1.4《正方形的性质与判定》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过班级种植箱项目导入，回顾正方形定义及与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，构建“先判定矩形加菱形特性”“先判定菱形加矩形特性”两条核心路径作为学习支架。 其亮点是情境化与深度学习融合，以种植箱项目培养数学眼光，例2一题多解（四种证法）发展推理思维，中点四边形探究提炼规律强化数学语言。助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第一章 特殊的平行四边形 第4课 正方形的性质与判定 新版北师大数学九年级上册数学 第2课时 正方形的判定 学习目标 1.通过对正方形与矩形、菱形的从属关系探究,能准确表述正方形的4条判定定理,理解“正方形=矩形特性+菱形特性”的核心判定逻辑. 2.通过一题多解的证明实践,能灵活选择不同的判定方法解决几何问题,规范书写几何证明步骤,提升逻辑推理与发散思维能力. 3.通过对中点四边形的深度探究与类比拓展,能提炼出中点四边形形状的核心规律,深化对特殊平行四边形判定的理解,掌握从特殊到一般的数学探究方法. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 班级劳动实践园即将启动蔬菜种植项目,班委决定定制一批正方形木质种植箱边框,要保证种植箱方正规整、不浪费种植空间.作为项目设计成员,你首先要解决的核心问题是:我们学过的正方形的定义是什么？它和之前学的平行四边形、矩形、菱形有什么从属关系？ 正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 平行四边形 菱形 矩形 正方形 问题构建 问题1:回顾我们学习矩形、菱形的判定时,都是从定义出发,结合正方形的从属关系,请你思考:要判定一个四边形是正方形,有哪两条核心的大路径？ 路径1:先判定一个四边形是矩形,再添加菱形的核心特性,得到正方形； 路径2:先判定一个四边形是菱形,再添加矩形的核心特性,得到正方形. 问题2:基于“矩形+菱形特性→正方形”的路径,请你猜想:给矩形添加什么条件,可以判定它是正方形？请你用定义和已学的矩形、菱形判定定理,完成严谨证明. 猜想1:有一组邻边相等的矩形是正方形 证明:已知四边形ABCD是矩形,AB=BC ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC ∴平行四边形ABCD是菱形 ∵四边形ABCD既是矩形又是菱形 ∴四边形ABCD是正方形. 问题构建 猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形 证明:已知四边形ABCD是矩形,对角线 AC⊥BD ∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OC=OB=OD,四边形ABCD是平行四边形 ∵AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形 ∵四边形ABCD既是矩形又是菱形 ∴四边形ABCD是正方形 这两个定理都是在矩形的基础上,添加了菱形的核心特性（邻边相等/ 对角线垂直）,本质是把正方形的判定转化为“矩形 + 菱形”的叠加，用到了数学中最核心的转化思想. 问题构建 问题3:基于“菱形+矩形特性→正方形”的路径,请你类比上面的探究过程,自主猜想添加的条件,独立完成定理证明,和同桌交流你的证明思路. 猜想1:有一个角是直角的菱形是正方形 猜想2:对角线相等的菱形是正方形 问题构建 例2:在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形. 证明: ∵BF∥CE,CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=∠DCB=90° ∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB ∴∠EBC=∠ECB=45° ∴EB=EC ∴平行四边形BECF是菱形 在△EBC中,∠BEC=180°-45°-45°=90°，∴ 菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形） 你还有其他的证明方法吗？ 法一：平行四边形→菱形→正方形 问题构建 例2:在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形. 法二：平行四边形→矩形→正方形 证明: ∵BF∥CE,CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=∠DCB=90° ∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB ∴∠EBC=∠ECB=45° ∴∠BEC=90° ∴平行四边形BECF是矩形 ∵∠EBC=∠ECB ∴EB=EC ∴矩形BECF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） 问题构建 例2:在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形. 证明： ∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=∠DCB=90° ∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB ∴∠EBC=∠ECB=45° ∴EB=EC，∠BEC=90° ∴四边形BECF是正方形 法三：回归定义证明 协作破冰 例2:在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形. 法四：对角线法 证明:∵BF∥CE,CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形 ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠DCB=90° ∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB ∴∠EBC=∠ECB=45° ∴EB=EC,∠BEC=90°,连接EF交BC于点O ∵四边形BECF是平行四边形,EB=EC ∴EF垂直平分BC,即EF⊥BC 又∵Rt△EBC中,BC=2EO,EF=2EO ∴ EF=BC ∴ 平行四边形BECF的对角线互相垂直且相等 ∴ 四边形BECF是正方形. 协作破冰 问题4:如图,四边形ABCD是正方形,连接它各边的中点,得到的新四边形是什么形状？请你用今天学的判定定理完成证明,思考:这个问题用到了我们之前学的什么旧知？ 猜想:得到的四边形是正方形 证明:设正方形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H,连接AC、BD ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC=BD,AC⊥BD 根据三角形中位线定理：EF∥AC,EF=AC；GH∥AC，GH= AC；EH∥BD,EH= BD；FG∥BD,FG= BD ∴EF∥GH,EH∥FG,且EF=GH=EH=FG ∴四边形EFGH是菱形 又∵EF∥AC,EH∥BD,AC⊥BD ∴EF⊥EH,即∠HEF=90° ∴ 菱形 EFGH 是正方形 教师示范 追问1:如果把正方形ABCD换成矩形,连接各边中点得到的新四边形是什么形状？请证明你的结论,并对比上一题,说说为什么形状会发生变化？ 追问2:如果把正方形ABCD换成菱形,连接各边中点得到的新四边形是什么形状？请证明你的结论,并对比上一题,说说为什么形状会发生变化？ 追问3:如果把正方形ABCD换成平行四边形,连接各边中点得到的新四边形是什么形状？请证明你的结论,并对比上一题,说说为什么形状会发生变化？ 追问4:如果把正方形ABCD换成四边形,连接各边中点得到的新四边形是什么形状？请证明你的结论,并对比上一题,说说为什么形状会发生变化？ 菱形 矩形 平行四边形 平行四边形 教师示范 问题5:结合上面的探究,你发现了中点四边形形状的什么通用规律？这个规律的核心是什么？回顾我们从特殊到一般的探究过程,你积累了哪些数学探究的经验？ 中点四边形的形状,唯一由原四边形两条对角线的数量关系和位置关系决定,和原四边形的形状没有直接关联. 任意四边形的中点四边形都是平行四边形； 原四边形对角线相等→中点四边形是菱形； 原四边形对角线互相垂直→中点四边形是矩形； 原四边形对角线相等且互相垂直→中点四边形是正方形 核心本质：三角形中位线定理，把原四边形的对角线关系，完全转化为中点四边形的边的位置关系和数量关系 巩固拓展 问题6:现在回到我们班级的种植箱项目： （1）请你结合本节课的判定定理,设计2种不同的制作方案,指导木工师傅制作规范的正方形种植箱边框； （2）制作完成后现场验收,你能设计3种不同的验证方法,判断种植箱边框是不是合格的正方形吗？说说每种方法的判定依据. （1）制作方案： 方案一：先制作一个矩形边框,再测量调整相邻两条边的长度相等 方案二：先制作一个菱形边框,再用直角尺调整其中一个角为90° （2）验收验证方法： 方法1：先测量四条边,确认长度全部相等,再测量两条对角线,确认长度相等,判定合格 方法2：先测量四个角,确认都是 90°,再测量两条对角线,确认互相垂直,判定合格. 方法3：先测量两组对边分别相等,再测量一组邻边相等,且一个角是直角,判定合格. 当堂检测 1.下列说法中,能判定一个四边形是正方形的是（ ） A.对角线互相垂直且相等的四边形 B.对角线互相垂直的矩形 C.对角线相等的平行四边形 D.有一组邻边相等的平行四边形 解析：A选项对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形（如筝形）；C选项判定的是矩形；D选项判定的是菱形；B选项符合本节课的正方形判定定理. B 当堂检测 2.若一个菱形的边长为5，要使这个菱形变成正方形，需要将它的内角调整为______°，此时正方形的对角线长为______，面积为______ 90 25 解析：有一个角是直角的菱形是正方形，因此内角调整为90°；正方形对角线长=边长 ×​=5​；面积=边长²=25 当堂检测 3.已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB，DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证：四边形CFDE是正方形. 证明:∵∠ACB=90°,DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） ∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC， ∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴ 矩形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） 当堂检测 4.如图,四边形ABCD是矩形,E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点,连接EF、FG、GH、HE （1）求证：四边形EFGH是菱形； （2）请添加一个条件,使四边形EFGH成为正方形,并说明理由. （1）证明:连接AC、BD ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∵E、F分别是AB、BC的中点 ∴EF是△ABC的中位线 ∴EF=AC,EF∥AC. 同理可证：GH= AC,GH∥AC；EH= BD，FG=½BD ∴ EF=GH=EH=FG ∴ 四边形EFGH是菱形. （2）添加条件：AC⊥BD（或AB=BC，即矩形 ABCD为正方形） 理由：∵ EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD， ∴EF⊥EH,即∠HEF=90° ∴ 菱形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形） 反思总结 1.本节课我们学习了4条正方形的判定定理,你能梳理出这些定理的核心逻辑吗？它们与矩形、菱形的判定有什么联系与区别？ 2.在探究中点四边形的形状规律时,我们用到了哪些数学思想方法？这些方法还可以解决哪些同类几何问题？ 3.结合本节课的学习，你认为数学知识在服务社会公益、解决生活实际问题中能发挥哪些价值？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第20页 第1,2题 二、素养类作业 课本P20 阅读《四边形的对称性》 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $