11.3　专题提升：磁场中的“动态圆”模型与多解问题——2027届高中物理一轮复习课件

该高中物理高考复习课件聚焦磁场中的“动态圆”模型与多解问题专题，覆盖平移圆、放缩圆、旋转圆等临界极值模型，磁聚焦/磁发散原理及多解问题分析，依据高考评价体系梳理三大核心考点，归纳临界相切、圆心角分析等常考题型，明确模型适用条件与解题逻辑，体现备考针对性。 课件亮点在于“模型建构+真题解析+科学推理”的复习策略，如通过典例3“旋转圆”模型分析电子射出比例，典例5多解问题考虑粒子电性，培养科学思维素养。提炼临界极值四大结论，指导学生掌握轨迹平移、放缩、旋转技巧，助力学生高效突破磁场难点，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第55课时　专题提升:磁场中的“动态圆”模型 与多解问题 学习目标:1.理解“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”的适用条件并会用其分析临界极值问题。 2.理解磁聚焦、磁发散的原理并会解决相关问题。 3.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的临界、极值问题 考向1　“平移圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定,入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=,如图所示   轨迹圆 圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上,该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R=的圆进行平移,从而探索粒子的临界条件,这种方法叫“平移圆”法 典例1　如图所示,在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场,线状粒子源从y轴左侧向平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于xOy平面向里。不考虑粒子间的相互作用,不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中,在磁场中运动的时间最长为(　　) A. B. C. D. C 解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qv0B=m,解得r=2R,如图所示,当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时,粒子在磁场中运动的时间最长,由于sin α=,要使圆心角α最大,FE最长,经分析可知,当粒子从y轴上的D'点射入、从x轴上的E'点射出磁场时,粒子在磁场中运动的时间最长,有sin αm=,解得αm=,从D'点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长,且tm=,解得tm=,故选C。 考向2　“放缩圆”模型 适用条件 粒子源发射速度方向一定,大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时,这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆 圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景),速度v 越大,运动半径也越大。可以发现这些带电粒子 射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直初速度 方向的直线PP'上  界定方法 以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索出临界条件,这种方法称为“放缩圆”法 典例2　如图所示,在圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一系列电子以不同的速率v(0≤v≤vm)从边界上的P点沿垂直于磁场方向与OP成60°角方向射入磁场,在1/3区域的磁场边界上有电子射出。已知电子的电荷量为-e,质量为m,不考虑电子之间的相互作用力。则电子在磁场中运动的(　　) A.最大半径为r=R B.最大速率为vm= C.最长时间为t= D.最短时间为t= D 解析 根据题意,电子做圆周运动的圆心在速度的垂线上,当电子速度最大时,对应的圆周运动半径最大,离开出发点最远,如图所示。轨迹恰好为半个圆周,最大半径rm=Rcos 30°=R,得vm=,此时轨迹对应的圆心角最小,时间最短为tmin=T,根据T=,解得tmin=;电子速度越小,半径越小,轨迹圆弧对应圆心角越大,当v无穷小时,电子近似做完整的圆周运动,即最大运动时间tmax=T=,故A、B、C错误,D正确。 考向3　“旋转圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时,它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若入射初速度大小为v0,则圆周运动轨迹半径为R=,如图所示   轨迹圆圆 心共圆 如图,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上   界定方法 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索出临界条件,这种方法称为“旋转圆”法 典例3　有一长方形区间abcd,其边长ab=2L,bc=L,在其内存在匀强磁场,方向垂直于纸面(abcd所在平面)向内,如图所示。ab边中点有一电子发射源S,可垂直于磁场向磁场内各个方向均匀发射相同速率的电子,已知电子在磁场中运动半径为L。不计电子所受重力和电子间的相互作用,则从bc边射出的电子占所有射入磁场电子的比例约为(　　) A.50% B.66.7% C.33.3% D.16.7% C 解析 根据题意,由左手定则可知,粒子进入磁场后受垂直速度方向向右的洛伦兹力,根据几何关系可知,当电子发射方向与ab成30°角时,电子击中b点,当电子发射方向与ab垂直时,电子击中c点,运动轨迹如图所示,则能击中bc边的电子入射磁场时与ab边的夹角范围为30°~90°,即分布在60°的范围区间,故从bc边射出的电子占所有射入磁场电子的比例η=×100%≈33.3%,故A、B、D错误,C正确。 对点演练　如图所示,在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,在y轴上S处有一粒子源,它可向右侧纸面内各个方向射出速率相同的质量均为m,电荷量均为q的同种带电粒子,所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电,d,粒子重力及粒子间的相互作用均不计,则(　　) A.粒子的速度大小为 B.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 C.从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最 长时间与最短时间之比为9∶2 D.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 C 解析 粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点,可以画出其轨迹1,可知SP为直径,(2R)2=d2+(d)2,得R=d,由洛伦兹力提供向心力=Bqv,得v=,A错误;运动周期T=,得T=,从O点射出的粒子如轨迹3,由几何知识可得轨迹3所对应的圆心角为60°,在磁场中的运动时间t=,故B错误; 从x轴上射出磁场的粒子中,运动时间最长的粒子为运动轨迹与x轴相切的粒子(轨迹2),对应的圆心角为270°,得t1=T,运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3),此时对应的圆心角为60°,得到t2=T,所以t1∶t2=9∶2,选项C正确;沿平行于x轴正方向射入的粒子,圆心在原点处,运动轨迹为四分之一圆,离开磁场时的位置到O点的距离为d,故D错误。 考点二　“磁聚焦”与“磁发散”模型 磁聚焦   甲 如图甲所示,大量的同种带正电的粒子,速度大小相同,平行入射到圆形磁场区域,如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R=r),则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) 证明:四边形OAO'B为菱形,必是平行四边形,对边平行, OB必平行于AO'(即竖直方向),可知从A点入射的带电粒子必然经过B点 磁发散   乙 如图乙所示,圆形磁场圆心为O,从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子,以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场,不计粒子的重力,如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等,则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) 典例4　如图所示是粒子流扩束技术的原理简图。正方形区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅳ分别对称分布,一束速度相同的质子束射入后能够实现扩束,四个区域内有界磁场(边界均为圆弧)分布可能正确的是(　　) C 解析 粒子进入磁场后做匀速圆周运动,由左手定则可知某粒子进入选项A中磁场后可能的运动轨迹如图甲(出射时水平的情况),再考虑其他粒子入射后轨迹可得出结论,入射平行粒子束不会扩束,故A不符合题意;对于B选项,由左手定则可知,平行粒子入射后,经两个相同方向的磁场后,会向同一方向偏转,不会平行于入射方向射出,故B不符合题意;如图乙所示,当粒子进入磁场后做匀速圆周运动的半径恰好等于有界磁场的圆弧半径时,一束速度相同的质子束射入后能够实现扩束,故C符合题意;对于D选项,取粒子运动半径等于磁场圆半径的情况,由左手定则可知,某粒子运动轨迹如图丙所示,进而推知平行粒子束射入后不会实现扩束,故D不符合题意。故选C。 考点三　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电,也可能带负电,粒子在磁场中的运动轨迹不同   磁场方向 不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面,而未具体指出磁感应强度的方向,必须考虑磁感应强度方向有两种情况   临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时,可能直接穿过去,也可能从入射界面反向射出   运动的 往复性 带电粒子在空间运动时,往往具有往复性   典例5　如图所示,宽度为d的有界匀强磁场,磁感应强度为B,MM'和NN'是它的两条边界线,现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入,粒子重力不计,要使粒子不能从边界NN'射出,粒子入射速率v的最大值可能是(　　) A. B. C. D. B 解析 设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R,粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律可得qvB=m,解得R=。带电粒子速率越大,轨道半径越大,当轨迹恰好与边界NN'相切时,粒子恰好不能从边界NN'射出,对应的速率最大。若粒子带负电,临界轨迹如图所示, 由几何知识得R+Rcos 45°=d,解得R=(2-)d,对应的速率v=。 若粒子带正电,临界轨迹如图所示,由几何知识得:R-Rcos 45°=d,解得R=(2+)d,对应的速率v=。故选B。 典例6　如图所示,A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子,离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s,负离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间的夹角为30°,则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A.B>,垂直纸面向里 B.B>,垂直纸面向里 C.B>,垂直纸面向外 D.B>,垂直纸面向外 D 解析 当磁场方向垂直纸面向里时,离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示,切点为M,设轨迹半径为r1,由几何关系可知sin 30°=,可得r1=s,由r1=可得B1=;当磁场方向垂直纸面向外时,其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点,如图乙所示,设轨迹半径为r2,由几何关系s=+r2,得r2=,又r2=,所以B2=,综合上述分析可知,选项D正确,A、C错误。 甲 乙 $