概率培优01：期望的线性可加训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【概率培优01：期望的线性可加】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心定义 期望线性性质（万能通用不要求独立不要求同分布） 设X，Y为任意两个随机变量，为任意常数 1 2 3 4 5推广多变量 二、重中之重核心结论 1适用条件 不需要变量相互独立任意随机变量都满足这是最大优势 2易错区分 方差不能随便相加只有独立时 期望永远满足线性相加与独立无关 三、常用衍生公式 1（为常数） 2（常数的期望等于本身） 3 四、高考最常用解题思路（拆分法） 解题通用步骤 1把整体复杂随机变量拆成多个简单小变量相加 2分别求出每一个小变量的数学期望 3直接全部相加得到整体期望 标准做题步骤 1设总变量 2逐个分析取值与概率 3计算 4由线性可加性 五、高频经典模型 模型1计数型期望 求满足某条件的个数期望 直接逐个位置设0-1变量 总数 模型2分配类期望 多人分配分组抽取直接拆分每个人期望再求和 模型3比赛/试验累加期望 多轮试验总结果期望拆分每一轮期望相加 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型专练】 一、填空题 1．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 2．（2026·山东德州·模拟预测）某挑战赛设置了个连续关卡，分别记为第1关卡，第2关卡，⋯，第关卡，每个参赛团队的选手人数均为，每2名选手组成一个双人挑战组，共个双人挑战组，每个关卡均由其中1个双人挑战组进行挑战，各关卡参赛选手均不相同，关卡挑战从第1关卡开始依次挑战，每个关卡至少有1名选手挑战成功（即该关卡挑战成功），才能进入下一个关卡的挑战.若某参赛团队这个连续关卡均挑战成功，则该参赛团队的挑战赛通关.已知参赛团队的每名选手挑战成功的概率均为，且各选手的挑战结果相互独立，若在挑战赛通关的情况下，记内挑战不成功的选手总人数为，则__________. 3．（25-26高二下·福建厦门·期中）甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过个人，下一次由接下来的第个人进行射击．前次射击结束，丙未进行射击的概率为________．若前次射击中，设丙射击的次数为，则的数学期望为________． 4．（2026·山东济南·二模）甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 5．（25-26高二下·河北沧州·期中）一质点在数轴上每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动.若本次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若本次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为.记第次质点向左跳动的概率为，则______；记前次跳动中，质点累计向左跳动次，则______. 6．（25-26高二下·全国·自主招生）在单位正方形内部随机取一点，然后以该点为圆心画一个单位圆，以表示落在该圆内的正方形顶点个数，则___________． 7．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 8．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动：在抽奖箱中放置3个黑球和7个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参赛者摸3次球，每次摸1个球，第次摸球，若摸到黑球，则得元奖金，若摸到黄球，则没有奖金．现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则___________． 9．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的1个白球和3个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球．若最多进行次取球，即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则___________，___________（用表示）． 10．（2026·全国·模拟预测）甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________． 11．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望__________. 二、解答题 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 13．（23-24高三上·山东潍坊·期末）某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口. (1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由. (2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差. 14．（25-26高三上·湖南·阶段检测）将编号为，，，的小球随机放入编号为，，，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”. (1)当时，求“配球”个数的分布列和期望. (2)已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，，则. （i）求“配球”个数的期望. （ii）若满足：当时，；当时，；当时，，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数的期望. 15．（25-26高二下·湖南·月考）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为 (1)求随机变量的分布列； (2)设 用含的式子表示 (3)求 16．（19-20高三上·湖南长沙·月考）由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图. （1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求、的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率； （2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小. ②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，不需要说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【概率培优01：期望的线性可加】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心定义 期望线性性质（万能通用不要求独立不要求同分布） 设X，Y为任意两个随机变量，为任意常数 1 2 3 4 5推广多变量 二、重中之重核心结论 1适用条件 不需要变量相互独立任意随机变量都满足这是最大优势 2易错区分 方差不能随便相加只有独立时 期望永远满足线性相加与独立无关 三、常用衍生公式 1（为常数） 2（常数的期望等于本身） 3 四、高考最常用解题思路（拆分法） 解题通用步骤 1把整体复杂随机变量拆成多个简单小变量相加 2分别求出每一个小变量的数学期望 3直接全部相加得到整体期望 标准做题步骤 1设总变量 2逐个分析取值与概率 3计算 4由线性可加性 五、高频经典模型 模型1计数型期望 求满足某条件的个数期望 直接逐个位置设0-1变量 总数 模型2分配类期望 多人分配分组抽取直接拆分每个人期望再求和 模型3比赛/试验累加期望 多轮试验总结果期望拆分每一轮期望相加 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型专练】 一、填空题 1．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】/ 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 2．（2026·山东德州·模拟预测）某挑战赛设置了个连续关卡，分别记为第1关卡，第2关卡，⋯，第关卡，每个参赛团队的选手人数均为，每2名选手组成一个双人挑战组，共个双人挑战组，每个关卡均由其中1个双人挑战组进行挑战，各关卡参赛选手均不相同，关卡挑战从第1关卡开始依次挑战，每个关卡至少有1名选手挑战成功（即该关卡挑战成功），才能进入下一个关卡的挑战.若某参赛团队这个连续关卡均挑战成功，则该参赛团队的挑战赛通关.已知参赛团队的每名选手挑战成功的概率均为，且各选手的挑战结果相互独立，若在挑战赛通关的情况下，记内挑战不成功的选手总人数为，则__________. 【答案】8 【分析】求出双人挑战组关卡挑战成功的概率，再结合条件概率公式求出每个关卡挑战不成功人数的期望，进而列式求解. 【详解】依题意，当参赛团队挑战赛通关时，每个关卡至少有1名选手挑战成功， 在挑战赛通关的情况下，设第个双人挑战组的挑战不成功的选手人数为， 的可能值为，挑战不成功的选手总人数，于是， 双人挑战组关卡挑战成功的概率，则， ，， 所以. 3．（25-26高二下·福建厦门·期中）甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过个人，下一次由接下来的第个人进行射击．前次射击结束，丙未进行射击的概率为________．若前次射击中，设丙射击的次数为，则的数学期望为________． 【答案】 /0.25 【分析】第空：要丙前次不射击，甲第次必须命中（否则直接轮到丙），乙第次必须未命中（否则第次轮到丙），故概率为甲命中概率×乙未命中概率：． 第空：先通过递推关系求出第次轮到丙射击的概率，再利用期望的线性性质，对从到求和，经等比数列化简得 ． 【详解】答题空： 要让丙在前次射击中未射击，需要满足： 若第次甲射击未命中，此时跳过乙，下一次由丙射击，不符合“丙未射击”的条件， 所以只能是第次甲射击命中，则第次射击由乙射击， 若第次射击乙命中，则由丙射击，不符合“丙未射击”的条件， 所以只能是第次乙射击不命中，则第次射击由甲射击，符合“丙未射击”的条件， 所以前次射击结束，丙未进行射击的概率为； 答题空： 设第次由甲、乙、丙射击的概率分别为， 由题意得，且， 所以，化简得，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 设变量为第次丙射击，则，， 所以． 4．（2026·山东济南·二模）甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 【答案】 【分析】设为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解，再利用数学期望的线性性质求出. 【详解】将门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，， 则， 又， 则． 5．（25-26高二下·河北沧州·期中）一质点在数轴上每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动.若本次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若本次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为.记第次质点向左跳动的概率为，则______；记前次跳动中，质点累计向左跳动次，则______. 【答案】 【分析】易得，，再利用全概率可得，计算即可求解；进而利用全概率公式得到，构造等比数列求出表达式,再利用和事件的期望性质计算即得. 【详解】由题意，得，，； 依题意，可得， 设，展开并对照上式，可得，解得， 即，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 设第次质点向左跳动的次数是随机变量，则服从两点分布， 且，，，，， 所以，又， 所以. 6．（25-26高二下·全国·自主招生）在单位正方形内部随机取一点，然后以该点为圆心画一个单位圆，以表示落在该圆内的正方形顶点个数，则___________． 【答案】 【分析】利用线性期望分别计算正方形四个顶点各自落在随机圆内的概率，再相加即为期望 【详解】设正方形的四个顶点为．引入指示变量， 若被覆盖则，否则为0． 则 ． 由期望的线性性质，即为圆心到的距离小于等于1的概率． 满足条件的圆心区域是以为圆心、半径为1的四分之一圆，其面积为． 因为圆心在面积为1的正方形内均匀分布，所以． 故． 7．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 【答案】 【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，可得，结合两点分布可得，即可得结果. 【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，， 则，可得， 在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为， 则，可得，， 则，所以. 8．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动：在抽奖箱中放置3个黑球和7个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参赛者摸3次球，每次摸1个球，第次摸球，若摸到黑球，则得元奖金，若摸到黄球，则没有奖金．现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则___________． 【答案】90 【分析】设随机变量表示甲第次摸球获得的奖金，求得的期望，再由期望线性运算即可求解. 【详解】设随机变量表示甲第次摸球获得的奖金（）， 则总奖金， 的取值为：若第次摸到黑球，；若摸到黄球，， 由于不放回摸球时，任意一次摸到黑球的概率都是，（黑球3个，总数10个） 因此， 由期望线性运算知： . 9．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的1个白球和3个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球．若最多进行次取球，即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则___________，___________（用表示）． 【答案】 【分析】由题知的可能取值为，再依次求各取值对应的概率，进而计算即可；的可能取值为，对于当，时，前次取白球，第次取黑球，进而计算对应概率，,前次都取白球，再计算，最后根据裂项求和求解期望即可. 【详解】的可能取值为， 所以，，， 所以； 的可能取值为， ； 当，时，前次取白球，第次取黑球， ,前次都取白球， ， 所以 因为 所以 ， 所以 综上，. 故答案为：； 10．（2026·全国·模拟预测）甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________． 【答案】/ 【分析】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以，根据题意可求出，因为每一次传球后球在甲手中的次数都服从两点分布，根据期望的线性性质可求得. 【详解】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以， 根据题意第一次由甲传出，所以第一次传球后球肯定不在甲手中，所以， 又共传5次结束， 所以. 记为示性变量，当第次传球后球在甲手中时，否则，即每次传球后球在甲手中的次数服从两点分布， 所以， 所以 . 故答案为：. 11．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望__________. 【答案】 【分析】设甲､乙两人抽取的子集分别为，法一：确定的所有可能取值，分析对应概率，即可得分布列，进而求期望；法二：对于中的每个元素，定义，从而得到，结合求期望. 【详解】方法一：的所有可能取值为，设甲､乙两人抽取的子集分别为， 因为的子集一共有个，故所有的抽取结果有种， 要得到，先从5个元素中选个公共元素，有种方式， 对于剩余的个元素，每个元素有3种状态： （1）仅在中；（2）仅在中；（3）既不在中，也不在中，故共有种方式， 所以，的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 方法二：设甲､乙两人抽取的子集分别为. 对于中的每个元素，定义，则，所以， 对每个有一半子集中含有，另一半子集不含，即， 所以，所以，故. 故答案为： 二、解答题 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 13．（23-24高三上·山东潍坊·期末）某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口. (1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由. (2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差. 【答案】(1)应选择第一条路线，理由见解析 (2) 【分析】（1）由题意，，分别求出相应的概率然后，结合期望公式即可比较，得出结论. （2）结合所给的均值方差性质，以及等比数列前项和公式即可求解. 【详解】（1）应选择第一条路线， 理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、， 则，， ，，， 所以； 又，，， 所以； 因为，所以应选择第一条路线. （2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为， 所以；， 设随机变量，取值为，其概率分别为，且， 所以 ， 又因为，所以 . 14．（25-26高三上·湖南·阶段检测）将编号为，，，的小球随机放入编号为，，，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”. (1)当时，求“配球”个数的分布列和期望. (2)已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，，则. （i）求“配球”个数的期望. （ii）若满足：当时，；当时，；当时，，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数的期望. 【答案】(1)分布列见解析，期望为1 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）首先写出的取值，根据古典概率公式求出每个取值对应的概率，列出分布列，最后根据期望公式即可求解； （2）（ⅰ）首先得出，然后再利用题干所给公式即可求解； （ⅱ）首先得出，，，然后再利用题干所给公式即可求解. 【详解】（1）， ，，， 则的分布列为 0 1 3 . （2）（ⅰ）记则，， . （ⅱ）记则， 设第个球是“顶球”的概率为，则，，当时，， . 15．（25-26高二下·湖南·月考）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为 (1)求随机变量的分布列； (2)设 用含的式子表示 (3)求 【答案】(1) 4 5 (2) (3) 【分析】（1）确定的可能取值，按照分布列的步骤进行求解即可； （2）利用条件概率及全概率公式结合数学期望的计算公式即可求解； （3）利用（2）中的结论及可得到递推公式，再利用构造法即可求出. 【详解】（1）根据题意的可能取值为， 即一次摸球摸到白球，， 即一次摸球摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 （2）设第次摸球摸到黑球为事件，的取值可能为4，5，6， 则，     ，     ，     所以． （3）由（2）及得， ，   所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，     所以，即. 16．（19-20高三上·湖南长沙·月考）由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图. （1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求、的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率； （2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小. ②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，不需要说明理由. 【答案】（1）；；甲在1分钟内解开密码锁的频率是；乙在1分钟内解开密码锁的频率是（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙 【分析】（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得，根据频率求得，由此求得甲在1分钟内解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2） ①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法. ②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法. 【详解】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47， ∴ ，解得； ∴，解得； ∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是； 乙在1分钟内解开密码锁的频率是； （2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是，，且各人是否解开密码锁相互独立； 设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为 则，，， ，∴， ①∴ 同理可求得 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考） 设按先后顺序自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等， 根据题意知的取值为1，2，3； 则，，， ，∴， 若交换前两个人的派出顺序，则变为， 由此可见，当时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序， ∵交换前， ∴交换后的派出顺序则期望值变为， 当时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙， 这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小. 【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $