山东菏泽市单县第一中学2025-2026学年高一下学期第二次段考数学练习试卷

**基本信息** 高中数学第二次段考试卷，涵盖立体几何、概率统计、向量等核心知识，以滑雪场抽样、变换三角形等情境设计，考查数学眼光、思维与语言，基础与创新结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|棱柱概念、复数、频率分布直方图|基础概念辨析，如棱柱侧面性质判断| |多项选择|3/18|统计量（平均数、方差）、不等式|多角度考查数据特征，如方差变化分析| |填空题|3/15|异面直线概率、向量数量积|空间想象与运算结合，如四棱锥棱异面概率| |解答题|5/77|概率（正四面体骰子）、解三角形、立体几何、统计（滑雪场抽样）、变换三角形|情境化与综合性强，如滑雪场分层抽样（数据意识）、变换三角形动点最值（创新意识）|

第二次段考数学试卷 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.下列说法正确的是（ ） A.棱柱的所有面都是四边形 B.棱柱的侧面一定是平行四边形 C.棱柱的侧棱不全相等 D.各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 2．已知复数z满足，则 A.B. C.1 D. 3．如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（  ） A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的 C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数 4．已知向量 (2,2), (, ), (2, 1), (2b)∥c,，则实数（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1 5．如图，在正四棱锥中，为底面的中心． 若，则绕旋转一周形成的 几何体的体积为( ) A. B. C. D. 6．已知的面积为1，为所在平面内一点，且， 则的面积为( ) A. B. C. D. 7．如图，在正方体中，为正方形内（含边界）一动点，Q是棱的中点，且，则点的轨迹的长度（ ） A.B.C.π D.2π 8.在中，角所对的边分别为， 若, =1，则的最大值为( ) A. B. C. D.1 数学试卷共4页（ 第2页） 学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组样本数据满足，则去掉后的新数据与原数据相比（  ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变 10．已知,则下列结论正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C. D. 11．如图，在正方体中，是底面的中心，是所在棱的中点，M,N为顶点，则满足 的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是 . 13．在中,5,, 为边上的动点，则 . 14．一个底面边长和倒棱长均为4的正三棱柱密闭容器.其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图）.容器内的水形成新的几何体，若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为， (1) 求“为偶数”的概率； (2)求“”的概率. 16．（15分）如图，在锐角中， （1）求的面积； （2）求sin∠BAD. 17．（15分）如图，在四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，点在同一个圆的圆周上，且， （1）求证：； （2）求三棱锥的体积 18．（17分）某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． (1)求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？ (2)由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） (3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 19．（17分）如图，延长的边至点，边至点.边至点.使得线段的长分别为的倍， ，，我们将称为的“变换三角形”. （1）若，求的长； （2）若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； （3）证明：当变化时，的“变换三角形”的重心始终为同一点． 第二次段考数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B C D A D C 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案 A ABD AD ABD 32 15【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意知，样本空间，，共16个样本点.----------3分 设事件“为偶数”，则 ，共12个样本点.--------------------------6分 所以，即“为偶数”的概率为.-----------------8分 （2）由（1）知，样本空间包含16个样本点. 设事件“”，则，，共10个样本点.-------------------------------------------------11分 所以，即“”的概率为.--------------------13分 17. 8分 7分 4分 2分 10分 12分 15分 18. 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）由题意可得：， 则， 所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.----------3分 （2）由题意可得：，---6分 又因为， 可知，则解得：.------10分 （3）中的人数：，分别记为； 中的人数：，分别记为 中的人数：，记为 则任选两人的情况有 ，共种，--15分 其中来自同一组有 ，共种，所以两个人来自同一组的概率为.------17分 19. 方法二：可以建系 $