江苏省无锡市苏科版2025-2026学年七年级数学下册期末高频易错题综合复习卷一（第7-12章）

**基本信息** 聚焦期末高频易错点，通过图形变换、新定义运算及两江灯光秀等真实情境，考查数学抽象、推理意识与空间观念，适配初中数学期末综合复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|平移、科学记数法、旋转、新定义运算|以直角三角形拼图判断平移性质，结合AI人脸识别考科学记数法，体现数学眼光| |填空题|8题|平行线性质、幂运算、不等式组整数解|通过“中国结”面积计算考查平方差公式应用，融合文化传承与数学运算| |解答题|8题|动态几何、新定义“伙伴角”、实际应用题|设计探照灯旋转构建直角三角形问题，考查推理能力；以“孤独症儿童”义卖为背景，强化数学语言表达现实问题的应用意识|

江苏省无锡市期末高频易错题综合复习卷一（第7-12章）（10+8+8） 一、选择题 1．如图是由两个相同的直角三角形拼成的图案，通过平移其中一个三角形可以得到下列图案．在下列四个选项中，不能由原图案经过平移得到的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 2．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．0 B．0.5 C． D． 3．人工智能的人脸识别系统，扫描一张人脸的时间约为秒，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，将正方形绕着其对称中心顺时针旋转后得到正方形，正方形与正方形组成一个新的图形，该图形绕其对称中心至少旋转（   ）能与自身重合． A． B． C． D． 5．对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（     ） A．40 B．20 C．10 D．9 7．定义：对于有理数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：．若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若正整数满足，则（    ） A．32 B．4 C．8 D．16 9．高速广安至重庆段从广安到重庆全长约为．一辆小汽车、一辆货车同时从广安、重庆两地相向开出，经过分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行，设小汽车和货车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 10．长方形 内有一点，、分别为边、 上两点，连 ，过点作折痕，交 于点，交 于点，沿折痕将 折叠，使得点落在线段 上 处（如图1），再过点作折痕，交 于点，沿折痕将 折叠，点落在直线上 处（如图2），连 和 ，若 ， （如图3），则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤同位角相等；其中假命题有______个． 12．若，，则_________． 13．我们学习的平方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算的个位数字是________． 14．某公司用元购进甲、乙两种货物，货物卖出后，甲种货物的利润是，乙种货物的利润是，共获得利润元．设购进甲、乙两种货物分别花费了元，元，根据题意列方程组为_______． 15．图1为自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的边长为____． 16．已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 17．如图，将沿方向平移到的位置．已知的周长是，四边形的周长是，则平移的距离为_____ ． 18．如图，、是长方形纸片边上的两点（长方形的两组对边分别平行，每一个内角都是直角），将纸片沿直线进行折叠，边的对应边交边于点，若，有如下结论：①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）． 三、解答题 19．先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知，求的值． 20．计算： (1)； (2)． 21．如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 22．如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示）； (2)若，，种植草坪的价格为每平方米40元，那么种植草坪需要多少元？ 23．2026年5月1日，赣超在省会南昌打响了第一赛，各市也陆续推出了自己的吉祥物，某玩具公司根据吉祥物生产了“九都督”和“阿哒宝”两款手办．已知每个“九都督”手办的售价比每个“阿哒宝”手办的售价贵5元，按售价购买，购买20个“九都督”手办和20个“阿哒宝”手办需花费1180元． (1)求每个“九都督”和“阿哒宝”手办的售价分别是多少元？ (2)某班级6月准备爱心义卖，筹集资金帮扶“孤独症儿童”，于是准备从该玩具公司购进一批手办进行售卖，且将每个“九都督”手办的售价定为45元，每个“阿哒宝”手办的售价定为38元．若本次购进“阿哒宝”手办的数量比购进“九都督”手办的数量的3倍还少5个，两种手办全部售出后总获利不少于1325元，求该班级本次购进“九都督”手办的数量至少是多少个？ 24．如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中，，． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 25．重庆两江灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，若河两岸，桥垂直于河两岸，如图1，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，河岸上点，点．为了强化灯光效果，在桥头、安置了可旋转探照灯．已知灯从开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为，灯从射线开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为．两灯同时开始旋转，且满足． (1)________，________． (2)如图1，连接，将线段平移到线段（点的对应点为），点在轴上，且，求的坐标． (3)如图2，点是河道中一航标灯，点是线段延长线上一点，连接、．和的角平分线交于点，和的角平分线交于轴上点，，．在点处设置一个可旋转的探照灯，当桥头、灯开始旋转时，点处的探照灯从开始绕以度/秒顺时针旋转，光线记为，当到达时，所有运动均停止．时间为何值时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形，请直接写出的值． 26．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______； (3)①如图2，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数； ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 参考答案 1．B 【详解】解：原图案中，对角线为左上到右下，两个三角形的方向固定，直角位置分别在左上角和右下角． ①③④中三角形的方向和原图案保持一致，可以通过平移得到． ②中对角线为左下到右上，三角形方向和原图案相反，平移无法改变图形方向，因此②不能由原图案平移得到． 2．【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，根据实数的平方，实数的大小比较、假命题的概念解答即可． 【详解】解：A、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； B、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； C、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； D、当时，，而，能判断命题“如果，那么”是假命题，符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确． 故选：B． 4．B 【分析】根据新图形中心角的求法解答即可. 【详解】解：要使新图形旋转后，与其自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数是 ． 5．D 【分析】根据新定义得出，根据同底数幂的除法得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 解得： 6．D 【详解】解：设， 则， ∴， ∴ ，即． 7．B 【分析】根据新定义，得到，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 8．C 【分析】根据同底数幂的乘法可知8个相加可表示为，根据幂的乘方可知8个相乘可表示为，进而可知即可求出的值． 【详解】解：8个相加可表示为，8个相乘可表示为， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 9．D 【分析】先统一时间单位，再根据两个等量关系列方程组，一是相遇时两车行驶路程和等于全程，二是相遇时小汽车行驶路程比货车多． 【详解】解：∵速度单位为，需将相遇时间分钟化为小时单位， ∴. ∵两车相向而行，相遇时路程和等于全长，小汽车行驶路程为，货车行驶路程为， ∴，即：， 又∵相遇时小汽车比货车多行， ∴，即， ∴可得方程组． 10．B 【分析】由折叠得， ，则，过点 作 ，则，则 ， ，根据平行线的性质推出 ，最后利用三角形内角和求出答案． 【详解】解：由折叠得 ，， ， ， 过点 作 ， ∴， ∴，， ， ， ． 11． 【分析】判定一个命题是真命题通常需要严格的证明，但判定一个命题是假命题，通常只需要举出一个反例． 【详解】解：①平行于同一直线的两条直线平行，是真命题． ②缺少“在同一平面内”的前提，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，是假命题． ③缺少“过直线外一点”的前提，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，是假命题． ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题． ⑤“同位角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，不一定成立，是假命题． 因此假命题共有个． 12．24 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13．6 【分析】原式乘以构造平方差公式，进而即可求解 【详解】解： ， 的个位数以2，4，8，6循环， 余0， 故个位为6． 14． 【分析】根据两个等量关系：总购进花费共元，总利润共元，即可列出方程组． 【详解】解：根据“总购进花费为甲的花费与乙的花费的和”，可得方程， 根据“总利润为甲的利润与乙的利润的和”，甲的利润为，乙的利润为，总利润为元，可得方程， 列方程组为． 15．10 【分析】由图2阴影面积列出方程化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式求解即可． 【详解】解：根据图2所示的阴影部分面积为60可得： ， 展开化简：， ， ∴，即． 根据图3所示的阴影部分面积为60可得：． ∴大正方形面积：． ∴未裁剪前大正方形红布的边长为． 16． 【分析】先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有个整数解确定的取值范围，找出范围内所有整数，计算其和即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式，不等式两边同乘得， 展开得，移项得， ∴不等式组的解集为， 不等式组有且只有个整数解， 三个整数解为，可得， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数为，和为． 17．5 【分析】利用平移的性质得到，，平移的距离为，结合的周长是，四边形的周长是，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知， ∵由沿方向平移得到， ∴，， ∵的周长是，四边形的周长是， ∴，， 两式相减得， ， ∴， 即平移的距离为． 18．①②③⑤ 【分析】由折叠可得，，则，然后由，得到，，即可判断①②，然后将代入即可判断③；过点向左作，根据平行线的性质判断⑤即可． 【详解】解：如图， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确 ∴，故②正确； 当时，，故③正确； 过点向左作， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，故⑤正确 对于④，现有条件不能证明，故④错误， ∴正确的有①②③⑤． 19．(1)， (2) 【详解】（1）解： ； 当时，； （2）解：， 当时，． 20．(1) (2) 【分析】（1）先分别计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再合并同类项即可； （2）先分别计算平方、零次方及负整数指数幂，再计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．(1) (2)10920元 【分析】（1）根据长方形的面积公式并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）将，代入（1）中所求的代数值，再结合种植草坪的价格为每平方米40元，计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ． 答：该长方形草坪的面积为． （2）解：当，时，， （元）， 答：种植草坪需要10920元． 23．(1)每个“九都督”手办的售价是32元，每个“阿哒宝”手办的售价是27元 (2)30个 【分析】（1）根据每个“九都督”手办的售价比每个“阿哒宝”手办的售价贵5元，按售价购买，购买20个“九都督”手办和20个“阿哒宝”手办需花费1180元，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种手办全部售出后总获利不少于1325元，列出不等式进行求解即可. 【详解】（1）解：设每个“九都督”手办的售价是x元，每个“阿哒宝”手办的售价是y元， 由题意得 解得 答：每个“九都督”手办的售价是32元，每个“阿哒宝”手办的售价是27元．     （2）解：设该班级本次购进“九都督”手办的数量是m个，则购进“阿哒宝”手办的数量是个，由题意得， 解得； 答：该班级本次购进“九都督”手办的数量至少是30个． 24．【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先根据对称的性质得到，，然后等量代换求解即可； （2）首先根据对称的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴，， ∴的周长； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴的面积． 25．(1)， (2)或 (3)或秒 【分析】（1）利用非负数的性质解答即可； （2）根据 ，得出，进而得出 ，则或，进而求得或； （3）分别过点作，根据角平分线的定义以及平行线的性质，，则，设，进而根据得出，即①，，得出②，解方程组得出，得出，进而分三种情况讨论，根据平行线的性质列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴ ， 解得 ， ∵， ∴或， ∵， ∴或； （3）解：如图，分别过点作 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设 ∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，即① ∵平分 ∴，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴② 联立①②得 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 已知灯从开始顺时针旋转，速度为3度/秒，，旋转至后开始回转，回转的速度为2度/秒，则，， 灯从射线开始顺时针旋转，速度为2度/秒，，旋转至后开始回转，回转的速度为3度/秒，则， 当时，如图 ∴当时，，解得：（舍去） 当时，，无解 当时，，解得：（舍去） ∴不存在的情形， 当时，如图，设交于点 当 ∴ ∴ 解得：（舍去） 当从返回时， 则 解得： 当时，如图，设直线，交于点，过点作 ∴， 当时， ∴ 解得：（舍去） 当时， 解得： 综上所述，时间或时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形． 26．(1) (2)或或 (3)①或；② 【分析】（1）按照“伙伴角”的定义，建立方程求解即可； （2）根据角的和差关系以及新定义进行判断即可； （3）①按照“伙伴角”的定义可得或，再建立方程解答即可；②按照“伙伴角”的定义可得，再结合折叠的性质，平角的定义建立方程解答即可； 【详解】（1）解：∵和互为“伙伴角”，当时， ∴，即 ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴． （2）解：如图， 两个角差的绝对值为， 则此两个角互为“伙伴角”， 而， 设其伙伴角为， ， 则或， 由图知，， 的伙伴角是或或． （3）①∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， 当时，则， 由对折可得，而， ∴， 解得：， 当时，则， 同理可得：， ∴， 综上所述，的值为或； ②由对折可得：，， ∵点E、、P在同一直线上，且与互为“伙伴角”， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $