随机变量期望线性可加性-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

 

随机变量期望线性可加性

知识框架

理论基础: E(X+Y)=E(X)+E(Y)

设X，Y为两个离散型随机变量，两个随机变量之和的期望，等于这两个随机变量期望之和,即E(X+Y)=E(X)+E(Y).

这个性质不需要X和Y相互独立，无论它们是否独立，这个等式恒成立.

【证明】设X的分布律：

设Y的分布律：

为了计算E(X+Y)，我们需要考虑X和Y同时发生的概率，

设X和Y的联合分布律为

其中

根据随机变量函数的数学期望定义，对于二维随机变量(X，Y)的函数

Z=X+Y，其期望为所有可能的取值 乘以对应的联合概率 之和，

即

利用求和符号的线性性质，将上式展开并拆分为两部分

 

接下来，需要交换求和次序并提取公因式(利用边缘分布的性质)：对于第一项

由于与j无关，可以将其提到内层求和符号之外：

根据联合概率与边缘概率的关系，固定x₁对所有 yj的联合概率求和，等于 的边缘概率，即

因此，第一项变为：

对于第二项

首先交换求和次序，先对i求和(因为y与i无关)，ⱼ即 同理，固定yⱼ对所有xᵢ的联合概率求和，等于 的边缘概率，即

   

因此，第二项变为：

综上所述，

【注】这也说明了期望的线性性质不仅适用于相互独立的随机变量，也适用于不独立的随机变量，无论X和Y是否独立，上述推导都成立.

课前练习

1.4个球随机装进个盒子，则装有球的盒子个数的期望为_____

典例精讲

【典例1】一个口袋中装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回的摸球三次，每次摸一个，规定：第n次摸出的球号m满足m≤n时，记为依次有效摸球.若三次摸球的有效次数是X ，则E(X)=(     )

A.1 B.  C.2 D.

 

 

 

【典例2】（2025新高考Ⅰ卷14）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地抽取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=         .

 

 

 

 

 

推 广 到一般情形一

【例题】假设有n个相同的球，分别标有数字1，2，…，n.设m为正整数，从中有放回地随机取m次，每次取1个球，记Xm为这n个球中至少被取出1次的球的个数，问Xm的数学期望.当m很大时，计算m的分布列较为复杂，考虑转化两点分布思想去解决.

 

 

 

 

 

 

 

 

推 广 到 一 般情形二

推广二【例题】假设有分别标有数字1，2，…，n的n个不同的球装进m个

不同的盒子，则装有球的盒子的个数的期望是

 

 

 

 

 

 

 

【典例3】（2023新高考Ⅰ卷21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的任选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(Ⅰ)求第2次投篮的人是乙的概率；

(Ⅱ)求第i次投篮的人是甲的概率；

(Ⅲ)已知：若随机变量X ，服从两点分布，且 i=1,2,…,n,则 记前n次 (即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y ,求E(Y).

 

 

 

 

课后巩固

1．一个箱子里有6个球，分别以标号，若有放回地取三次，每次取一个球，记至少取出一次的球的个数为，则__________.

2.袋子中有大小形状完全相同的2个白球和4个黑球，从中任取3个球，1个白球得2分，1个黑球得1分.记X为取出的3个球的得分总和，则________.

 

3．一个箱子里有个大小相同的红球和白球，其中红球比白球多个．已知从中随机摸出个球，摸出的球颜色不同的概率为．

(1)求的值；

(2)若有放回地摸球次，每次随机摸出个球，记至少取出一次的球的个数为，求的分