精品解析：北京市中国人民大学附属中学2026届高三下学期5月热身练习数学试题

2026届高三热身练习 数学 命题：高三数学组 2026.5.27 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式得或，则或， 因为，所以. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法及共轭复数的定义即可求解． 【详解】，则， 所以的虚部为． 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项及等差数列基本量计算即可求解． 【详解】由已知得， 所以． 5. 过原点的直线与圆相切，则满足条件的直线的斜率之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线的方程，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径列出方程，求出直线的斜率，即可得解. 【详解】将化为标准方程为, 所以可得圆心，半径. 因为直线过原点且与圆相切，所以可知直线的斜率一定存在，设为， 则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径可得， 两边同时平方，整理可得，即，解得， 所以满足条件的直线的斜率之和为. 6. 定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】对于函数，取， 当时，，所以， 满足； 当时，， 满足； 当时，，满足； 综上，存在，使得对于任意的都有， 但在上不是减函数； 所以“存在，使得对于任意的都有”推不出“为上的减函数”； 反之，因为在上是减函数，且时，有，则有， 即“在上是减函数”能推出“存在，使得对于任意的都有”， 所以“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的必要不充分条件. 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据最小正周期公式及条件，可得的表达式，根据的范围，可得，根据存在零点，可得的范围，即可得答案. 【详解】已知函数的最小正周期为，若恒成立，则是周期的整数倍， 即，解得，其中为正整数，所以的可能取值为， 当时，，要想在上存在零点，则有，解得， 因此的最小值为. 8. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（ ）（参考数据；） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 9. 双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，，再根据得，在上的投影向量为，进而求得，再根据建立的方程求解即可得答案． 【详解】设双曲线的焦距为， 则以为直径的圆方程为，双曲线的一条渐近线为， 则， 因为在第一象限，所以， 所以，即，， 因为，垂足为,所以， 所以，即①， 因为，所以在上的投影向量为， 因为， 所以，即， 所以②， 由①②知， 所以． 10. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．若为“旋转函数”，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将旋转函数转化为该函数图象与任意斜率为1的直线最多1个交点，再联立函数解析式与直线的方程，分析零点个数判断即可． 【详解】根据函数的定义可得，逆时针旋转后， 不存在与轴垂直的直线，使得该直线与旋转后的函数图象有1个以上的交点， 故不存在倾斜角为的直线与的图象有两个交点， 即直线与的图象至多有1个交点， 亦即对任意的，至多1个解， 令，由上知为单调函数. 而， 故恒成立，即恒成立． 即的图象在直线的上方，故，即． 如图，当的图象与直线相切时，可设切点为， 对求导有，故，解得， 此时，故，所以的最小值是． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 11. 抛物线的准线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准方程，判断焦点位置，求出焦准距，即得准线方程. 【详解】由可得，则抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 解得，故抛物线的准线方程为. 故答案为：. 12. 已知，则______；______． 【答案】 ①. 1 ②. 6 【解析】 【分析】根据赋值法及二项展开式通项即可求解． 【详解】令得， ，则通项为， 令，则． 13. 能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【答案】 ①. 1 ②. 0 ③. 1 【解析】 【分析】根据奇函数的定义得出即可求解． 【详解】因为是上奇函数，所以， 当时，，， 则， 由得， 所以满足的即为奇函数， 所以可取． 14. 已知平面内四个点满足：，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据已知条件求得的表达式，并利用基本不等式求得的最小值，进而求得的最小值． 【详解】设，则， 设，如图，则： ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 15. 棱长为4的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放有铁制几何体，给出下列四个猜想： ①该容器内有两个半径为1.4的球； ②该容器内有棱长为5.6的正四面体； ③该容器内有底面半径为，高为2的圆柱体； ④该容器内有底面边长为，高为5的正三棱柱． 其中所有可能正确的猜想的序号是______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断. 【详解】对于①，不妨设正方体为，考虑体对角面， 考虑两个球与正方体的公共顶点的三个面都相切，且这个两个球相切， 则球心在这个点为端点的正方体体对角线上， 由条件得正方体体对角线长为，设球半径为，如图所示： 由相似得即，解得， 所以球半径的最大值为，而，所以不能放入； 对于②：正方体内最大正四面体棱长为面对角线，故能放入； 对于③：底面半径为的圆柱要放入棱长为的正方体内，只能斜放， 此时圆柱与正方体构成的组合体的轴截面如图所示： 其中圆柱的底面圆心， 为圆柱与正方体的下底面的切点， 因，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为，所以不能放入； 对于④：我们让底面边长为，高为5的正三棱柱的侧棱与体对角线平行， 一底面的三个顶点在正方体同一顶点的三条棱上， 则该顶点到该底面的距离为，而，所以能放入. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，已知． （1）求角的大小． （2）已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 【答案】（1） （2）选②或③， 【解析】 【分析】（1）法一：根据余弦定理边角互化求解；法二：利用正弦定理和三角恒等变换求解； （2）条件①，根据三角形面积公式和勾股定理判断不唯一； 条件②：根据余弦定理和三角形面积公式求解； 条件③：根据余弦定理和三角形周长求解. 【小问1详解】 法一：， ．． ． 又． 法二：，． 由正弦定理，． 又， ． ． ． 又，．． 又． 【小问2详解】 选择① ，又， 解得或，不唯一，不能选①； 选择② 由余弦定理得：， ． ， ． 又，． ． 选择③：由余弦定理得：， ．， 又，． ． ． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）作线段中点，因为线段中点，则 且， 又且， 与平行且相等，四边形为平行四边形． ． 平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作线段中点，记为． 由题意，垂直平分，且． 又，∴四边形为矩形，． 平面，且． 则可分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，可得， 设，可得，， 设平面的法向量为， 因，， 则由，令，则， 设直线与平面所成角为， 可得． 解得或（舍） 所以． 18. 夏日已到，某校组织学生开展生物研学活动，共设计了三个不同方案，目的地分别为北京动物园，大兴野生动物园，北京海洋馆．为了解该校学生对三个方案的倾向性，现对学生进行分层抽样，获得数据如下表： 北京动物园 大兴野生动物园 北京海洋馆 男 支持 22 40 46 不支持 38 20 14 女 支持 15 36 24 不支持 25 4 16 假设学生的选择相互独立． （1）从全校学生中任取一人，已知其为女生，请估计该生支持北京动物园方案的概率； （2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，设随机变量X为此三人中支持大兴野生动物园方案的人数，求的分布列及其期望； （3）将该校学生支持北京海洋馆方案的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和300名女生，他们会支持北京海洋馆的概率估计值为，除高一年级外其他年级学生支持北京海洋馆的概率估计值记为，请将，与由小到大排序．（结论不要求证明，） 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）根据题意，求得，，设全校总人数为，求得，进而得到答案. 【小问1详解】 根据统计表格中的数据， 可得在该生为女生的前提下，该生支持北京动物园方案的概率为． 【小问2详解】 该校男生支持大兴野生动物园的概率估计为， 该校女生支持大兴野生动物园的概率估计为； 随机变量的取值为， ；； ；． 所求分布列为 0 1 2 3 所求期望为． 【小问3详解】 男生中支持有46人，男生总样本中海洋馆为人，支持率为； 女生中支持有24人，女生总样本中海洋馆为人，支持率为； 全校样本中，海洋馆总人数为人，支持的人数为人， 所以， 又由高一年级共有人，所以， 设全校总人数为，高一年级的人数为800人，非高一年级的人数为人, 全校的整体支持率为， 则高一年级和其他年级的平均为，可得， 将和，代入上式，可得， 因为，所以，所以， 综上可得：. 19. 已知函数． （1）设在处的切线为，求与直线的交点坐标； （2）求函数的单调区间； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，再令，求出交点坐标； （2）利用导数研究函数的单调性； （3）分三种情况讨论求解，设，利用导数研究单调性，解不等式. 【小问1详解】 因为，， 所以， ． 所以 ．所以切线为： ． 令，则．所以所求交点为． 【小问2详解】 由（1）知，． 令 ，则， 令，则，列表： 3 0 极大值 所以 ． 所以，故在区间上分别单调递减， 由知， 的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问3详解】 当时， ，故符合； 当时， ，故符合； 当时， ． 设，则 ， 所以在上单调递减， 所以，所以． 综上所述，所求解集为． 20. 已知椭圆，现有三个条件：①椭圆过点；②椭圆过点；③椭圆的离心率为．请从这三个条件中选择两个作为已知，使得椭圆存在且唯一． （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆的下顶点，过点的直线与椭圆交于两个不同的点，点分别在射线，射线上，满足，若直线过点，求直线的方程． 【答案】（1）选择条件①和②， （2）或． 【解析】 【分析】（1）代点求值即可； （2）设直线方程，与椭圆联立，设，根据韦达定理得，由转化坐标，由三点共线列式计算. 【小问1详解】 由题无法确定椭圆的焦点的位置，所以条件③存在两种情况，即焦点在轴或轴上，所以椭圆不唯一，故只能选①②． 依题意解得 所以椭圆． 【小问2详解】 由题意，直线过点且存在斜率，设其方程为， 与椭圆方程联立： 则． 依题意， ， 所以，． 设，则． 又点，所以． 因为在射线上且 ， 所以． 记，则． 同理，记，有． 所以． 由题，与共线，即． 所以． 又． 所以， 即． 又， 所以 ． 所以． 又，所以 ． 即 ． 所以 ．解得，． 因此，直线的方程为或． 21. 给定正整数．对于各项均为正整数的数列，若，且，则称为的一个分拆数列．对于分拆数列，定义其共轭数列如下：数列的第项定义为数列中大于或等于的项的个数，数列的各项从开始，至前终止，即的项数为满足的最大正整数．如果分拆数列与相同（即项数相同，且对应项分别相等），则称为自共轭数列． （1）求时的自共轭数列； （2）若是分拆数列，是否一定是分拆数列？若与都是分拆数列，是否一定与相同？说明理由； （3）设正整数的自共轭数列的个数为，各项均为奇数且互不相同的的分拆数列的个数为，求． 【答案】（1）2，1 （2）一定是分拆数列，且一定与相同．理由如下：设， 且．按定义，是中大于或等于的项的个数， 所以，且各项均为正整数．又等于把中每一项都计数次， 所以因此一定是分拆数列．再设为， 则是中大于或等于的项的个数．由等价于中至少有项大于或等于， 又由于的各项按从大到小排列，这等价于．所以满足的的个数恰为， 即．故一定与相同． （3） 【解析】 【分析】（1）自共轭即分拆与其共轭数列全等，列举全部分拆后对照共轭定义筛选即可； （2）共轭变换保分拆，且二次共轭还原原数列；核心是双重求和换序证和为，利用格点计数等价证； （3）借助共轭映射建立自共轭分拆无重复奇数分拆的一一对应，故对全体正整数成立，解集为. 【小问1详解】 当时，所有的分拆数列共有3组：3；2，1；1，1，1． 一、若，则大于等于1，2，3的项各1个，大于等于4的项0个，故，与不同； 二、若，则大于等于1的项2个，大于等于2的项1个，大于等于3的项0个，故，与相同； 三、若，则大于等于1的项3个，大于等于2的项0个，故，与不同． 综上，由定义，时的自共轭数列为2，1． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 满足条件的正整数为全体正整数． 证明如下： 对任意正整数，在的自共轭数列和的各项均为奇数且互不相同的分拆数列之间建立一一对应． 设是自共轭数列，把看成由方格组成的图形：第行有个方格． 因为与相同，所以这个方格图关于从左上到右下的对角线对称． 设对角线上的方格共有个，即，且若存在，则． 对第个对角线方格，记它右边的方格数为，由于图形关于对角线对称，它下边的方格数也为， 所以由这个对角线方格及其右边、下边方格组成的一组共有个方格． 这些数都是奇数，并且当时，它们互不相同，且所有组恰好合起来就是全部个方格． 于是得到一个各项为奇数且互不相同的的分拆数列． 反过来，给定一个各项均为奇数且互不相同的的分拆数列，把它写成其中． 依次放置个对角线方格，并在第个对角线方格右边放个方格，下边也放个方格． 由于，所得方格图的每一行长度从上到下不增加；又因为左右两侧对称，所以得到一个自共轭数列． 这个过程与前面的过程互为逆过程，因此两类数列一一对应． 所以对任意正整数，都有． 因此，满足条件的为全体正整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三热身练习 数学 命题：高三数学组 2026.5.27 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，若且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 过原点的直线与圆相切，则满足条件的直线的斜率之和为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（ ）（参考数据；） A. B. C. D. 9. 双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．若为“旋转函数”，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 11. 抛物线的准线方程是_______． 12. 已知，则______；______． 13. 能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 14. 已知平面内四个点满足：，，则的最小值为______． 15. 棱长为4的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放有铁制几何体，给出下列四个猜想： ①该容器内有两个半径为1.4的球； ②该容器内有棱长为5.6的正四面体； ③该容器内有底面半径为，高为2的圆柱体； ④该容器内有底面边长为，高为5的正三棱柱． 其中所有可能正确的猜想的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，已知． （1）求角的大小． （2）已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18. 夏日已到，某校组织学生开展生物研学活动，共设计了三个不同方案，目的地分别为北京动物园，大兴野生动物园，北京海洋馆．为了解该校学生对三个方案的倾向性，现对学生进行分层抽样，获得数据如下表： 北京动物园 大兴野生动物园 北京海洋馆 男 支持 22 40 46 不支持 38 20 14 女 支持 15 36 24 不支持 25 4 16 假设学生的选择相互独立． （1）从全校学生中任取一人，已知其为女生，请估计该生支持北京动物园方案的概率； （2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，设随机变量X为此三人中支持大兴野生动物园方案的人数，求的分布列及其期望； （3）将该校学生支持北京海洋馆方案的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和300名女生，他们会支持北京海洋馆的概率估计值为，除高一年级外其他年级学生支持北京海洋馆的概率估计值记为，请将，与由小到大排序．（结论不要求证明，） 19. 已知函数． （1）设在处的切线为，求与直线的交点坐标； （2）求函数的单调区间； （3）求不等式的解集． 20. 已知椭圆，现有三个条件：①椭圆过点；②椭圆过点；③椭圆的离心率为．请从这三个条件中选择两个作为已知，使得椭圆存在且唯一． （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆的下顶点，过点的直线与椭圆交于两个不同的点，点分别在射线，射线上，满足，若直线过点，求直线的方程． 21. 给定正整数．对于各项均为正整数的数列，若，且，则称为的一个分拆数列．对于分拆数列，定义其共轭数列如下：数列的第项定义为数列中大于或等于的项的个数，数列的各项从开始，至前终止，即的项数为满足的最大正整数．如果分拆数列与相同（即项数相同，且对应项分别相等），则称为自共轭数列． （1）求时的自共轭数列； （2）若是分拆数列，是否一定是分拆数列？若与都是分拆数列，是否一定与相同？说明理由； （3）设正整数的自共轭数列的个数为，各项均为奇数且互不相同的的分拆数列的个数为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $