第八章 8.1 直线的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线的方程”核心考点，覆盖方向向量、倾斜角、斜率及五种方程形式等高考必备知识，对接高考评价体系，分析斜率与倾斜角关系、方程形式应用等高频考点权重，归纳判断正误、选择、解答等常考题型，构建系统复习框架。 课件以“知识梳理+真题诊断+题型突破”为特色，结合高考真题（如求直线倾斜角、截距相等的直线方程），通过题型三例3用均值不等式解决面积最值问题，培养数学思维中的推理能力与运算能力，提供截距概念辨析等易错点分析，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准开展复习教学，提升备考效率。

直线的方程 落实主干知识 1.直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l_____ 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 . 向上 0°≤α<180° 3.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k= .(α≠90°)  (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k=_______. 正切值 tan α 名称 方程 适用范围 点斜式 __________ 不含直线x=x0 斜截式 ________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ________________________ 不含直线x=x1和直线y=y1 截距式 _______ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 _____________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 4.直线方程的五种形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b =(x1≠x2，y1≠y2) +=1 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线与x轴的夹角就是倾斜角.(　　) (2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.(　　) (3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.(　　) (4)截距一定是正数.(　　) 自主诊断 × × × × 2.直线x-y+2 026=0的倾斜角是 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 解析　根据题意，设直线x-y+2 026=0的倾斜角为α， 因为其斜率k=tan α=， 又由0°≤α<180°，所以α=60°. 3.(多选)设直线l的方程为y=x+2，则下列说法正确的有 A.直线l的斜率为 B.直线l在y轴上的截距为2 C.直线l在x轴上的截距为 D.直线l与坐标轴围成的三角形的面积为 √ √ √ 解析　由直线l的斜截式方程为y=x+2，得直线l的斜率为，在y轴上的截距为2，故A，B正确； 在方程y=x+2中，令y=0，解得x=-，即直线l在x轴上的截距为-，故C错误； 设直线l与x轴、y轴的交点分别为A，B，坐标原点为O(0，0)，则A，B(0，2)， 直线l与坐标轴围成的三角形为△OAB. 因为|OA|=，|OB|=2，所以S△OAB=|OA||OB|=，故D正确. 4.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　　　　　　　. 3x-2y=0或x+y-5=0 解析　当截距为0时，直线方程为3x-2y=0； 当截距不为0时，设直线方程为+=1， 则+=1， 解得a=5，直线方程为x+y-5=0. 所以直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0. 1.掌握倾斜角与斜率的关系 (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系. (2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈ 时，α越大，直线l的斜率越大. (3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率. 微点提醒 微点提醒 返回 2.直线的方向向量 当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k). 3.谨记以下两个关键点 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. (2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=kx+b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x=ty+b. 探究核心题型 例1　 (1)下列叙述正确的是 A.若一条直线的斜率为k=tan α，则此直线的倾斜角为α B.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° C.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D.若直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为 α(0°<α<90°)，则其倾斜角为α √ 题型一　直线的倾斜角与斜率 解析　当α=240°时，直线斜率k=tan 240°=，但直线倾斜角为60°，故A错误； 与x轴垂直的直线的倾斜角为90°，与y轴垂直的直线的倾斜角为0°，故B正确； 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为90°的直线的斜率不存在，故C错误； 如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为α+90°； 当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°-α，故D错误. (2)已知直线l的方程为xsin α+y-1=0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是 A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ √ 解析　由题意知直线l的方程为xsin α+y-1=0，α∈R， 即y=-x+，即直线l的斜率k=-. 由α∈R，-1≤sin α≤1，得-≤k≤. 又直线l的倾斜角θ的取值范围为[0，π)，-≤tan θ≤， 由正切函数的性质可得，直线l的倾斜角θ的取值范围为∪. 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论. 思维升华 跟踪训练1　(1)(多选)已知直线l：x+y-2=0，则下列选项中正确的有 A.直线l的斜率为- B.直线l的倾斜角为 C.直线l不经过第四象限 D.直线l的一个方向向量为v=(-，3) √ √ 解析　由l：x+y-2=0，可得y=-x+2，故其斜率为k=-，倾斜角为，故A项正确，B项错误； 由直线y=-x+2知其斜率k<0，纵截距b=2>0，所以直线l不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误； 取直线l上两点A(0，2)，B(，-1)，可得=(-，3)，即直线l的一个方向向量为v=(-，3)，故D项正确. (2)已知点A(3，4)，B(-2，-1)，若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交，则 k的取值范围是 A. B.∪[3，+∞) C.(-∞，0]∪ D. √ 解析　直线l：y=k(x-2)+1过定点P(2，1)， 而kPA==3，kPB==， 由图可知，要使直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交， 则k≤或k≥3，即k的取值范围是∪[3，+∞). 例2　(1)下列说法一定正确的是 A.过点(0，1)的直线方程为y=kx+1 B.斜率是-4，在y轴上的截距是7的直线方程是y=-4x-7 C.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为+=1 D.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1) 题型二　求直线的方程 √ 解析　对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=0，故A错误； 对于B，斜率是-4，在y轴上的截距是7的直线方程是y=-4x+7，故B错误； 对于C，当截距为0时，直线方程不能表示为+=1，故C错误； 对于D，当过点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率存在且不为零时， 该直线的两点式方程为=，可化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)； 当直线与x轴垂直时，方程为x=x1，满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)； 当直线与y轴垂直时，方程为y=y1，满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1). 综上所述，过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，故D正确. (2)过点A(2，1)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的方程为　　　　　　　　. x-2y=0或x-y-1=0 解析　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则a+b=0. 若a=b=0，则直线过原点，又过点A(2，1)，则直线方程为x-2y=0； 若a≠0，b≠0，则b=-a，可设直线方程为+=1， 代入点A(2，1)，可得+=1，解得a=1，则直线方程为x-y-1=0. 综上，所求直线方程为x-2y=0或x-y-1=0. 求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式. (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数. 思维升华 跟踪训练2　(1)(多选)下列说法正确的有 A.点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线 B.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限 C.过点(2，-1)，且倾斜角为120°的直线的点斜式方程为y+1=-(x-2) D.直线y=5x-3在y轴上的截距为3 √ √ 解析　对于选项A，点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线x=x0，故选项A错误； 对于选项B，由直线y=kx+b经过第一、二、四象限可得k<0，b>0，所以点(k，b)在第二象限，故选项B正确； 对于选项C，直线的倾斜角为120°，则斜率k=tan 120°=-，又过点 (2，-1)，则直线的点斜式方程为y+1=-(x-2)，故选项C正确； 对于选项D，直线y=5x-3在y轴上的截距为-3，故选项D错误. (2)经过点P(1，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线的方程是　　　　　 　　. 2x-y=0或x+2y-5=0 解析　若直线经过原点，设直线方程为y=kx，将P(1，2)代入可得k=2，所以直线方程为y=2x，即2x-y=0； 若直线不经过原点，设直线方程为+=1，将P(1，2)代入可得a=，所以直线方程为+=1，即x+2y-5=0. 综上，所求直线方程为2x-y=0或x+2y-5=0. 题型三　直线方程的综合应用 解　方法一　设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0)， 则A，B(0，1-2k)， S△AOB=(1-2k)·=≥=×(4+4)=4， 当且仅当-4k=-且k<0， 即k=-时，等号成立. 故直线l的方程为y-1=-(x-2)， 即x+2y-4=0. 例3　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程. 解　方法二　设直线l的方程为+=1， 且a>2，b>1， 因为直线l过点M(2，1)，所以+=1， 则1=+≥2，故ab≥8， 故S△AOB=ab≥×8=4， 当且仅当=，即a=4，b=2时，等号成立， 故直线l的方程为+=1， 即x+2y-4=0. 例3　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程. 延伸探究　 1.在本例条件下，当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程. 解　由本例方法二知，+=1，a>2，b>1， 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·=3++≥3+2， 当且仅当=， 即a=2+，b=1+时，等号成立， 所以当|OA|+|OB|取最小值时，直线l的方程为x+y-2-=0. 2.在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程. 解　由本例方法一知A， B(0，1-2k)(k<0). 所以|MA|·|MB|=·=2×=2≥4. 当且仅当-k=-且k<0，即k=-1时，等号成立. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决. (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决. 思维升华 跟踪训练3　(1)“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-<k<1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解　要使y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限， 则解得-<k<1， 因此，“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-<k<1”的充要条件. (2)在平面直角坐标系中，过点P(2，2)作直线AB，分别与x轴的正半轴、 y轴的正半轴交于点A，B.当直线AB的斜率为　　　时，△AOB的面积最小(O是坐标原点)，则最小面积是　　　. -1 8 解析　设A(a，0)，B(0，b)，a>2，b>2， 则直线AB的方程为+=1， 将P(2，2)代入得+=1， 因为1=+≥2=， 当且仅当==，即a=b=4时，等号成立， 所以≥4，ab≥16，S△AOB=ab≥×16=8， 所以当直线AB的斜率k=-=-1时， △AOB的面积最小，最小面积是8. 返回 课时精练 解析　设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)， 若向量a=(，1)是直线l的一个方向向量， 则直线l的斜率为k=tan α==， 因为0≤α<π，所以α=. 一、单项选择题 1.若向量a=(，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 15 16 2.直线x-2y-5=0在y轴上的截距为 A.5 B.-5 C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　在x-2y-5=0中，令x=0，得y=-， 故直线x-2y-5=0在y轴上的截距为-. 15 16 3.已知直线l过点(1，-2)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 A.x+y+1=0 B.x+y+1=0或2x+y=0 C.x-y-3=0 D.x-y-3=0或2x+y=0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法一　当直线过原点时，斜率为k==-2，则直线方程为2x+y=0； 当直线不过原点时，设直线方程为+=1，代入点(1，-2)，得+=1，解得a=3， 故直线方程为x-y-3=0. 综上所述，直线方程为x-y-3=0或2x+y=0. 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法二　因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线的斜率为1. 当直线过原点时，直线的斜率为k=-2，则直线方程为2x+y=0； 当直线的斜率为1时，因为直线过点(1，-2)， 则直线方程为y-(-2)=x-1，即x-y-3=0. 综上所述，直线方程为x-y-3=0或2x+y=0. 15 16 4.已知直线l1：y=x-1绕点(0，-1)逆时针旋转得到直线l2，则l2的斜截式方程为 A.y=x-1 B.y=-x-1 C.y=x-1 D.y=-x-1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　直线l1：y=x-1，其斜率k1=1，设其倾斜角为α1，则tan α1=1，又因为倾斜角α1∈[0，π)，所以α1=.直线l1绕点(0，-1)逆时针旋转，则直线l2的倾斜角α2=+=， 直线l2的斜率k2=tan α2=tan=-， 又因为直线l2过点(0，-1)，所以直线l2的斜截式方程为y=-x-1. 15 16 5.已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α<<β，则下列关系正确的是 A.0<k1<k2 B.k1<k2<0 C.k1<0<k2 D.k2<0<k1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　依题意得k1=tan α，k2=tan β，α∈，β∈， 而y=tan x在和 上单调递增，且在上，y=tan x>0， 在上，y=tan x<0， 所以tan β<0<tan α，即k2<0<k1. 15 16 6.已知直线l的方程为kx-y+2k-2=0(k∈R)，若直线l不经过第二象限，则 k的取值范围为 A.(-∞，1] B.[0，+∞) C.[0，1] D.[1，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法一　方程化为斜截式为y=kx+2k-2，斜率存在，且直线l与y轴的交点为(0，2k-2)， 当k=0时，直线l的方程为y=-2，满足题意； 当k≠0时，直线l不经过第二象限，点(0，2k-2)需在y轴的非正半轴上， 且斜率k>0，即解得0<k≤1. 综上可得，0≤k≤1，故k的取值范围为[0，1]. 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法二　方程化为点斜式为y+2=k(x+2)， 所以不论k为何值，直线l都过定点P(-2，-2)， 作直线l1经过定点P且平行于x轴，直线l2经过定点P和坐标原点O，如图所示， 因为直线l不经过第二象限， 所以l1和l2是符合条件的临界位置， 即0=≤k≤=1， 所以k的取值范围为[0，1]. 15 16 7.斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1，2，3，…，9)均为18 m.最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|=84 m，|OA1|=78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为 A.± B.± C.± D.± 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由题意知{|OPi|}，{|OAi|}(i=1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列， 所以|OP10|=|OP1|+9×4=84+9×4=120， |OA10|=|OB10|=|OA1|+9×18=78+9×18=240， 则P10(0，120)，A10(240，0)，B10(-240，0)， 所以==， ==-， 即最长拉索所在直线的斜率为±. 15 16 8.已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为 A.- B.- C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由题意可设直线l：y-8=k(x-6)(k<0)，即y=kx+8-6k(k<0). 不妨假设A在x轴上， 则A，B(0，8-6k)，易知A在C右侧， 记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6-，8-6k， 所以△ABC的面积S=(8-6k)=≥ (64+2)=32+16， 当且仅当-=-12k(k<0)，即k=-时，等号成立. 15 16 二、多项选择题 9.下列命题中错误的是 A.若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B.倾斜角越大，斜率就越大 C.直线的一般式方程为Ax+By+C=0 D.任何一条直线至少要经过两个象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　若直线的倾斜角α∈，则其斜率k=tan α<0，A正确； 当倾斜角为锐角时，斜率为正，当倾斜角为钝角时，斜率为负，B错误； 直线的一般式方程为Ax+By+C=0，A2+B2≠0，C错误； 当直线与x轴或y轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 15 16 10.下列说法中，正确的有 A.直线y=kx-2在y轴上的截距是2 B.直线x-y-3=0的倾斜角为30° C.若直线l的方向向量是(2，3)，则直线l的斜率是 D.若点P(x0，y0)在直线l：Ax+By+C=0上，则直线l的方程为A(x-x0)+B(y-y0) =0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　A选项，取x=0，则y=-2，即直线y=kx-2在y轴上的截距是-2，A选项错误； B选项，直线x-y-3=0可化为y=x-，直线的斜率是， 设其倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α=，α=30°，B选项正确； C选项，根据方向向量的定义可知直线l的斜率是，C选项正确； D选项，若点P(x0，y0)在直线l：Ax+By+C=0上，则Ax0+By0+C=0，即C= -Ax0-By0， 直线Ax+By+C=0可化为Ax+By-Ax0-By0=A(x-x0)+B(y-y0)=0，D选项正确. 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.已知直线l：-kx+y-1+3k=0(k∈R)过定点Q，则下列说法正确的是 A.直线l过定点Q(3，1) B.若直线l不经过第四象限，则k的取值范围为[0，+∞) C.若直线l在x轴上的截距为-3，则k= D.若直线l分别交x，y轴的正半轴于点A，B，则当·取得最小值时， 直线l的方程为x+y-4=0 √ √ √ 15 16 解析　对于A，直线l：-kx+y-1+3k=0，即k(-x+3)+(y-1)=0， 令解得故直线l：-kx+y-1+3k=0过定点Q(3，1)，故A正确； 对于B，直线l：-kx+y-1+3k=0，即y=kx+1-3k， ∵直线l不经过第四象限，∴解得0≤k≤， 故k的取值范围是，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 解析　对于C，易知当k≠0时，直线l在x轴上的截距存在，依题意，令y=0，得直线l在x轴上的截距为=-3，解得k=，故C正确； 对于D，设A(a，0)，B(0，b)，a>3，b>1， ∵A，Q，B三点共线， ∴=，整理得+=1， ·=(3-a，1)·(-3，b-1)=3a+b-10 =(3a+b)-10=+≥2=6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 解析　当且仅当=，即a=b=4时等号成立， ∴当·取得最小值时，直线l的方程为+=1，即x+y-4=0，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 12.若直线l的倾斜角为且在x轴上的截距为-1，则直线l的一般式方程是 　　　　　　　. 解析　由直线l的倾斜角为，可得直线l的斜率为tan=， 又由直线l在x轴上的截距为-1，所以直线方程为y=(x+1)，即直线l的一般式方程是x-y+=0. x-y+=0 15 16 13.经过点P(0，-1)作直线l，若直线l与连接点A(1，-2)，B(2，1)的线段没有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 解析　如图所示，若直线l与线段AB没有公共点， 则直线l可从直线PB逆时针旋转到直线PA的位置，包含直线l的倾斜角为的情况，但不包含直线PA，PB， 因为kPA==-1，kPB==1， 所以斜率k<kPA=-1或k>kPB=1， 若α为直线l的倾斜角，从而tan α<-1或tan α>1或α=， 又α∈[0，π)，结合正切曲线可得倾斜角α的取值范围是. 14.设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为　　　　　　　　； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 x-y=0或x+y-2=0 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　①当直线l经过坐标原点时， 可得a+2=0， 解得a=-2. 所以直线l的方程为-x+y=0，即x-y=0； ②当直线l不经过坐标原点，即a≠-2时， 由条件得=a+2(a≠-1)， 解得a=0， 所以直线l的方程为x+y-2=0. 综上可得，直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0. 15 16 (2)若a>-1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，则当△OMN的面积取最小值时，直线l的方程为　　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 x+y-2=0 15 16 解析　在(a+1)x+y-2-a=0(a>-1)中， 令x=0，得y=a+2；令y=0，得x=. 所以M，N(0，a+2). 由于a>-1，得a+2>a+1>0. 所以S△OMN=··(a+2)=·=· =≥=2， 当且仅当a+1=且a>-1，即a=0时等号成立，此时直线l的方程为x+y-2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 15.已知过点P(2 025，1)的直线l在x轴和y轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线l的条数为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 能力拓展 15 16 解析　设直线l在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a>2 025，b>1，a，b∈N*，则直线l的截距式方程为+=1， 由于直线l过点P(2 025，1)，则+=1，故a=== 2 025+， 所以b-1为2 025的正约数，故b-1∈{1，3，9，27，81，5，15，45，135，405，25，75，225，675，2 025}， 即满足条件的正整数b的个数为15， 因此满足题设条件的直线l的条数为15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 15 16 16.如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为　　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 3x-y-5=0 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 返回 15 16 解析　设直线l的方程为y=3x+d，当直线l与L相交时，随着d的减小，L在这条直线上半部分的面积一定增加，下半部分的面积一定减小，任意一条过A(2，1)的直线将圆1与圆2组成的区域划分为面积相等的两个区域，任意一条过B(3，4)的直线将圆3与圆4组成的区域划分为面积相等的两个 区域，对于其余的四个圆，直线AB将其平分，因此直线AB将L划分为面积相等的两个区域且kAB==3，∴直线AB的方程为y-1=3(x-2)，即直线l：3x-y-5=0. $