8.1直线的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　直线的方程 第八章　平面解析几何 1.在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等). 课标要求 1.直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角; (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______; (3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是__________________. 向上 0° {α|0°≤α<180°} 3 3.直线的斜率 (1)定义:我们把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝_______________.  (2)计算公式 ①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. ②若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝;直线的方向向量可以 记为(1，k). tan α 正切值 4 4.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 ___________ 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 ________________ 两点式 过两点 ________________ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ____________ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式     Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 所有直线 y=kx+b y-y0=k(x-x0) = +=1 5 常用结论与微点提醒 1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀:“斜率变化分两段，90°是分界线;遇到斜率要谨记，存在与否要讨论.” 6 常用结论与微点提醒 2.特殊位置的直线方程 (1)x轴:y＝0;y轴:x＝0; (2)经过(a，b)且平行于x轴的直线:y＝b; 经过(a，b)且垂直于x轴的直线:x＝a; (3)经过原点且斜率为k的直线:y＝kx. 3.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A). 7 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面直角坐标系中的直线都有倾斜角与斜率.(　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　) (1)当直线的倾斜角为90°时，直线不存在斜率. (2)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1>α2，但其对应的斜率k1＝－1，k2＝1，k1<k2. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 × × 8 (3)截距是直线与坐标轴交点到x轴、y轴的距离.(　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　) (3)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. × √ 9 2.(苏教选修一P13T2)直线y＝k(x＋1)(k>0)可能是(　　) B 因为k>0，故A，C不正确; 当x＝－1时，y＝0，直线过点(－1，0)，故选B. 10 3.(北师大选修一P8T3改编)已知直线l的一个方向向量v＝(3，1)，则直线l的斜率为(　　) A.－3 B.3 C.－ D. D 因为v＝(3，1)，故直线的斜率为k＝. 11 4.(人教A选修一P67T7改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________.  当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0; 当截距不为0时，设直线方程为＝1， 则＝1， 解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0. 所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 3x-2y=0或x+y-5=0 12 例1 (1)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° AB 考点一　直线的倾斜角与斜率 根据题意，画出如下图形， 如图1，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°; 如图2，当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋ α－180°＝α－135°. (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________________________;倾斜角的取值范围为 ____________.  (-∞,-]∪[1,+∞) 如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1， 则k1＝＝－; 当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝1， 所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值 范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)， 倾斜角的取值范围是. 感悟提升 1.斜率的三种求法:定义法、斜率公式法、方向向量法. 2.倾斜角和斜率范围求法:(1)图形观察(数形结合);(2)充分利用函数k＝tan α的单调性. 3.当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大;当α∈时，α越大，直线l的斜率越大. 训练1 (1)(2026·安徽十校联考)已知a是直线2x－y＋1＝0的一个方向向量，若a＝(m，1)，则实数m的值为(　　) A. B.- C.2 D.-2 A 因为直线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以直线的一个方向向量为(1，2)， 记v＝(1，2)， 所以若a＝(m，1)是直线的一个方向向量， 则a∥v，即2m－1＝0，解得m＝. (2)已知直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围 是____________.  直线l的方程为xsin α＋y－1＝0， 则直线l的斜率k＝－sin α∈. 设直线l的倾斜角为θ，则有tan θ∈， 又θ∈[0，π)，所以当k∈时，直线l的倾斜角θ∈; 当k∈时，直线l的倾斜角θ∈. 综上所述，直线l的倾斜角θ∈∪. ∪ 例2 求符合下列条件的直线方程: (1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－; 考点二　直线的方程 ∵所求直线过点A(－1，－3)， 且斜率为－， ∴所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)， 即x＋4y＋13＝0. (2)直线过点A(0，－1)和B(－1，5); 法一(两点式)　由A(0，－1)和B(－1，5)得两点式方程为， 整理得6x＋y＋1＝0. 法二(点斜式)　由A(0，－1)和B(－1，5) 得kAB＝＝－6， 直线方程为y＋1＝－6(x－0)， 整理得6x＋y＋1＝0. (3)直线过点A(2，1)，且横截距为纵截距的两倍. 当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx， 又直线过点(2，1)，∴1＝2k，解得k＝， ∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0; 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＝1， 由题意可得 ∴直线方程为＝1，即x＋2y－4＝0. 综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. 感悟提升 求直线的两种方法 训练2 (1)(2026·南京模拟)已知△ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(3，1)，C(4，5)，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为(　　) A.2x＋y－3＝0 B.2x－y＋3＝0 C.x－y＋1＝0 D.2x－y－3＝0 D 由题意知点M的坐标为(2，1)， 又C(4，5)， 由直线的两点式方程得， 即中线CM所在直线的方程为2x－y－3＝0. (2)过点P(1，4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 C 分情况讨论:①当截距均为0时，设y＝kx，代入(1，4)，得k＝4，即y＝4x. ②当截距相等且不为0时，设＝1，代入(1，4)得a＝5，即x＋y－5＝0. ③当截距相反且不为0时，设＝1，代入(1，4)得a＝－3，即x－y＋3＝0. 综上，符合条件的直线共3条，故选C. 例3 已知直线l:kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; 考点三　直线方程的综合应用 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令 ∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1). (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围; 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， 要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0; 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞). (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程. 由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k). 依题意得解得k>0. ∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·≥×(2×2＋4)＝4， 等号成立的条件是k>0，且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 感悟提升 1.直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点. 2.与函数相结合的问题:一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决. 3.与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识来解决. 训练3 (1)(2026·西安质检)“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限”是“－<k<1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 要使y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限， 则解得－<k<1， 因此，“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限”是“－<k<1”的充要条件. (2)已知直线l1:ax－2y＝2a－4，l2:2x＋a2y＝2a2＋4.当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a＝____________.  由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)， 直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2， 所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝. 又0<a<2， 所以当a＝时，四边形的面积最小. 一、单选题 1.若直线l的方程为x＝－3，则直线l的倾斜角是(　　) A. B. C.π D.0 A ∵直线l的方程为x＝－3， ∴直线与x轴垂直，∴直线l的倾斜角是. 2.已知直线l倾斜角的余弦值为－，且经过点(2，1)，则直线l的方程为(　　) A.2x＋y－5＝0 B.2x－y－3＝0 C.x－2y＝0 D.x＋2y－4＝0 A 设倾斜角为θ，则cos θ＝－， 得tan θ＝－2，即k＝－2， ∴l的方程为y－1＝－2(x－2)， 即2x＋y－5＝0. 3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A 当倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大;当倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k1<k3<k2. A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 4.(2026·长春质测)直线x＋2y－4＝0与直线3x＋y－9＝0所成角是(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° B 直线x＋2y－4＝0的方向向量a＝(2，－1)，直线3x＋y－9＝0的方向向量b＝ (1，－3)，设两直线所成角为θ， 则cos θ＝|cos<a，b>|＝＝， 因为0°≤θ≤90°，所以θ＝45°，故选B. 5.已知直线l:2x＋3y－1＝0的倾斜角为θ，则cos(θ＋π)·sin＝(　　) A. B.－ C. D.－ B 由题意可知，tan θ＝－，θ∈， cos(θ＋π)·sin＝－cos2θ ＝－＝－＝－. 6.直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. D. B 由α∈≤cos α≤，所以k＝2cos α∈[1，]， 设直线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 则tan θ∈[1，]，所以θ∈. 7.下列说法正确的是(　　) A.直线y＝ax－2a＋3(a∈R)必过定点(－2，3) B.直线y＋1＝2x在y轴上的截距为1 C.点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l:mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是 D.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)表示同一条直线 C 直线y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3过定点(2，3)，A选项错误; 直线y＋1＝2x即y＝2x－1，在y轴上的截距为－1，B选项错误; 直线l:mx＋y－m－1＝0即m(x－1)＋y－1＝0过定点C(1，1)，画出图象如图所示，其中kAC＝＝－4，kBC＝，直线l的斜率为－m， 所以－m≥或－m≤－4， 解得m≤－或m≥4，C选项正确; 方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)相比不含点(－1，2)， D选项错误. 8.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于(　　) D A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1， 则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3， 依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2， 且＝0.725， 所以＝0.725，故k3＝0.9. 二、多选题 9.若AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0经过第几象限(　　 ) A.一 B.二 C.三 D.四 ABD ∵AB>0且BC<0，∴－<0，－>0， 直线y＝－x－的斜率小于零， 在y轴上的截距大于零， 故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限. 10.已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　) A.直线的倾斜角是π－α B.无论α如何变化，直线不过原点 C.直线的斜率一定存在 D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 BD 根据直线倾斜角的范围为[0，π)， 而π－α∈R，A不正确; 当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0， 所以直线必不过原点，B正确; 当α＝时，直线斜率不存在，C不正确; 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·≥1，D正确. 11.(2026·青岛质检)已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且直线AC:2x－y＋1＝0，则直线AB的方程可能为(　　) A.x＋3y＋1＝0 B.x－3y＋1＝0 C.3x＋y＋1＝0 D.3x－y＋1＝0 BC 设直线AB的倾斜角为α，直线AC的倾斜角为β， 因为直线AC的斜率为2，所以tan β＝2， 则<β<. 依题意有α－β＝或β－α＝. 当α－β＝时，tan(α－β)＝＝tan， 即＝1，解得tan α＝－3， 即直线AB的斜率为－3，C选项中的直线斜率符合; 当β－α＝时，tan(β－α)＝＝tan， 即＝1， 解得tan α＝，即直线AB的斜率为，B选项中的直线斜率符合，故选BC. 三、填空题 12.在x轴与y轴上截距分别为－2，2的直线的倾斜角为____________.  由题意知直线过点(－2，0)，(0，2)， 设直线斜率为k，倾斜角为α， 则k＝tan α＝＝1， 又α∈[0，π)，故倾斜角α＝. 13.已知点M是直线l:y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l'的方程为__________________________.  在y＝x＋3中，令y＝0， 得x＝－，即M(－，0). 因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°. 若直线l绕点M逆时针旋转30°， 则得到的直线l'的倾斜角为90°，此时直线l'的斜率不存在， x=-或y=(x+) 故其方程为x＝－; 若直线l绕点M顺时针旋转30°， 则得到的直线l'的倾斜角为30°，此时直线l'的斜率为tan 30°＝， 故其方程为y＝(x＋). 14.已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1，l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1，l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1:y＝2x，l2:y＝－x是一组“O－1共轭线对”，其中O是坐标原点.已知l1，l2是一组“O－3共轭线对”，则l1， l2的夹角的最小值为____________.   设l1的斜率为k＝tan α，则l2的斜率为＝tan β，两直线的夹角为γ， 则tan γ＝|tan(α－β)|＝＝≥， 当且仅当k＝±时，等号成立，所以tan γ的最小值为，则两直线的夹角γ的最小值为. $