精品解析：北京市第八中学2026届高三第二学期热身练数学试题

2026届高三第二学期热身练数学试题 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. ，则（    ） A. B. C. D. 4. 若，则“”是“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 已知幂函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 的值域为 6. 已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为（单位：），取，则从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列为等比数列，为数列前项积，且，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 10. 已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则的面积为_________． 12. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 13. 若,则=________. 14. 已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则___________． 15. 已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点； （2）存在实数，使得的值域是； （3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是. 其中，所有正确命题的序号是___________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求证：平面； （2）设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知函数 （Ⅰ）求的定义域及最小正周期 （Ⅱ）求的单调递增区间． 18. 无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了80个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果 真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． （1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； （2）从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的传感器个数，求的分布列和数学期望； （3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 19. 已知点，，为圆上的动点，延长至，使得，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）过的直线与交于两点，纵坐标不为的点在直线上，线段分别与线段，交于两点，且，证明：. 20. 已知函数，， （1）求的单调区间； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若直线是曲线的切线，求的最小值. 21. 已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列：①；② （1）已知和分别为数列和数列，且，求和； （2）已知正整数数列是数列. （i）无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，； （ii）求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第二学期热身练数学试题 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 2. 若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先将等式左右两边同时除以,得到,整理至的形式,由此可得共轭复数. 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的定义,是基础题. 3. ，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式对进行化简，再利用进行求解即可. 【详解】由， 则， 因此可得， 故选：D. 4. 若，则“”是“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由与，即可选出答案． 【详解】因为,故“”是“”的充分条件， ，故“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充要条件 故选C 【点睛】本题综合考查分式不等式与整式不等式的互化，充要条件的判断，及本类题的关键在于正确化简不等式为目标不等式，属于基础题． 5. 已知幂函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有 ， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 6. 已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，进而可求得，可求. 【详解】由已知得，焦点，则. 故选：C. 7. 点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为（单位：），取，则从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为求解. 【详解】解：因为衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为， 所以从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为： ， ， ， 故选：C 8. 已知数列为等比数列，为数列前项积，且，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由条件求，再结合等比数列性质求，由此可得结论. 【详解】由题意，数列为等比数列，为数列前项积， 所以， ， 则， 可得 故选：B. 9. 如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的性质定理确定为中点，为中点，进而逐个计算每个面的面积即可. 【详解】由题意得平面平面， 又平面平面 ， 平面平面，， 正方体中易知， 所以，为中点，为中点， 同理， 为中点， 所以， 所以四边形的面积等于， 所以四边形的面积等于， 易知四边形为等腰梯形，其中， 如图，过作，易得， 所以四边形的面积为， 同理四边形的面积为， 所以多面体的表面积为， 故选：C 10. 已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件“对任意的，恒成立”得出函数周期，从而得出值，利用“时，取到最大值”得出的表达式，从而得出的表达式，最后结合余弦函数的周期性得出的所有可能值． 【详解】，对任意的恒成立， 函数周期满足， ， ， 当时，取到最大值，， ，即， ， ，则的可能值为： 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，值循环出现． 的所有可能取值集合为：． 故选：C． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用余弦定理得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】由余弦定理，有， 又，，， 则，解得， 所以． 故答案为：． 12. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 13. 若,则=________. 【答案】32 【解析】 【分析】观察题中所给的式子，令，即为的值，求得结果. 【详解】， 令，可得， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有利用赋值法求特定项的系数，属于基础题目. 14. 已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，从而可得两两的夹角相等，且为，利用求解即可. 【详解】设， 则， 又向量夹角的范围为，且不共线， 所以两两的夹角相等，且为， 所以 . 15. 已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点； （2）存在实数，使得的值域是； （3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是. 其中，所有正确命题的序号是___________. 【答案】（3）（4） 【解析】 【分析】本题考查函数的相关性质：（1）利用零点即对应方程的根进行分析处理；（2）结合图像分析值域；（3）考查对称点问题，转化为两个函数交点问题进行处理；（4）利用数形结合分析处理相关问题，把直线绕定点旋转确定临界位置． 【详解】（1）显然则, 若恒有两个零点，则有且只有一个零点， 当时，无零点，不符合题意，∴（1）不成立； （2）显然，若的值域是，则的值域包含，则, 但时，的对称轴，即在内递增，，∴（2）不成立； （3）的图像上关于原点对称的点有两对，则可得：有两解， 当时，的对称轴，开口向下， 与有两个交点，∴（3）成立； （4）如图，直线过定点,数学结合可知：, 又∵,则, 综上所诉：，∴（4）成立． 故答案为：（3）（4）． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求证：平面； （2）设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选条件①：平面平面， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面， 所以. 因为为等边三角形，点为的中点， 所以，因为平面平面， 所以平面. 选条件②： 因为，为等边三角形，所以， 因为，则， 所以为直角三角形，所以， 因为平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为为等边三角形，点为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）选条件①，根据面面垂直的性质推出平面，继而推出，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；选条件②，根据勾股定理逆定理证明，可得平面，继而推出，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）由（1）可得平面，则可得平面，由此建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，由（1）知平面， 所以平面. 如图，以点为原点，过点A在平面ABC内作AC的垂线作为x轴， 分别以所在直线为轴､轴建立空间直角坐标系， 所以， 所以. 因为点为上一点，设， 所以. 因为，则，所以， 所以，所以，所以. 设平面的法向量为，所以， 所以，令，得， 所以. 设直线与平面所成角为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数 （Ⅰ）求的定义域及最小正周期 （Ⅱ）求的单调递增区间． 【答案】 单调递增区间为和（） 【考点定位】本题考查三角函数知识，此类型题在平时练习时练的较多，考生应该觉得非常容易入手． 【解析】 【详解】（1）只需，∴∴的定义域为 ∴最小正周期为 （2）， ∴， ∴的单调递增区间为和（） 18. 无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了80个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果 真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． （1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； （2）从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的传感器个数，求的分布列和数学期望； （3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 （3） 可以 【解析】 【分析】（1）统计传感器1判断正确的样本数，用古典概型公式计算概率； （2）确定的可能取值，结合独立事件概率公式求出其对应的概率，即得分布列，计算期望即可； （3）根据无障碍路段减速概率的表达式判断可通过提高传感器3正确率满足要求. 【小问1详解】 设“传感器1对该路况判断正确”为事件， 传感器1判断正确包含两类情况：真实无障碍时判断无障碍，共15个样本； 真实有障碍时判断有障碍，共40个样本，总样本数为80， 由古典概型概率公式得： . 【小问2详解】 由表格得有障碍路段总数为，在有障碍路段中， 传感器1判断正确的概率为，判断错误的概率为； 传感器2判断正确的概率为，判断错误的概率为. 随机变量的可能取值为，且两传感器判断相互独立：  ； ；  . 故的分布列为：略 . 【小问3详解】 可以，理由如下： 无障碍道路不减速等价于三个传感器都判断无障碍， 设传感器3提高后判断无障碍的概率为（）， 减速概率​，令，解得， 最大可取1，满足条件，因此可以. 19. 已知点，，为圆上的动点，延长至，使得，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）过的直线与交于两点，纵坐标不为的点在直线上，线段分别与线段，交于两点，且，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线和三角形中位线性质可证得，可知点轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程； （2）由已知可知；当斜率不存在时显然不成立；当斜率存在时，设方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可得中点横坐标；设，与直线和椭圆方程联立可求得，由此可整理得到，与中点横坐标相同，由此可得结论. 【小问1详解】 连接， 是的垂直平分线，，； 分别为中点，， ， 点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，即，，， 点轨迹的方程为：； 【小问2详解】 ，即，， 由题意知：，，， ①当直线斜率不存在时，即，此时，，此时不成立； ②当直线斜率存在时，设，，， 由得：，， 中点的横坐标为； 设直线的方程为：， 由得：，即； 由得：，即； 由得：，整理可得：， ，为线段的中点， . 【点睛】关键点点睛：本题考查定义法求解轨迹方程、直线与椭圆综合应用问题；本题证明为中点的关键是能够通过已知等式得到两点横坐标之间满足的等量关系，进而表示出中点横坐标和点横坐标，证明二者相等即可. 20. 已知函数，， （1）求的单调区间； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若直线是曲线的切线，求的最小值. 【答案】（1）单调增区间为，无单调递减区间 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可求得结果； （2）分析可得对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围； （3）设切点为，设，利用导数的几何意义可得出，，设，利用导数求出函数的最小值，即为的最小值. 【小问1详解】 解：定义域为，，所以，的单调增区间为，无单调递减区间. 【小问2详解】 解：，则， 在上单调递增， 对，都有， 即对，都有，，， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 解：设切点，则切线方程为， 即，亦即， 令，由题意得，， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，，故的最小值为. 21. 已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列：①；② （1）已知和分别为数列和数列，且，求和； （2）已知正整数数列是数列. （i）无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，； （ii）求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值． 【答案】（1） （2）（i）假设结论不成立，不妨设为满足且使得取最小的某个整数． 由，可知，因为是奇数， 从而，且，这与最小性矛盾， 所以对于任意的，． （ii），的全部可能取值为 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义分别求解即得； （2）（i）运用反证法，不妨假设为满足且使得取最小的某个整数，经推理得到，与最小性矛盾，即得证；（ii）假设及的取值已使得为数列且每一个项均为整数，先证明满足对任意的，有，又根据（i）的结论可知必存在某个，使得对于任意的，均有，从而，可取某个，使得，推出也为2的次幂，求得，由此即可求得的全部可能取值. 【小问1详解】 根据数列的定义可知：, 则； 根据数列的定义可知：， 则． 【小问2详解】 （i）略 （ii）假设及的取值已使得为数列且每一个项均为整数． 由（i）中所定义出的构成数列， 首先证明满足对任意的，有． 若，则，从而； 若，则． 分三种情况讨论 ① 若，则．故； ② 若，则．故； ③ 若，则． 又因为为奇数，所以也为奇数，从而有； 综上所述，对任意的，有． 又根据（i）的结论可知必存在某个，使得对于任意的，均有； 由于当时，总有，于是，数列中存在无穷多项小于， 从而，可取某个，使得． 由前面的证明可知只有当且时， 才可使得及同时成立，所以． 又因为对任意的，有，所以对任意，有， 进而对任意均为2的次幂． 由，依次得， 因此也为2的次幂．显然，只有当时才成立． 因此，只能为2． 对，若，则数列的各项为，满足要求． 当时，数列的各项为，也符合题意． 若，则，不满足要求． 综上，，且此时的全部可能取值为． 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列新定义问题，属于难题。 根据性质规定新生出数列的题目，涉及到归纳推理的思想方法，解答的关键是要理解新定义数列的特征，根据定义进行逻辑推理展开，进而解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $