离； （2）求松树的高（精确到）．（参考数据： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设于D，利用坡度的定义结合勾股定理即可求得答案； （2）先求得，再解直角三角形求出，然后利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：设于D， 在直角三角形中，∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴m，即点到水平地面的距离是； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 则在直角三角形中， ∵，即， ∴， ∴； 答：松树的高约为． 21. 小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： ，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： （1）多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____； （2）若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____； （3）若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____． 【答案】（1）和， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对多项式因式分解得出 ，结合定义即可求解； （2）由题意令其“零值”为，则多项式可写成 ，可知，即可求解； （3）由得，故“对称值”为3．设多项式的另一个“零值”为，根据已知它的“对称值”与 相同，得出方程，求得的值，即可求解． 【小问1详解】 对多项式因式分解，得    令，得； 令，得  因此多项式的“零值”为和  根据“对称值”定义计算得： ，即“对称值”为． 【小问2详解】 展开多项式 ，得    因为两个“零值”相等，设相等的“零值”为，则多项式可写成  对比系数得 ， 解得  ， 因此“对称值”为． 【小问3详解】 对 因式分解，得 ， 因此它的两个“零值”为和  已知该多项式有一个“零值”为，因此  计算 的“对称值”得：  设多项式的另一个“零值”为， 已知它的“对称值”与 相同，即对称值为，且一个零值为， 因此可得    解得，即另一个“零值”为． 22. 综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买台四足机器人和台人形机器人共需万元； 台人形机器人的售价比台四足机器人贵万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众人次； 每台人形机器人每日可服务观众人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共台，采购总预算不超过万元． （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】（1）每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元 （2）采购四足机器人台、人形机器人台时，每日总服务人次最多，最多为人次 【解析】 【分析】（1）设两种机器人的单价为未知数，根据素材1的两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到单价． （2）设采购 四足机器人的数量，根据预算限制列不等式得到自变量的取值范围，再根据每日服务人次的关系列出一次函数，利用一次函数的增减性求最大值即可． 【小问1详解】 解：设每台 四足机器人售价为万元，每台 人形机器人售价为万元， 根据题意得：  解得：  答：每台 四足机器人售价为2万元，每台 人形机器人售价为8万元． 【小问2详解】 解：设采购 四足机器人台，则采购 人形机器人 台， 根据题意得：  解得：  ，即，  ， 设每日总服务人次为， 则 ，  随增大而减小，  当取最小值时，取得最大值，最大为 ， 此时 ， 答：采购 四足机器人4台、 人形机器人8台时，每日总服务人次最多，最多为2680人次． 23. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，垂足分别为．延长至点，使．连接． （1）求证：． （2）当和满足什么数量关系时四边形是正方形？并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴； （2）当时，四边形是正方形；理由如下： 证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则当时，， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，推出，进而利用即可证得结论； （2）易证四边形是矩形，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质可得，于是可得当时四边形是正方形． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 24. 根据以下素材，探索完成任务． 滑雪爱好者滑雪轨迹问题 素材1 图1是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台长为1米，平台距地面18米．以地面所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，取1米为单位长度，建立如图2的平面直角坐标系． 已知滑道对应的函数为． 素材2 滑雪爱好者（看成点）在方向获得速度米/秒后，从处向右下飞向滑道，点是下落过程中的某位置．设滑雪爱好者飞出时间为秒，滑雪爱好者与点的竖直距离为米，运动员与点的水平距离为米． 素材3 实验表明：． 素材4 滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行的过程中，若飞行的高度与跳台滑道的竖直距离能超过8米就可获得奖励． 问题解决 （1）确定滑道形状：根据图2，求滑道抛物线的解析式； （2）确定滑雪爱好者与滑道位置关系：根据图3，当时，判断此时滑雪爱好者是否在滑道上． （3）确定滑雪爱好者的滑雪方案：滑雪爱好者从处飞出，如果飞出的路径近似看成函数的图像，该滑雪爱好者能否获得奖励，为什么？ 【答案】（1）滑道抛物线的解析式为； （2）此时滑雪爱好者没有落在滑道上； （3）该滑雪爱好者能够获得奖励． 【解析】 【分析】本题考查利用二次函数解决实际问题， （1）把代入，即可得到结论； （2）把，代入，，求得，再把代入即可得到结论； （3）根据题意列函数解析式，由二次根式的性质即可解答； 解题的关键是要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【小问1详解】 解：由题意，点的坐标为，且点在滑道所在的抛物线上， ∴， 解得：， ∴滑道抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当，时， ，， ∴，， ∴， 当时，， 由于， ∴此时滑雪爱好者没有落在滑道上； 【小问3详解】 解：设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为， 依题意，得：， ∵， ∴当时，有最大值8.1， ∵飞行的高度与跳台滑道的垂直距离超过8米就可获得奖励， ∴该滑雪爱好者能够获得奖励． 25. 已知，与正方形如图①位置摆放，边，在同一直线上，点与点重合，，，，．正方形从图①位置出发，沿方向平移，速度为，交于点；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，线段的垂直平分线交于点，当与重合时，停止运动，连接，设运动时间为． 解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）如图②，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）如图③，当沿翻折，点的对应点恰好落到上时，求的值． 【答案】（1）当时，点在线段的垂直平分线上 （2） （3）t的值为 【解析】 【分析】先分别用t表示出线段，， （1）根据线段垂直平分线的性质，可得此时，通过线段的和差用t表示这线段，列方程求解即可； （2）先通过勾股定理求出，作，通过直角相等和一个公共角相等，得到和，利用相似三角形的性质，分别用t表示出其余线段，进而用t表示图中各个三角形的面积，再通过面积和差得到S与t的关系即可； （3）连接，交于点H，利用折叠的性质得到与的关系，利用线段垂直平分线的性质得到，再通过等边对等角，得到，从而可证，用t表示出，借助和，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当点在线段的垂直平分线上时， 由线段的垂直平分线的性质，得， 由题意，， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点在线段的垂直平分线上； 【小问2详解】 解：如图，作， 在中，， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理，可得， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 令，即，得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点H， 由折叠的性质，得，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又， ∴， 解得（舍去）或， ∴此时t的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $