专题04 统计与概率 2大高频考点（期末真题汇编，山东专用）高一数学下学期

**基本信息** 汇集山东多地市期末真题，聚焦统计与概率核心考点，通过现实情境（如新能源汽车充电时长、直播带货利润）和分层题型设计，实现基础巩固与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|45|分位数、分层抽样、古典概型|结合地域期末考真题，注重基础概念辨析| |多选题|19|方差计算、互斥独立事件|设置多选项陷阱，考查逻辑推理能力| |填空题|13|百分位数、随机数表抽样|强调数据处理细节，如分层抽样比例计算| |解答题|31|频率分布直方图、概率综合应用|以实际问题（如体重调查、竞赛成绩分析）为载体，融合图表解读与统计推断|

专题04 统计与概率 2大高频考点概览 考点01统计 考点02概率 地 城 考点01 统计 一、单选题 1．（2024高一下·山东烟台·期末）给定一组数据：，则其分位数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 2．（2024高一下·山东烟台·期末）某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．（2024高一下·山东济南·期末）如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ）    A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 4．（2024高一下·山东滨州·期末）数据3，1，2，4，2的上四分位数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024高一下·山东枣庄·期末）数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的分位数是（    ） A．6 B． C．7 D．8 6．（2024高一下·山东临沂·期末）一组数据的下四分位数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一下·山东淄博·期末）按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的80%分位数为（   ） A．96 B．96.5 C．97 D．97.5 8．（2025高一下·山东济南·期末）某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为．现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为30，则从高三抽取的人数为（   ） A．45 B．60 C．90 D．135 9．（2025高一下·山东烟台·期末）若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（   ） A． B． C． D． 10．（2025高一下·山东烟台·期末）若数据，，，，，，，的分位数为，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（2025高一下·山东枣庄·期末）某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．简单随机抽样 12．（2025高一下·山东泰安·期末）某校高一年级有男生500人，女生700人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为360的样本．如果样本按比例分配，那么男生，女生应分别抽取的人数为（    ） A．； B．； C．； D．； 13．（2025高一下·山东青岛·期末）某学校有男生2000名和女生1000名，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从男生中抽取100名学生，则为（   ） A．150 B．200 C．250 D．300 14．（2024高一下·山东青岛·期末）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（    ） A．290 B．295 C．300 D．330 15．（2024高一下·山东济宁·期末）有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（    ） A．11 B．13 C．16 D．17 16．（2024高一下·山东淄博·期末）已知一组数据2，3，4，1，5，则其上四分位数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2024高一下·山东滨州·期末）为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（    ） A．甲店月营业额的平均值在内 B．乙店月营业额总体呈上升趋势 C．7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少 D．乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差 18．（2024高一下·山东菏泽·期末）图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（    ） A．这10年粮食年产量的极差为15 B．这10年粮食年产量的平均数为31 C．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 D．这10年粮食年产量的中位数为29 19．（2024高一下·山东聊城·期末）一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的（    ） A．第50百分位数为8 B．第50百分位数为6 C．第75百分位数为8 D．第75百分位数为9 20．（2024高一下·山东聊城·期末）采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.PMI高于时，反映经济总体较上月扩张；低于，则反映经济总体较上月收缩.根据我国2022年6月至2023年9月的PMI绘制出如下折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是（    ） A．2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于 B．2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第三季度各月的PMI的方差 C．2023年第三季度各月经济总体较上月扩张 D．2023年第一季度各月经济总体较上月扩张 21．（2025高一下·山东青岛·期末）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 22．（2025高一下·山东德州·期末）某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（   ） A．图中一组的频率为0.015 B．估计样本数据的众数 C．估计样本数据的分位数为88.75 D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7000人 23．（2025高一下·山东青岛·期末）某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 24．（2025高一下·山东聊城·期末）若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 25．（2025高一下·山东青岛·期末）抽样调查得到20个样本数据，记作，样本数据的平均数为9，方差5.现去掉一个最大值13和一个最小值5，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（   ） A．中位数一定不变 B．极差一定变小 C．方差一定变小 D．平均数一定不变 26．（2025高一下·山东滨州·期末）设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为（   ） A．4，14 B．4，16 C．5，14 D．5，16 二、多选题 27．（2025高一下·山东济南·期末）某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（   ） A． B．众数是230 C．中位数是210 D．跳远距离在区间的人数为168 28．（2024高一下·山东济宁·期末）将样本容量为100的样本数据分为4组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．样本数据分布在内的频率为0.32 B．样本数据分布在内的频数为40 C．样本数据分布在内的频数为40 D．估计总体数据大约有分布在内 29．（2024高一下·山东临沂·期末）某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（    ） A． B．平均数的估计值为30 C．众数的估计值为35 D．这100名学生中有25名学生每天体育活动时间不低于40分钟 30．（2025高一下·山东德州·期末）为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，某校举办一场篮球赛，其中每队上场5人，每人得分情况如下表（单位：分），则下列结论正确的是（   ） 甲队 乙队 5 10 23 12 8 8 8 15 7 6 A．运动员得分极差甲队大于乙队 B．运动员得分均值甲队小于乙队 C．甲队运动员得分的75%分位数为8 D．相较于甲队，乙队运动员实力更均衡 31．（2025高一下·山东临沂·期末）已知一组样本数据：5，7，4，3，5，7，7，6，4，2，则该组数据（    ） A．极差是7 B．众数不等于平均数 C．25%分位数是4 D．方差是3.5 32．（2024高一下·山东淄博·期末）下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是0.2 B．已知一组数据的平均数为4，则的值为5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 33．（2024高一下·山东烟台·期末）已知一组样本数据满足，则去掉后的新数据与原数据相比（    ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变 34．（2025高一下·山东青岛·期末）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 35．（2025高一下·山东淄博·期末）已知一组样本数据的方差，则（   ） A．这组样本数据的平均数为2 B．数据的方差为 C．若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6，则的方差为9 D．现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 三、填空题 36．（2025高一下·山东济宁·期末）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 8823    6833    0877    6314    6621    4302    9714    1298 3204    0234    4936    8200    1323    4869    6938    7181 37．（2025高一下·山东烟台·期末）已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为________，方差为________． 38．（2024高一下·山东济宁·期末）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为____________分． 39．（2024高一下·山东烟台·期末）已知数据的众数为4，则其标准差为__________. 40．（2024高一下·山东枣庄·期末）已知总体划分为2层，通过按比例分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，总的样本平均数为，则总的样本方差用上述已知量表示为________. 41．（2025高一下·山东青岛·期末）对于没有重复数据的样本，记这m个数的第k百分位数为.若在区间中的样本数据有且只有13个，则m的所有可能值的和为______. 四、解答题 42．（2025高一下·山东淄博·期末）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数； (2)将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数. 43．（2025高一下·山东青岛·期末）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，并整理得到如图所示的频率分布直方图： (1)求样本中停车时长在区间上的频率； (2)若某天该商场到访顾客的车辆数为820，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； (3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及33%的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议． 44．（2025高一下·山东济南·期末）某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 45．（2025高一下·山东枣庄·期末）某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； (2)求参加挑战赛的学生成绩的分位数； (3)已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 46．（2025高一下·山东泰安·期末）为倡导文明健康生活方式，2024年12月，国家卫健委发布了《体重管理指导原则》，指导医疗卫生人员开展体重管理工作，当地卫生管理部门对某校全体高一男生进行了体重调查，将数据统计成如下频率分布表及频率分布直方图． 分组 频数 频率 30 0.05 ？ 120 0.2 ？ 0.3 150 60 0.1 合计 ？ (1)求，，，，的值； (2)估计高一男生体重的第75百分位数； (3)估计高一男生体重的平均数． 47．（2024高一下·山东菏泽·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 48．（2024高一下·山东淄博·期末）从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量（单位：度）都在内，进行适当分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)请结合频率分布直方图，估计本小区月用电量落在内的用户月用电量的平均数； (3)抽取的100户居民月用电量落在内的用户月用电量的方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188度，方差为5200，且小区月用电量落在内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，估计本小区月用电量在内的用户月用电量的标准差． 49．（2024高一下·山东滨州·期末）出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示． (1)由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数； (2)已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； (3)已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差． 50．（2024高一下·山东烟台·期末）每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差. 51．（2024高一下·山东济南·期末）某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值并估计参赛学生成绩的分位数； (2)从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率. 52．（2024高一下·山东临沂·期末）某学校高一年级在对组建机器人建模社团调查中，采取样本量比例分配的分层随机抽样．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人、女生20人进行兴趣爱好问卷调查（满分100分），其中男生问卷所得平均分和方差分别为和，女生问卷所得平均分和方差分别为和． (1)求总样本方差； (2)从样本中择优选出小明、小芳和荣荣参加机器人建模大赛，大赛分为初赛和复赛两个环节，初赛合格后才能参加复赛，复赛合格后才能获奖，是否通过初赛和是否通过复赛相互独立．小明通过初赛和复赛的概率分别为，，小芳通过初赛和复赛的概率分别为，，荣荣通过初赛和复赛的概率与小明都相同，且三人比赛互不影响．求这三人中恰有两人获奖的概率． 53．（2025高一下·山东烟台·期末）为了解新能源汽车充电情况，某数学兴趣小组在社区内随机抽测了一定数量的新能源汽车的充电时长（单位：分钟），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)试估计该社区内新能源汽车充电时长的平均值； (3)现用比例分配的分层随机抽样方法从充电时长在上的样本中抽取n个样本数据，若在上抽取了6个样本数据，求n的值． 54．（2025高一下·山东聊城·期末）某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； (2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 55．（2025高一下·山东济宁·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 地 城 考点02 概率 一、单选题 1．（2025高一下·山东青岛·期末）若，则为整数的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·山东青岛·期末）已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（   ） A．若，则C与B相互对立 B．若，则 C．若事件A与B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则 3．（2025高一下·山东临沂·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于5”，“至少有一颗骰子的点数为2”，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一下·山东烟台·期末）有个人在一座层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则恰有两个人在同一层离开电梯的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一下·山东烟台·期末）甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为．若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一下·山东济南·期末）抛掷枚质地均匀的硬币，恰有枚正面朝上的概率为（其中），则（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一下·山东德州·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是5的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2024高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 9．（2024高一下·山东枣庄·期末）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一下·山东济南·期末）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．0.035 B．0.07 C．0.105 D．0.14 11．（2024高一下·山东济南·期末）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 12．（2024高一下·山东烟台·期末）先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子，观察并记录骰子朝上面的点数.若甲表示事件“第一次的点数大于4”，乙表示事件“两次点数之和为7”，丙表示事件“至少有一次的点数为4”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．乙与丙独立 13．（2024高一下·山东烟台·期末）已知事件A与事件互为对立事件，且，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 14．（2024高一下·山东滨州·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 15．（2024高一下·山东滨州·期末）柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只．设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一下·山东菏泽·期末）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一下·山东济宁·期末）12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（    ） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 18．（2025高一下·山东滨州·期末）缙云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926   446   072   021   392   077   663   817   325   615 405   858   776    631   700   259   305   311   589   258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（    ） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 19．（2024高一下·山东青岛·期末）据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 20．（2025高一下·山东泰安·期末）下列选项正确的是（    ） A．从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”互斥 B．用简单随机抽样方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本，个体被抽到的概率是0.5 C．数据，，，，的平均数为，方差，则数据，，，的标准差为 D．若事件与事件是相互独立事件，则 21．（2025高一下·山东滨州·期末）已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若发生时一定发生，则 22．（2025高一下·山东枣庄·期末）记事件M中的样本点个数为．对于一个古典概型试验的样本空间Ω和事件E，F，已知，，，，，，则（ ） A． B．与互不相容 C．与相互独立 D． 23．（2025高一下·山东烟台·期末）袋子中有个大小、质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中任取个球，设事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球至多有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”，“取出的个球全是红球”，则（   ） A．事件与互斥 B．事件与互为对立事件 C．事件与相互独立 D．事件与相互独立 24．（2025高一下·山东济南·期末）已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 25．（2024高一下·山东聊城·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（    ） A． B．事件A与事件C互斥 C．事件A与C相互独立 D． 26．（2024高一下·山东临沂·期末）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（    ） A． B． C． D． 27．（2024高一下·山东枣庄·期末）一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个绿球，1个黄球.若从中任取2个小球，则下列判断错误的是（    ） A．恰有一个红球的概率为 B．两个球都是红球的概率为 C．“有黄球”和“两个都是红球”互斥 D．“至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”互为对立 28．（2024高一下·山东济宁·期末）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（    ） A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C相互独立 D． 29．（2024高一下·山东菏泽·期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 三、填空题 30．（2025高一下·山东枣庄·期末）某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数，表示“投中”，出现表示“未投中”．以每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783  062  228  049  276  102  734  933  750  076  140  065  061  215  693  599  494  411  987  789．据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为________． 31．（2025高一下·山东烟台·期末）从，，，，中随机选个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为________． 32．（2025高一下·山东德州·期末）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母共4个人物手办，小明随机购买2个盲盒（2个盲盒内人物一定不同），则恰有哪吒及其父母中的一位的概率为________. 33．（2024高一下·山东聊城·期末）甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为________，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为________. 34．（2024高一下·山东烟台·期末）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，且平面，点为的中点，点为棱上一动点，且.若直线与底面所成角的正切值为，则的值为__________.在个点中任取4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为__________. 35．（2024高一下·山东滨州·期末）若事件与互斥，且，，则________． 36．（2024高一下·山东济宁·期末）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________. 9 7 4 5 37．（2024高一下·山东青岛·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________. 四、解答题 38．（2025高一下·山东青岛·期末）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差=生产的产品质量-标准质量，单位：mg）的样本数据统计如下. (1)求的值： (2)公可从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品.其中，分别为样本平均数和样本标准差. （i）根据计算可得，若产品的质量差为38mg，试判断该产品是否属于一等品，并说明理由； （ⅱ）若公司包装时要求，4件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中随机摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率. 39．（2025高一下·山东临沂·期末）某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取100名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有15人. (1)求m，n的值； (2)学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少? (3)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在内的概率. 40．（2025高一下·山东临沂·期末）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响. (1)求； (2)求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 41．（2025高一下·山东泰安·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 42．（2025高一下·山东滨州·期末）在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过．已知李明答对每道题的概率都是0.6，张志答对每道题的概率都是0.5，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的． (1)求李明第二次答题通过面试的概率； (2)求张志通过面试的概率； (3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率． 43．（2025高一下·山东滨州·期末）某学校随机抽取100名学生参加数学测试，记录他们的测试成绩，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中m的值； (2)估计这次测试成绩的第70百分位数； (3)用按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩位于和内的学生中抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件“抽取的两人的测试成绩分别位于和内”，求事件A的概率． 44．（2025高一下·山东烟台·期末）某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型．个人赛中，每位选手回答随机给出的个题目，若答对不少于个题目，则其个人赛挑战成功．团队赛中，名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目．每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战成功，则该团队挑战成功． (1)某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为，后两个题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率； (2)假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为，，若对任意，均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求的取值范围． 45．（2025高一下·山东烟台·期末）某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动．已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示： 参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲 参加环境保护知识宣讲 人 人 未参加环境保护知识宣讲 人 人 (1)从该班随机选取名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率； (2)已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的名学生中，有名男生和名女生．现从这名学生中随机选取人作为主讲人，求选取的人中恰有名男生和名女生的概率． 46．（2025高一下·山东济南·期末）袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． (1)求至少一个是白球的概率； (2)设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 47．（2025高一下·山东德州·期末）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估算高一学生的物理平均分数； (2)若根据这次成绩，学校建议70%的学生选报物理，30%的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分？（小数点后保留一位） (3)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试.考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两个模块成绩均为，则直接参加；若一个模块成绩为，另一个模块成绩不低于，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得，，，，的概率分别为；乙在每个模块考试中取得，，，，的概率分别为，甲、乙在实验操作中通过的概率分别为.求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率. 48．（2024高一下·山东青岛·期末）树人中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，，，…，，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，，，…，，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)如果数学成绩分数在内，记为C等，成绩等级为C的有4名学生；数学成绩分数在60分以下，记为D等，成绩等级为D的有2名学生．现从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率． 附：，，． 49．（2024高一下·山东聊城·期末）体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如下图所示. (1)求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数； (2)从所抽查的每天体育锻炼时间在内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率. 50．（2024高一下·山东临沂·期末）某学校高一年级在对组建机器人建模社团调查中，采取样本量比例分配的分层随机抽样．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人、女生20人进行兴趣爱好问卷调查（满分100分），其中男生问卷所得平均分和方差分别为和，女生问卷所得平均分和方差分别为和． (1)求总样本方差； (2)从样本中择优选出小明、小芳和荣荣参加机器人建模大赛，大赛分为初赛和复赛两个环节，初赛合格后才能参加复赛，复赛合格后才能获奖，是否通过初赛和是否通过复赛相互独立．小明通过初赛和复赛的概率分别为，，小芳通过初赛和复赛的概率分别为，，荣荣通过初赛和复赛的概率与小明都相同，且三人比赛互不影响．求这三人中恰有两人获奖的概率． 51．（2024高一下·山东枣庄·期末）已知同一个样本空间下的两个事件A，B满足，，在以下情况下求： (1)A与B互斥； (2)A与B独立； (3)A包含于B. 52．（2024高一下·山东济南·期末）某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值并估计参赛学生成绩的分位数； (2)从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率. 53．（2024高一下·山东烟台·期末）甲､乙两支代表队进行趣味篮球对抗赛；规则如下：对抗赛分为若干局；每局比赛只有胜负两种结果，胜者得1分，负者得0分；积分首先达到3分的代表队赢得对抗赛，对抗赛结束.假定甲代表队每局比赛获胜的概率为；且各局比赛结果互不影响. (1)求经过3局比赛，对抗赛结束的概率； (2)求甲代表队赢得对抗赛的概率. 54．（2024高一下·山东烟台·期末）抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为， (1)求“为偶数”的概率； (2)求“”的概率. 55．（2024高一下·山东滨州·期末）唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆．    (1)当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． (2)超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． (3)若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 56．（2024高一下·山东滨州·期末）5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．为此学校将举行心理健康知识竞赛，甲、乙两同学组成“爱我队”参赛，比赛共有两轮，每轮比赛由甲、乙各回答一个问题，已知第一轮甲答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，第二轮甲、乙都答对的概率为，并且甲连续两轮都答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)分别求第二轮甲、乙两同学答对的概率； (2)求“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率． 57．（2024高一下·山东菏泽·期末）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 统计与概率 2大高频考点概览 考点01统计 考点02概率 地 城 考点01 统计 一、单选题 1．（2024高一下·山东烟台·期末）给定一组数据：，则其分位数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】利用百分位数的定义直接求解即可 【详解】这组数从小到大已排列好， 因为， 所以分位数为第6个数20， 故选：D 2．（2024高一下·山东烟台·期末）某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先由从部门抽取员工6名列方程求出，再根据分层抽样的定义可求得结果. 【详解】由题意得，解得， 所以从部门抽取员工的数量为. 故选：B 3．（2024高一下·山东济南·期末）如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ）    A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 【答案】B 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数. 故选：B 4．（2024高一下·山东滨州·期末）数据3，1，2，4，2的上四分位数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用四分位数的定义求解即可. 【详解】将数据从小排到大为1，2，2，3，4， ，故分位数即四分位数为3. 故选：C. 5．（2024高一下·山东枣庄·期末）数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的分位数是（    ） A．6 B． C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】数据从小到大排列为：1，2，3，5，5，6，7，8，9，10， 又，所以分位数为第、两数的平均数，即为. 故选：B 6．（2024高一下·山东临沂·期末）一组数据的下四分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题目数据从小到大排列，然后根据百分位数的定义计算 【详解】一组数据，从小到大排序为：， 下四分位数，即分位数，， 根据百分位数的定义，下四分位数应取从小到大排列的第个数，即. 故选：A 7．（2025高一下·山东淄博·期末）按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的80%分位数为（   ） A．96 B．96.5 C．97 D．97.5 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义计算. 【详解】这组数据共10个数，， 所以80%分位数为第8个、第9个数据的平均数，即. 故选：D. 8．（2025高一下·山东济南·期末）某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为．现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为30，则从高三抽取的人数为（   ） A．45 B．60 C．90 D．135 【答案】B 【分析】根据分层抽样的基本原则，计算各层人数即可. 【详解】设高三抽取的人数为，则由分层抽样可知，解得：. 故选：B. 9．（2025高一下·山东烟台·期末）若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方差的计算公式直接计算. 【详解】设数据，，，的平均数为， 则方差， 即； 则数据，，，的平均数为， 则方差， 故选：C. 10．（2025高一下·山东烟台·期末）若数据，，，，，，，的分位数为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据百分位数的概念直接得解. 【详解】由， 则数据的分位数为， 解得， 故选：A. 11．（2025高一下·山东枣庄·期末）某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．简单随机抽样 【答案】C 【分析】根据样本的年龄特性确定抽样方法． 【详解】由于样本中年龄分为三个层次：老年，中年，青年，因此采取分层抽样方法． 故选：C． 12．（2025高一下·山东泰安·期末）某校高一年级有男生500人，女生700人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为360的样本．如果样本按比例分配，那么男生，女生应分别抽取的人数为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】根据分层抽样的计算方法，求出每层的抽取数量. 【详解】共有人，则抽取男生数量为人，抽取女生数量为人； 故选：B. 13．（2025高一下·山东青岛·期末）某学校有男生2000名和女生1000名，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从男生中抽取100名学生，则为（   ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】A 【分析】根据比值关系直接计算可得. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 14．（2024高一下·山东青岛·期末）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（    ） A．290 B．295 C．300 D．330 【答案】B 【分析】根据百分位数的知识求得正确答案. 【详解】将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288， 290，300，360， ，所以分位数为. 故选：B 15．（2024高一下·山东济宁·期末）有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（    ） A．11 B．13 C．16 D．17 【答案】D 【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数. 【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24， 因为，所以这组数据的上四分位数为. 故选：D 16．（2024高一下·山东淄博·期末）已知一组数据2，3，4，1，5，则其上四分位数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】从小到大排序后直接求解即可. 【详解】数据从小到大排序得到1，2，3，4，5，上四分位数即为分位数.由于，则第4个数即4为上四分位数. 故选：D . 17．（2024高一下·山东滨州·期末）为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（    ） A．甲店月营业额的平均值在内 B．乙店月营业额总体呈上升趋势 C．7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少 D．乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差 【答案】D 【分析】根据折线图对选项逐一分析即可知，甲店月营业额的平均值为，可判断A正确；由折线图可知乙店每月的营业额总体呈上升趋势，故B正确；易知甲店月份的总营业额为，乙店的总营业额为，所以C正确；根据折线图可知甲店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以D错误. 【详解】对于A，甲店月营业额的平均值为，，所以A正确； 对于B，根据乙店的营业额折线图可知乙店每月的营业额逐月变大，所以总体呈上升趋势，故B正确； 对于C，由营业额折线图可知，甲店的月份的总营业额为， 乙店的月份的总营业额为，，所以C正确. 对于D，根据甲､乙两店的营业额折线图可知甲店的月营业额极差为， 乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以D错误； 故选：D. 18．（2024高一下·山东菏泽·期末）图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（    ） A．这10年粮食年产量的极差为15 B．这10年粮食年产量的平均数为31 C．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 D．这10年粮食年产量的中位数为29 【答案】C 【分析】由折线图提供的数据进行计算估值判断． 【详解】由折线图知最大值是40，最小值是25，极差是15，A不符合题意； 平均数为，B不符合题意； 前5年数据波动比后5年数据波动要小， 因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差，C符合题意； 10年数据按从小到大排序为：， 中位数为，D不符合题意． 故选：C． 19．（2024高一下·山东聊城·期末）一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的（    ） A．第50百分位数为8 B．第50百分位数为6 C．第75百分位数为8 D．第75百分位数为9 【答案】B 【分析】根据平均数可得，将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 将数据按升序排列可得：. 对于选项AB：因为，所以第50百分位数为第4位数6，故A错误，B正确； 对于选项CD：因为，所以第75百分位数为第6位数10，故CD错误； 故选：B. 20．（2024高一下·山东聊城·期末）采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.PMI高于时，反映经济总体较上月扩张；低于，则反映经济总体较上月收缩.根据我国2022年6月至2023年9月的PMI绘制出如下折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是（    ） A．2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于 B．2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第三季度各月的PMI的方差 C．2023年第三季度各月经济总体较上月扩张 D．2023年第一季度各月经济总体较上月扩张 【答案】D 【分析】根据中位数定义判断A，根据数据波动情况判断B，利用扩张和收缩情况判断CD. 【详解】对于选项A：根据图表可知，共有10个月的PMI小于， 所以各月的PMI的中位数小于50，故A错误； 对于选项B：2022年第四季度各月的PMI比2023年第一季度各月PMI的波动大， 即方差也大，故B错误； 对于选项C：因为2023年第七、八月PMI均小于， 所以反映经济总体反映经济总体较上月收缩，故C错误； 对于选项D：2023年第一季度各月PMI均大于，则各月经济总体较上月扩张，故D正确； 故选：D. 21．（2025高一下·山东青岛·期末）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论: 由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则， 又数据分布图右拖尾，则平均数大于中位数，即， 因此有. 故选：D. 22．（2025高一下·山东德州·期末）某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（   ） A．图中一组的频率为0.015 B．估计样本数据的众数 C．估计样本数据的分位数为88.75 D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7000人 【答案】C 【分析】根据直方图及众数、分位数的求法依次判断各项的正误. 【详解】由图知，可得，故一组的频率为，A错； 由，， 所以众数为，B错； 由上分位数位于，设为，则， 所以，C对； 由题设，80分以上的占比有，所以人，D错. 故选：C 23．（2025高一下·山东青岛·期末）某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由分层抽样的定义即可得解. 【详解】女生应抽取的人数是. 故选：C. 24．（2025高一下·山东聊城·期末）若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】确定出众数，再由已知数据中最大值与最小值的差是众数的2倍，从而得出的范围及结论. 【详解】由已知众数是2，由于，因此只有当即时均满足题意，共5个， 故选：D 25．（2025高一下·山东青岛·期末）抽样调查得到20个样本数据，记作，样本数据的平均数为9，方差5.现去掉一个最大值13和一个最小值5，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（   ） A．中位数一定不变 B．极差一定变小 C．方差一定变小 D．平均数一定不变 【答案】B 【分析】由题可设20个样本数据从小到大排列为，通过计算可逐项判断. 【详解】不妨设20个样本数据从小到大排列为， 去掉最小，最大，剩下共18个样本数据， 原样本中位数为，新样本中位数也为，故A正确； 新样本极差为，所以极差有可能与原来相等，故B错误； 因为原样本均值为，所以新样本均值，故D正确； 原样本方差， 新样本方差， 所以新样本方差变小，故C错误； 故选：B. 26．（2025高一下·山东滨州·期末）设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为（   ） A．4，14 B．4，16 C．5，14 D．5，16 【答案】C 【分析】由平均数公式可得，由方差公式可得，再利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】由样本数据的平均数为，方差为，得，， 则，， 因此数据，的平均数为 ， 方差为 . 故选：C 二、多选题 27．（2025高一下·山东济南·期末）某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（   ） A． B．众数是230 C．中位数是210 D．跳远距离在区间的人数为168 【答案】AB 【分析】对于A，由各个矩形面积之和为1列方程验算即可；对于B，只需看最高矩形的中间值即可；对于C，由中位数的定义即可验算；对于D，由对应的频率乘以总人数即可验算. 【详解】对于A，由图可知，，解得，故A正确； 对于B，右图可知，最高的矩形是区间所对应的矩形，所以众数是230，故B正确； 对于C，第一组的频率为，第二组的频率为， 第三组的频率为，第四组的频率为， 而， 从而中位数在区间内，设中位数为， 则，解得，故C错误； 对于D，跳远距离在区间的人数为，故D错误. 故选：AB. 28．（2024高一下·山东济宁·期末）将样本容量为100的样本数据分为4组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．样本数据分布在内的频率为0.32 B．样本数据分布在内的频数为40 C．样本数据分布在内的频数为40 D．估计总体数据大约有分布在内 【答案】ABC 【分析】根据频率、频数概念结合频率分布直方图数据即可求解判断. 【详解】对于A，由图可得，样本数据分布在内的频率为，故A正确； 对于B，由图可得，样本数据分布在内的频数为，故B正确； 对于C，由图可得，样本数据分布在内的频数为，故C正确； 对于D，由图可估计，总体数据分布在内的比例约为，故D错误. 故选：ABC. 29．（2024高一下·山东临沂·期末）某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（    ） A． B．平均数的估计值为30 C．众数的估计值为35 D．这100名学生中有25名学生每天体育活动时间不低于40分钟 【答案】ACD 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，再根据平均数、众数及频率分布直方图一一判断即可. 【详解】依题意可得，解得，故A正确； 平均数的估计值为，故B错误； 由频率分布直方图可知的频率最大，因此众数的估计值为，故C正确； 随机选取这100名学生中体育活动时间不低于40分钟的人数为，故D正确； 故选：ACD 30．（2025高一下·山东德州·期末）为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，某校举办一场篮球赛，其中每队上场5人，每人得分情况如下表（单位：分），则下列结论正确的是（   ） 甲队 乙队 5 10 23 12 8 8 8 15 7 6 A．运动员得分极差甲队大于乙队 B．运动员得分均值甲队小于乙队 C．甲队运动员得分的75%分位数为8 D．相较于甲队，乙队运动员实力更均衡 【答案】AD 【分析】根据极差、平均数定义可判断AB；先将数据由小到大排列，然后由百分位数定义计算可判断C；观察数据分散程度即可判断D. 【详解】对于A，甲队的极差为，乙队的极差为，，故A正确； 对于B，甲队得分平均数， 乙队得分平均数，，故B错误； 对于C，将甲队的数据由小到大排列：，因为，所以甲队运动员得分的75%分位数为12，故C错误； 对于D，由表中数据观察，乙队的得分更加集中，即相较于甲队，乙队运动员实力更均衡，故D正确. 故选：AD. 31．（2025高一下·山东临沂·期末）已知一组样本数据：5，7，4，3，5，7，7，6，4，2，则该组数据（    ） A．极差是7 B．众数不等于平均数 C．25%分位数是4 D．方差是3.5 【答案】BC 【分析】利用极差，众数，平均数，百分位数和方差的公式逐项求解即可. 【详解】对于A，将该组数据从小到大排列：， 故极差为：，故A错误； 对于B，该组数据众数为7， 平均数为： ， 故众数不等于平均数，故B正确； 对于C，，故25%分位数是该组数据的第3个数，即4， 故C正确； 对于D，该组数据的方差为： 故D错误. 故选：BC 32．（2024高一下·山东淄博·期末）下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是0.2 B．已知一组数据的平均数为4，则的值为5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】AD 【分析】利用概率可判断A；根据平均数求得m的值即可判断B；根据中位数的求法即可判断C；利用方差性质即可判断D. 【详解】对于A， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确； 对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，故B错误； 对于C，将8个数据从小到大排列为12,14,15,17,19,23,27,30，则中位数为，故C错误； 对于D，依题意，方差为，则， 所以数据的标准差为16，D正确； 故选：AD. 33．（2024高一下·山东烟台·期末）已知一组样本数据满足，则去掉后的新数据与原数据相比（    ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变 【答案】ABD 【分析】结合，分别利用平均数、中位数、方差、极差的计算公式逐项判断. 【详解】由得. 对于A： 的平均数， 又的平均数等于，故A正确； 对于B：的中位数为， 又的中位数为，故B正确； 对于C：的方差等于， 又的方差等于， 故C错误； 对于D：与的极差都等于，故D正确. 故选：ABD. 34．（2025高一下·山东青岛·期末）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【分析】对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断. 【详解】对于A：由，所以第75百分位数为，故A错误； 对于B：若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，所以，故B正确； 对于C：若，即，故C正确； 对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为， 所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确. 故选：BCD. 35．（2025高一下·山东淄博·期末）已知一组样本数据的方差，则（   ） A．这组样本数据的平均数为2 B．数据的方差为 C．若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6，则的方差为9 D．现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 【答案】ABC 【分析】根据方差意义可求平均数，即可对A判断；由方差的性质可对B判断；根据分层的方差再结合总体方差的求法即可对C判断；利用方差变形公式求出新的方差，即可对D判断. 【详解】A：由题知根据方差的求解公式，可得，故A正确； B：由数据的方差为，根据方差的性质可得数据的方差为，故B正确； C：由A知总体平均数为，若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6， 则由公式，可得，故C正确； D：原数据的平均数为，设新数据的平均数为，并设新数据的方差为， 则由方差公式可得 ，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 36．（2025高一下·山东济宁·期末）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 8823    6833    0877    6314    6621    4302    9714    1298 3204    0234    4936    8200    1323    4869    6938    7181 【答案】04 【分析】根据随机数表法进行抽样即可. 【详解】从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始，由左到右依次选取两个数字中，小于20的编号依次为08，14，02，14，12，04，02，00，13， 去除重复项，且属于总体的对应的数值为08，14，02，12，04，13， 则第5个个体的编号为04． 故答案为：04 37．（2025高一下·山东烟台·期末）已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为________，方差为________． 【答案】 【分析】根据平均数与方差公式直接计算. 【详解】由已知可得平均数为， 方差为， 故答案为：，. 38．（2024高一下·山东济宁·期末）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为____________分． 【答案】86.25 【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率及百分位数的求法估计分位数即可． 【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这50名学生成绩的分位数为86.25分． 故答案为：86.25 39．（2024高一下·山东烟台·期末）已知数据的众数为4，则其标准差为__________. 【答案】3 【分析】由众数的定义得到，再根据标准差的计算公式求解即可. 【详解】因为数据的众数为4， 所以， 所以平均数为：， 所以标准差为：， 故答案为：3. 40．（2024高一下·山东枣庄·期末）已知总体划分为2层，通过按比例分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，总的样本平均数为，则总的样本方差用上述已知量表示为________. 【答案】 【分析】结合按比例分配的分层抽样，根据方差的定义，写出总样本方差，又，，进而进行化简即可得证. 【详解】根据方差的定义，总样本方差为 ， 因为， 同理， 因此， . 故答案为：. 41．（2025高一下·山东青岛·期末）对于没有重复数据的样本，记这m个数的第k百分位数为.若在区间中的样本数据有且只有13个，则m的所有可能值的和为______. 【答案】 【分析】分是否为整数求出，根据在区间中的样本数据有且只有13个，取得的范围，然后验证可得. 【详解】不妨假设，用表示不超过的最大整数. 若为正整数，即为正整数，则是5的倍数，此时必是正整数， 则， 则在区间的数据为， 所以，解得； 若都不是正整数，则， 则在区间的数据为， 所以，则， 解得. 综上，的可能取值有. 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 故的可能取值有，. 故答案为： 四、解答题 42．（2025高一下·山东淄博·期末）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数； (2)将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数. 【答案】(1)x＝0.06，60 (2)A组3人；B组2人；C组1人 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求解x；求出身高在170cm及以上的频率，利用频数=样本容量×频率可得. （2）根据分层抽样的相关运算进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1， 解得x＝0.06， 身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60. （2）A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10， 由题意可知A组抽取人数为30×＝3，B组抽取人数为20×＝2，C组抽取人数为10×＝1， 故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3，2，1. 43．（2025高一下·山东青岛·期末）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，并整理得到如图所示的频率分布直方图： (1)求样本中停车时长在区间上的频率； (2)若某天该商场到访顾客的车辆数为820，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； (3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及33%的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议． 【答案】(1)0.03 (2)410 (3)免费停车时长为不超过162.5分钟 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，列式计算求参，再得出频率即可； （2）根据已知得出频率继而得出车辆数即可； （3）应用频率分布直方图列方程计算频率即可求解. 【详解】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1， 设的频率为，可列等式为 ． 所以， 所以样本中停车时长在区间上的频率为0.03． （2）根据频率分布直方图可知在区间上的频率为 ， 所以估计该天停车时长在区间上的车辆数为：． （3）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间． 则满足， 所以，确定免费停车时长为不超过162.5分钟． 44．（2025高一下·山东济南·期末）某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)平均数为210，方差为3.6 (2)（ⅰ）为无效数据，（ⅱ）1个，理由见解析 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可求解， （2）（ⅰ）（ⅱ）根据的计算公式，与的值比较即可求解 【详解】（1）平均数, 方差 （2）（ⅰ）由可得， 故是无效数据， （ⅱ）由表中数据可知：故此时可得， 此时 此时， 故，，，均为有效数据， 由（ⅰ）知是无效数据，因此无效数据只有1个 45．（2025高一下·山东枣庄·期末）某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； (2)求参加挑战赛的学生成绩的分位数； (3)已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 【答案】(1)，71.5 (2)88． (3)72；58.4 【分析】（1）利用面积和为1计算可得；由频率分布直方图中平均数的计算可得； （2）由频率分布直方图中百分位数的计算可得； （3）先计算成绩在，内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得. 【详解】（1）由，解得． 平均分的估计值为 ． （2）成绩小于90分的占比为，成绩小于80分的占比为， 所以分位数一定位于区间，而，所以分位数为88． （3）成绩在，内的人数分别为，． ． 设学生成绩在区间内的数据记为，，…，，学生成绩在内的数据记为，，…，，所以 46．（2025高一下·山东泰安·期末）为倡导文明健康生活方式，2024年12月，国家卫健委发布了《体重管理指导原则》，指导医疗卫生人员开展体重管理工作，当地卫生管理部门对某校全体高一男生进行了体重调查，将数据统计成如下频率分布表及频率分布直方图． 分组 频数 频率 30 0.05 ？ 120 0.2 ？ 0.3 150 60 0.1 合计 ？ (1)求，，，，的值； (2)估计高一男生体重的第75百分位数； (3)估计高一男生体重的平均数． 【答案】(1)，，，， (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布表及频率分布直方图上的信息，求出各未知数即可； （2）根据频率分布直方图计算第百分位数的方法，求出第75百分位数； （3）根据频率分布直方图计算平均数的方法，求出平均数. 【详解】（1），，， 又， ， . （2）因为前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 所以第75百分位数，则，解得. （3）由频率分布直方图得，某校高一男生体重的平均数为： . 47．（2024高一下·山东菏泽·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【答案】(1)小吃类28家，生鲜类12家 (2)（i）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii）个数为280 【分析】（1）由题意求出小吃类所占的百分比，进而求出应抽取小吃类、生鲜类商家的数目； （2）（i）由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和，求出，再由百分位数和平均数的计算公式求解即可；（ii）先求出平均日利润超过480元的商家所占的比列，即可得出答案. 【详解】（1）根据分层抽样知： 应抽取小吃类家，生鲜类家， 所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家. （2）（i）根据题意可得，解得， 设75百分位数为x，因为，第四组频率为0.2， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元. 平均数为， 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. 48．（2024高一下·山东淄博·期末）从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量（单位：度）都在内，进行适当分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)请结合频率分布直方图，估计本小区月用电量落在内的用户月用电量的平均数； (3)抽取的100户居民月用电量落在内的用户月用电量的方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188度，方差为5200，且小区月用电量落在内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，估计本小区月用电量在内的用户月用电量的标准差． 【答案】(1) (2)（度） (3) 【分析】（1）根据频率和为1求出x即可； （2）应用频率分布直方图计算平均数即可； （3）先分别求出平均数及方差再根据方差公式计算方差继而求出标准差. 【详解】（1）由频率分布直方图，可得， 所以． （2）月用电量落在内的用户数分别为： ， 所以估计本小区月用电量落在内的用户月用电量的平均数为： （度） （3）由（2）知月用电量落在的户数为60，用户的月用电量的平均数为140，则月用电量落在内的户数为， 设前60户的月用电量分别为，平均数，方差， 后40户的月用电量分别为，平均数为，方差为， 全部100户的月用电量分别为， 平均数，方差， 所以，所以． ，得， ，得， 所以 ， 所以． 所以月用电量在区间内的用户的月用电量的标准差为． 49．（2024高一下·山东滨州·期末）出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示． (1)由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数； (2)已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； (3)已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差． 【答案】(1)72.5 (2)20人 (3)29.25 【分析】（1）在频率分布直方图，根据中位数左边和右边的直方图面积应该相等，即可求解； （2）先求分数在的频率，从而可求样本中分数在的人数，进而可知样本中分数在的人数，从而可求解； （3）根据分层总体的方差公式即可求解. 【详解】（1）在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等， 由于，．因此中位数落在之间． 设中位数为x，则有，解得， 所以样本中学生分数的中位数约为72.5． （2）由频率分布直方图知， 分数在的频率为， 样本中分数在的人数为（人）， 样本中分数在的人数为95人， 所以估计总体中分数在的人数为（人）， 总体中分数小于40的人数为人； （3）总样本的均值为， 所以总样本的方差为． 50．（2024高一下·山东烟台·期末）每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差. 【答案】(1) (2) (3)59，60 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到的值； （2）再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得样本数据的平均值； （3）由分层抽样的方差公式求解. 【详解】（1）由题意知，， 解得； （2）根据频率分布直方图， 所以； （3）由频率分布直方图知， 落在､的样本数据的频数分别为60，40， 所以， 所以. 51．（2024高一下·山东济南·期末）某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值并估计参赛学生成绩的分位数； (2)从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率. 【答案】(1)，参赛学生成绩的分位数为 (2) 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据百分位数的定义求百分位数即可； （2）先利用分层抽样求出各层的人数，再利用列举法结合古典概型即可得解. 【详解】（1）由题意，，解得， 因为， 所以参赛学生成绩的分位数在区间上，设为， 则，解得， 所以参赛学生成绩的分位数为分； （2）由题意，区间有人，设为， 区间有人，设为， 从这6人中任选2人，有共种， 其中都在有种， 所以2人分数都在的概率为. 52．（2024高一下·山东临沂·期末）某学校高一年级在对组建机器人建模社团调查中，采取样本量比例分配的分层随机抽样．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人、女生20人进行兴趣爱好问卷调查（满分100分），其中男生问卷所得平均分和方差分别为和，女生问卷所得平均分和方差分别为和． (1)求总样本方差； (2)从样本中择优选出小明、小芳和荣荣参加机器人建模大赛，大赛分为初赛和复赛两个环节，初赛合格后才能参加复赛，复赛合格后才能获奖，是否通过初赛和是否通过复赛相互独立．小明通过初赛和复赛的概率分别为，，小芳通过初赛和复赛的概率分别为，，荣荣通过初赛和复赛的概率与小明都相同，且三人比赛互不影响．求这三人中恰有两人获奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均数、方差公式计算可得； （2）设事件“小明获奖”，“小芳获奖”，“荣荣获奖”，首先求出、、，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）首先证明： 若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，， 记总的样本平均数为，样本方差为，则； 因为，，， 总体方差， 又 ， 因为，， 同理， 故； 所以总体的平均数为， 所以总样本方差； （2）设事件“小明获奖”，“小芳获奖”，“荣荣获奖”， 所以，， 设这三人中恰有两人获奖为事件， 则 ， 所以这三人中恰有两人获奖的概率为. 53．（2025高一下·山东烟台·期末）为了解新能源汽车充电情况，某数学兴趣小组在社区内随机抽测了一定数量的新能源汽车的充电时长（单位：分钟），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)试估计该社区内新能源汽车充电时长的平均值； (3)现用比例分配的分层随机抽样方法从充电时长在上的样本中抽取n个样本数据，若在上抽取了6个样本数据，求n的值． 【答案】(1) (2)65 (3)34 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积之和为1，建立方程求得； （2）根据频率分布直方图求平均数公式求解； （3）利用分层抽样确定，，上的样本数据的比例，进而求得答案. 【详解】（1）由题意知，， 解得. （2）， 所以该社区内新能源汽车充电时长的平均值为65. （3）充电时长在，，上的样本数据的比例为 ， 因为在上抽取了6个样本数据， 故在，上应分别抽取12，16个样本数据， 所以. 54．（2025高一下·山东聊城·期末）某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； (2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 【答案】(1)，中位数为99分， (2)平均数为124分，方差为36 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再确定中位数所在区间，列式求解. （2）求出，利用分层抽样平均数、方差公式列式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得； 由，， 得这400名学生数学成绩的中位数，由，得， 所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分. （2）依题意，，解得， 设这6名学生的数学成绩分别为，，，，，136， 由这6名学生的数学成绩的平均数为126分，得， 解得，因此； 设，，，，的方差为，由这6名学生的数学成绩的方差为50， 得，解得， 所以所求学生数学成绩的平均数为124分，方差为36. 55．（2025高一下·山东济宁·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)； (2)84； (3)总平均数为65；总方差为37. 【分析】（1）由频率直方图小矩形的面积和为1列方程求参数； （2）由百分位数的定义及直方图求上四分位数； （3）应用分层抽样的均值和方差公式求总平均数和总方差. 【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则； （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84； （3）成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 . 地 城 考点02 概率 一、单选题 1．（2025高一下·山东青岛·期末）若，则为整数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用列举法求出样本空间，列举出满足条件的样本点，然后可得概率. 【详解】从中任取两个数的样本空间为： ，共25个. 使为整数的样本点有，共8个. 所以为整数的概率为. 故选：C 2．（2025高一下·山东青岛·期末）已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（   ） A．若，则C与B相互对立 B．若，则 C．若事件A与B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则 【答案】C 【分析】根据对立事件的概念可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据并事件的概率和独立事件概率关系可判断CD. 【详解】对于A，因为不一定互斥，所以由得不到C与B对立，错误； 对于B，若，则，错误； 对于C，若事件A与B相互独立，则， 则，正确； 对于D，若事件A与B相互独立，则相互独立， 则，错误. 故选：C 3．（2025高一下·山东临沂·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于5”，“至少有一颗骰子的点数为2”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列出样本空间，利用古典概率求解即可. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有： ，，，，，，，， 共13个基本事件， 所以. 故选：D 4．（2025高一下·山东烟台·期末）有个人在一座层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则恰有两个人在同一层离开电梯的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式直接计算. 【详解】由已知个人离开电梯的情况数共有种情况， 其中满足恰有两个人在同一层离开电梯的情况数为种情况， 由古典概型的概率公式可知， 故选：C. 5．（2025高一下·山东烟台·期末）甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为．若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件概率的乘法公式及互斥事件概率加法公式分别计算. 【详解】由题意得， 故选：A. 6．（2025高一下·山东济南·期末）抛掷枚质地均匀的硬币，恰有枚正面朝上的概率为（其中），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概型的概率计算公式分别计算的值，从而得到结果. 【详解】由题意，当时，；当时，；当时，. 所以. 故选：D. 7．（2025高一下·山东德州·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是5的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用列表法求古典概型的概率即可得. 【详解】由题设，两次向上的数字如下表（列表示第一次，行表示第二次）， 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 所以抛掷两次的基本事件有36种，其中向上的数字之和是5的倍数的有7种， 分别为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,5)，(6,4)，(4,6)， 所以向上的数字之和是5的倍数的概率为. 故选：B 8．（2024高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 【答案】C 【分析】由概率得出这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，结合题设条件，估计第二个问题有人回答了“是”，从而得出所占比例. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 9．（2024高一下·山东枣庄·期末）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，得出甲、乙两个元件的故障情况，即可得出结果. 【详解】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障， 即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生. 故选：D. 10．（2024高一下·山东济南·期末）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．0.035 B．0.07 C．0.105 D．0.14 【答案】B 【分析】根据古典概型的知识得到回答问题①②的人数均为，再求出点数第一次比第二次大的概率，即可推出第二个问题中回答“是”的人数，进而求出结果． 【详解】由题意，两颗骰子点数和为奇数与偶数的概率相等，都为， 则回答问题①②的人数均为， 如果回答问题①，则掷两次骰子所有可能情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种可能， 所得点数第一次比第二次大的有，，，，，，，，，共9种可能， 所以在回答问题①的前提下，回答是的概率为， 所以回答问题①时，大约有人回答“是”， 所以回答问题②时，大约有人回答“是”， 故该地区中学生吸烟人数的比例约为． 故选：B． 11．（2024高一下·山东济南·期末）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 【答案】B 【分析】利用互斥事件不可能同时发生，来检验各选项即可. 【详解】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球， 共有三种结果：两白球，一白一黄，两黄球， 这三个事件是互斥事件.所以B是正确的； 由于至少一个白球，包含事件有两白球和一白一黄， 而至少一个黄球包含两黄球和一白一黄， 当取到一白一黄时，此时这两个事件同时发生，故A错误； 由于至多一个白球，包含事件有一白一黄和两黄球， 而至多一个黄球包含一黄一白和两白球， 所以当取到一白一黄时，此时两个事件同时发生，故C错误； 由于至少一个黄球，包含事件一白一黄和两黄球， 而都是黄球显然也是两黄球，故D错误； 故选：B. 12．（2024高一下·山东烟台·期末）先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子，观察并记录骰子朝上面的点数.若甲表示事件“第一次的点数大于4”，乙表示事件“两次点数之和为7”，丙表示事件“至少有一次的点数为4”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．乙与丙独立 【答案】C 【分析】根据事件互斥、古典概型和事件独立性判断各个选项； 【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子的样本点共有个， 甲表示事件“第一次的点数大于4”的样本点有，个， 乙表示事件“两次点数之和为7”的样本点有，6个， 丙表示事件“至少有一次的点数为4”的样本点有，11个； 对于A，事件甲与事件乙都包含，所以甲乙不互斥，A错误； 对于B，事件乙与事件丙都包含，所以乙丙不互斥，B错误； 对于C，事件甲的概率为，事件乙的概率为，事件甲与事件乙同时发生的概率为， 因为，所以甲与乙独立，C正确； 对于D，事件丙的概率，事件丙与事件乙同时发生的概率为， 因为，所以乙与丙不独立，D错误； 故选：C. 13．（2024高一下·山东烟台·期末）已知事件A与事件互为对立事件，且，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率之和为1求解即可. 【详解】因为事件A与事件互为对立事件， 所以， 故选：C. 14．（2024高一下·山东滨州·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据对立事件结合独立事件概率乘法公式求.对于AB：代入，分析判断即可；对于CD：代入，结合事件的运算分析判断. 【详解】由题意可知：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面、反面向上的概率均为， 且事件“n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则， 则，， 且事件“n次中仅有一次正面朝上”，则. 对于选项AB：若，则，，， 可得，，故AB错误； 对于选项CD：若，则，，， 可得，， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于事件A，利用对立事件可求其概率；对于事件B：利用独立事件概率方差公式可求其概率. 15．（2024高一下·山东滨州·期末）柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只．设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设三双不同的鞋分别为，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，利用列举法可得从中任取两只的情况和取出的鞋都是一只脚的情况，再根据古典概型概率公式计算可得答案. 【详解】设三双不同的鞋分别为，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋， 从中任取两只有，，， ，共15种， 其中取出的鞋都是一只脚的有，，共6种， 所以取出的鞋都是一只脚的概率是. 故选：B. 16．（2024高一下·山东菏泽·期末）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两次抽奖奖金之和为200元分为第一次与第二次都中二等奖，第一次中一等奖，第二次中三等奖，第一次中三等奖，第二次中一等奖三种情况，然后利用古典概型求概率的公式计算. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故选：B. 17．（2024高一下·山东济宁·期末）12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（    ） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 【答案】D 【分析】根据随机事件、不可能事件与必然事件的概念，对选项逐一分析判断是否为必然事件即可. 【详解】因为所求事件的概率是1，所以该事件为必然事件， 对于A，因为可能发生任取出来的3个产品含有次品的情况，所以事件“3个都是正品”是随机事件，故A错误； 对于B，因为可能发生任取出来的3个产品都是正品的情况，所以事件“至少有一个是次品”是随机事件，故B错误； 对于C，因为次品的个数只有2个，所以事件“3个都是次品”是不可能事件，故C错误； 对于D，因为次品的个数只有2个，所以任取出来的3个产品必然至少有一个是正品，即事件“至少有一个是正品”是必然事件，故D正确. 故选：D. 18．（2025高一下·山东滨州·期末）缙云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926   446   072   021   392   077   663   817   325   615 405   858   776    631   700   259   305   311   589   258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（    ） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【分析】根据给定数据，求出三天中至少有两天下雨的随机数组数即可计算作答. 【详解】依题意，20组随机数中，表示三天中至少有两天下雨的随机数有： 446，072，021，392，325，405，631，700，305，311，共10组， 所以三天中至少有两天下雨的概率约为. 故选：B 19．（2024高一下·山东青岛·期末）据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分用(1根+4根)和(2根+3根)两种情况组成不同的两个数，求出总的组合数，并求出各个组合中两数的和，根据古典概型概率计算方法计算即可． 【详解】用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法： 第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4、1与8，其和分别为5、9，共2种； 第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3、2与7、6与3、6与7，其和分别为5、9、9、13，共4种； 故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2+4=6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为． 故选：A． 二、多选题 20．（2025高一下·山东泰安·期末）下列选项正确的是（    ） A．从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”互斥 B．用简单随机抽样方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本，个体被抽到的概率是0.5 C．数据，，，，的平均数为，方差，则数据，，，的标准差为 D．若事件与事件是相互独立事件，则 【答案】AB 【分析】A.根据是否能够同时发生可判断是否互斥 B.简单随机抽样概率计算可得答案 C.根据条件计算新的平均数，再计算新的方差，可得标准差 D.独立事件的积事件为概率之积 【详解】A. 事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”不能同时发生，所以事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”互斥，A正确 B. 个体被抽到的概率是， B正确 C. 新数据的平均数为：， 新数据的方差为：， 新数据的标准差为：，C错误 D. 若事件A与事件是相互独立事件，则， 因为不一定为0，则不一定成立，D错误 故选： AB 21．（2025高一下·山东滨州·期末）已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若发生时一定发生，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，结合概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】对于A，与互斥，则，A正确； 对于B，与相互独立，则，，B正确； 对于C，与相互独立，，C错误； 对于D，发生时一定发生，即，，D正确. 故选：ABD 22．（2025高一下·山东枣庄·期末）记事件M中的样本点个数为．对于一个古典概型试验的样本空间Ω和事件E，F，已知，，，，，，则（ ） A． B．与互不相容 C．与相互独立 D． 【答案】ACD 【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件，相互独立事件概率计算公式即可求解 【详解】A：由题可知总样本空间数位，事件，则，故A正确； B：由，则得，故B错误； C：由题可得，，满足，则与相互独立，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD. 23．（2025高一下·山东烟台·期末）袋子中有个大小、质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中任取个球，设事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球至多有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”，“取出的个球全是红球”，则（   ） A．事件与互斥 B．事件与互为对立事件 C．事件与相互独立 D．事件与相互独立 【答案】AC 【分析】根据互斥事件，对立事件及相互独立事件的概念分别判断. 【详解】A选项：事件“取出的个球既有红球又有黄球”，“取出的个球全是红球”不能同时发生，两事件互斥，A选项正确； B选项：事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球全是红球”，能同时发生，所以两事件不是对立事件，B选项错误； C选项：事件“取出的个球至多有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”， 则，，即两事件相互独立，C选项正确； D选项：事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”， ，，即两事件不是相互独立，D选项错误； 故选：AC. 24．（2025高一下·山东济南·期末）已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别计算出，再结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】由题意， 所以，，. 故选：BCD. 25．（2024高一下·山东聊城·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（    ） A． B．事件A与事件C互斥 C．事件A与C相互独立 D． 【答案】ACD 【分析】对于A：根据古典概型分析求解；对于BCD：利用列表法结合古典概型求，进而结合互斥事件、独立事件以及事件的运算分析求解. 【详解】对于选项A：因为第二次的点数有，共6个可能值， 事件B包含的点数有，共3个可能值，所以，故A正确； 因为第一次的点数有，共6个可能值，可得， 对于事件C，列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 2 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 3 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 4 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 5 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 6 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 可知共有个基本事件，且，则， 又因为事件，即，则. 对于选项B：因为，所以事件A与事件C不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，可知事件A与C相互独立，故C正确； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：ACD. 26．（2024高一下·山东临沂·期末）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用列举法写出随机取出个小球的基本事件，根据题设描述列举对应事件，由古典概型的概率求法求概率. 【详解】记个白球为，个黑球为，随机取出个小球的事件如下， ， 事件对应的基本事件有，所以，故A正确； 事件对应的基本事件有，所以， 事件对应的基本事件有 ，所以，又，故D错误； 其中对应的基本事件有，所以，故B正确； 对应的基本事件有，所以，故C 错误. 故选：AB 27．（2024高一下·山东枣庄·期末）一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个绿球，1个黄球.若从中任取2个小球，则下列判断错误的是（    ） A．恰有一个红球的概率为 B．两个球都是红球的概率为 C．“有黄球”和“两个都是红球”互斥 D．“至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”互为对立 【答案】ABD 【分析】根据古典概型，分别计算样本空间和事件空间，可得相应概率，判断A、B，再根据互斥事件和对立事件定义判断C、D，可得答案. 【详解】从6个球中任取2个球共有种取法， 设三个红球记为1，2，3，两个绿球记为，，一个黄球记为， 记事件A为恰有一个红球， ， 即恰有一个红球共18种取法，所以，故A错误； 记事件B为两个球都是红球，则， 所以，故B错误； 记事件为有黄球，表示2个球中至少有1个是黄球， 而两个球都是红球，不可能包含黄球，即C和B不可能同时发生，是互斥事件，故C正确； 记事件为至少有一个绿球，则D包含恰有1个绿球， 记事件为至多一个绿球， 则E也包含恰有1个绿球， 所以，所以“至少一个绿球”和“至多一个绿球”不是对立事件，故D错误. 故选：ABD． 28．（2024高一下·山东济宁·期末）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（    ） A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C相互独立 D． 【答案】BC 【分析】对于A，甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判断；对于B，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于C，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于D，由前面可知，即可判断是否相等. 【详解】由题意，得，，， 对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误； 对于B，由题意知，又，故事件A与事件B相互独立，故B正确； 对于C，，又，故事件A与事件C相互独立，故C正确； 对于D，由上知，，故D错误． 故选：BC． 29．（2024高一下·山东菏泽·期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 【答案】BCD 【分析】根据相互独立事件的概念进行判定. 【详解】不放回依次取出两个，基本事件有， 共种， 事件“”； 事件“”； 事件“”； 事件“”. 事件，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以A与D不相互独立； ，所以A与B相互独立； ，所以B与D相互独立； ，所以A与C相互独立； 故选：BCD 三、填空题 30．（2025高一下·山东枣庄·期末）某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数，表示“投中”，出现表示“未投中”．以每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783  062  228  049  276  102  734  933  750  076  140  065  061  215  693  599  494  411  987  789．据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为________． 【答案】0.65/ 【分析】结合题意，由古典概率可得. 【详解】由题意可得062  228  049  102  734  933  750  140  065  061  215  494  411   符合题意， 所以由古典概率可得. 故答案为：0.65. 31．（2025高一下·山东烟台·期末）从，，，，中随机选个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为________． 【答案】/ 【分析】利用列举法表示古典概型的概率. 【详解】从，，，，中随机选个不同的数， 有，，，，，，，，，，共种情况； 其中满足和为偶数的有，，，，共种情况， 即概率为， 故答案为：. 32．（2025高一下·山东德州·期末）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母共4个人物手办，小明随机购买2个盲盒（2个盲盒内人物一定不同），则恰有哪吒及其父母中的一位的概率为________. 【答案】 【分析】利用列举法列出样本空间，根据古典概率的公式计算. 【详解】记哪吒、敖丙、哪吒父亲，母亲分别为， 小明随机购买2个盲盒，包含的情况如下：，共6种情况， 其中恰有哪吒及其父母中的一位的情况有：，包含2种， 所以恰有哪吒及其父母中的一位的概率. 故答案为：. 33．（2024高一下·山东聊城·期末）甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为________，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为________. 【答案】 【分析】甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2分，即甲得0分乙得2分、甲得2分乙得0分两个互斥事件的和事件，利用相互独立事件及互斥事件和事件的概率加法公式建方程可得 ；事件“‘梦队’在比赛中得分不低于6分”的概率，也转化为互斥事件的和事件，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件“两人在自主传球环节得分之和为2分”，“甲在自主传球环节得分”，“乙在自主传球环节得分”， 由题意可知，与相互独立，且，事件与互斥， 故，解得； 记事件“‘梦队’在比赛中得分不低于6分”， “甲在自主投篮环节得分”，“乙在自主投篮环节得分”， 由题意可知相互独立， 则， 且事件两两互斥， 则. 故答案为：；. 34．（2024高一下·山东烟台·期末）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，且平面，点为的中点，点为棱上一动点，且.若直线与底面所成角的正切值为，则的值为__________.在个点中任取4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为__________. 【答案】 / / 【分析】（1）根据题意过点作，交于点，连接，即，根据表示，，再表示出，进而得到. （2）找到四点共面不能构成三棱锥的总数，利用对立事件求出概率. 【详解】 如图，过点作，交于点，连接， 因为平面， 所以平面， 因为直线与底面所成角的正切值为， 所以， 又，，， 所以，， 又在中， 所以， 所以，即， 所以； 从个点中任取4个，共有个结果， 其中4个点共面的取法有6个， 所以这4个点能构成三棱锥的概率为， 故答案为：；.. 35．（2024高一下·山东滨州·期末）若事件与互斥，且，，则________． 【答案】/0.7 【分析】根据互斥事件的概率公式以及对立事件的概率即可求解. 【详解】由于事件与互斥，且，所以, 故,所以， 故答案为： 36．（2024高一下·山东济宁·期末）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________. 9 7 4 5 【答案】 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案为：. 37．（2024高一下·山东青岛·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________. 【答案】 【分析】根据题意求得其对立事件，然后根据其与对立事件之和为，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 又因为为相互独立事件， 所以 所以中至少有一件发生的概率为 故答案为: 四、解答题 38．（2025高一下·山东青岛·期末）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差=生产的产品质量-标准质量，单位：mg）的样本数据统计如下. (1)求的值： (2)公可从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品.其中，分别为样本平均数和样本标准差. （i）根据计算可得，若产品的质量差为38mg，试判断该产品是否属于一等品，并说明理由； （ⅱ）若公司包装时要求，4件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中随机摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率. 【答案】(1) (2)（i）该产品属于一等品，理由见详解；（ⅱ） 【分析】（1）利用频率分布直方图中的面积之和等于1进行求解； （2）（i）根据频率分布直方图求出平均数，即可判断；（ⅱ）利用古典概型的概率公式进行求解即可. 【详解】（1）由图可知，，解得； （2）（i）该产品属于一等品，理由如下： 由图可得，， 所以一等品的质量差为， 因为，所以该产品属于一等品； （ⅱ）设4件一等品为，2件二等品为1,2， 则质检员从箱子中随机摸出2件产品的样本空间为 共15个样本点， 设“摸出的2件产品中至少有1件一等品”， 则共14个样本点， 所以. 39．（2025高一下·山东临沂·期末）某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取100名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有15人. (1)求m，n的值； (2)学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少? (3)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在内的概率. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用频率和频数的关系以及频率之和为1求解即可； （2）先确定受表彰的学生的最低分在哪一组，然后利用受表彰学生的频率之和为34%列方程求解即可； （3）利用古典概率的公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 由图可得：，解得. （2）设受表彰的学生的最低分是， 频率为 频率为 故，且，解得， 故受表彰的学生的最低分是. （3））由分数在和）内的频率之比为， 故从成绩在和内的学生中共抽取6人， 则在内抽取2人，记为 在内抽取4人，记为 再从这6人中选取2人进行个案分析，抽取的样本空间为： ，共15个样本点， 这2人中恰有1人成绩在内的有： ，共8个样本点， 故这2人中恰有1人成绩在内的概率为. 40．（2025高一下·山东临沂·期末）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响. (1)求； (2)求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和对立事件的性质求解即可； （2）利用概率的性质求解即可. 【详解】（1）设事件为“甲能猜对灯谜”， 事件为“乙能猜对灯谜”， 由题意得，与相互独立，且,， 故甲、乙都猜不对的概率：, 故. （2）甲、乙恰有一人猜对灯谜的事件为, 且， 故甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率为. 41．（2025高一下·山东泰安·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【详解】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 42．（2025高一下·山东滨州·期末）在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过．已知李明答对每道题的概率都是0.6，张志答对每道题的概率都是0.5，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的． (1)求李明第二次答题通过面试的概率； (2)求张志通过面试的概率； (3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率． 【答案】(1)0.24； (2)0.75； (3)0.96. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算得解. （2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解. （3）利用对立事件及相互独立事件的概率公式求解. 【详解】（1）令“李明第次答对题目”，，则， 李明第二次答题通过面试的事件为，而相互独立， 所以李明第二次答题通过面试的概率. （2）令“张志第次答对题目”，，则， 张志通过面试的事件， 所以张志通过面试的概率. （3）李明通过面试的事件，则， 李明和张志至少有一人通过面试的事件，则. 43．（2025高一下·山东滨州·期末）某学校随机抽取100名学生参加数学测试，记录他们的测试成绩，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中m的值； (2)估计这次测试成绩的第70百分位数； (3)用按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩位于和内的学生中抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件“抽取的两人的测试成绩分别位于和内”，求事件A的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1，得到关于的方程. （2）根据大于第70百分位数的频率为0.3求解即可. （3）首先确定分层抽样的各层人数，分别计算其频率，得到其比值，确定各层人数，然后根据古典概型的特点求出样本空间和满足题意的情况数，最终得到概率. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，得， 所以. （2）测试成绩在第70百分位数右侧的频率为0.3，测试成绩位于的频率， 测试成绩位于的频率， 因此第70百分位数，则，解得， 所以第70百分位数为 （3）测试成绩位于的频率，位于的频率， 由，得抽取的6人中成绩在内的有4人，分别记为， 成绩在内的有2人，分别记为， 从6人中随机抽取2人的样本空间： ，共有15个样本点， 其中，共8个样本点， 所以概率为. 44．（2025高一下·山东烟台·期末）某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型．个人赛中，每位选手回答随机给出的个题目，若答对不少于个题目，则其个人赛挑战成功．团队赛中，名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目．每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战成功，则该团队挑战成功． (1)某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为，后两个题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率； (2)假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为，，若对任意，均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式直接计算； （2）根据独立事件概率的乘法公式分别计算概率，结合二次函数性质可得解. 【详解】（1）设“选手甲答对第个题”（，，，），“该选手个人赛挑战成功”， 由题意，，且，，，相互独立． ， ， ， ， 所以 ； （2）设“该团队回答甲题的小组的第个选手答对甲题”，“该团队回答乙题的小组的第个选手答对乙题”，则，，，． 设该团队选择方式参赛时挑战成功的概率为， 则 ， ， 于是， 令， 则对，恒有， 因为抛物线的开口向上，且对称轴， 所以在上单调递减， 若，只需， 解得，或， 又，所以，即的取值范围为． 45．（2025高一下·山东烟台·期末）某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动．已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示： 参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲 参加环境保护知识宣讲 人 人 未参加环境保护知识宣讲 人 人 (1)从该班随机选取名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率； (2)已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的名学生中，有名男生和名女生．现从这名学生中随机选取人作为主讲人，求选取的人中恰有名男生和名女生的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式直接计算； （2）利用列举法计算古典概型概率. 【详解】（1）由题意知，至少参加一项活动的学生人数为：， 班级学生总数为． 因此，该学生至少参加一项活动的概率； （2）设名男生分别为，，，；名女生分别为，， 记这名学生中随机选取的人为和，则可用表示样本点， 样本空间，且， 记事件“选取的人中恰有名男生和名女生”，则 ，， 因为中每一个样本点的可能性都相等，所以． 46．（2025高一下·山东济南·期末）袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． (1)求至少一个是白球的概率； (2)设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)A与B是相互独立的，理由见解析 【分析】（1）由对立事件概率公式、独立乘法公式即可求解； （2）由古典概型概率计算公式和独立事件的定义求解即可. 【详解】（1）由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立， 故至少一个是白球的概率为； （2）因为事件A为“第一次是白球”， 事件B为“两个小球的编号之和为6”，即为 所以事件为“第一次编号为1且第二次编号为5”或者“第一次编号为2且第二次编号为4”， 所以， 注意到， 所以， 而， 从而， 所以A与B是相互独立的. 47．（2025高一下·山东德州·期末）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估算高一学生的物理平均分数； (2)若根据这次成绩，学校建议70%的学生选报物理，30%的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分？（小数点后保留一位） (3)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试.考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两个模块成绩均为，则直接参加；若一个模块成绩为，另一个模块成绩不低于，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得，，，，的概率分别为；乙在每个模块考试中取得，，，，的概率分别为，甲、乙在实验操作中通过的概率分别为.求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再列式估计平均分. （2）利用第分位数的意义，结合频率分布直方图求解. （3）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）依题意，，所以； 物理平均分数. （2）由（1）知，， ， 因此第分位数位于，且， 所以他的物理成绩应不低于分较为合适. （3）依题意，甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 所以甲、乙能同时参加物理竞赛的概率. 48．（2024高一下·山东青岛·期末）树人中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，，，…，，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，，，…，，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)如果数学成绩分数在内，记为C等，成绩等级为C的有4名学生；数学成绩分数在60分以下，记为D等，成绩等级为D的有2名学生．现从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率． 附：，，． 【答案】(1)证明见解析； (2)平均数为96分，标准差为18分； (3)． 【分析】（1）根据已知代入方差公式，通过整理即可得证； （2）利用分层平均数公式、分层方差公式计算即可； （3）使用列举法，利用古典概型概率公式可得. 【详解】（1） ∵ 同理． 所以． （2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为， 则， 所以． 又，所以． 即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分． （3）由题意，将成绩等级为C的4名学生记为，，，， 成绩等级为D的2名学生记为，， 随机抽取2名学生的基本事件有，，，，， ，，，，，，，， ，，共15个基本事件． 其中“至少有1名学生成绩等级为D”包含，，，， ，，，，，共9个基本事件． ∴抽取的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率为． 49．（2024高一下·山东聊城·期末）体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如下图所示. (1)求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数； (2)从所抽查的每天体育锻炼时间在内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率. 【答案】(1)分 (2) 【分析】（1）根据频率和为1，求得，结合加权平均数公式求平均数； （2）先根据分层抽样求各层人数，再根据古典概型利用列举法求概率. 【详解】（1）由题意可知：每组频率依次为， 则，解得； 可得， 估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为分. （2）由题意可知：在内抽取人，记为； 在内抽取人，记为； 从这6人中任选2人，则样本空间为： ，则， 记“所选2人不在同一组”为事件A， 则，可知， 所以. 50．（2024高一下·山东临沂·期末）某学校高一年级在对组建机器人建模社团调查中，采取样本量比例分配的分层随机抽样．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人、女生20人进行兴趣爱好问卷调查（满分100分），其中男生问卷所得平均分和方差分别为和，女生问卷所得平均分和方差分别为和． (1)求总样本方差； (2)从样本中择优选出小明、小芳和荣荣参加机器人建模大赛，大赛分为初赛和复赛两个环节，初赛合格后才能参加复赛，复赛合格后才能获奖，是否通过初赛和是否通过复赛相互独立．小明通过初赛和复赛的概率分别为，，小芳通过初赛和复赛的概率分别为，，荣荣通过初赛和复赛的概率与小明都相同，且三人比赛互不影响．求这三人中恰有两人获奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均数、方差公式计算可得； （2）设事件“小明获奖”，“小芳获奖”，“荣荣获奖”，首先求出、、，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）首先证明： 若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，， 记总的样本平均数为，样本方差为，则； 因为，，， 总体方差， 又 ， 因为，， 同理， 故； 所以总体的平均数为， 所以总样本方差； （2）设事件“小明获奖”，“小芳获奖”，“荣荣获奖”， 所以，， 设这三人中恰有两人获奖为事件， 则 ， 所以这三人中恰有两人获奖的概率为. 51．（2024高一下·山东枣庄·期末）已知同一个样本空间下的两个事件A，B满足，，在以下情况下求： (1)A与B互斥； (2)A与B独立； (3)A包含于B. 【答案】(1)0.5 (2) (3) 【分析】（1）由，结合互斥事件的概率公式，求解即可； （2）由独立事件的乘法公式求解即可； （3）由事件的关系得出，进而得出. 【详解】（1）由，得， 即，所以， 若A与B互斥，即，于是有，. （2）若A与B独立，则，， 解得 （3）因为A包含于B，所以， ，. 52．（2024高一下·山东济南·期末）某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值并估计参赛学生成绩的分位数； (2)从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率. 【答案】(1)，参赛学生成绩的分位数为 (2) 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据百分位数的定义求百分位数即可； （2）先利用分层抽样求出各层的人数，再利用列举法结合古典概型即可得解. 【详解】（1）由题意，，解得， 因为， 所以参赛学生成绩的分位数在区间上，设为， 则，解得， 所以参赛学生成绩的分位数为分； （2）由题意，区间有人，设为， 区间有人，设为， 从这6人中任选2人，有共种， 其中都在有种， 所以2人分数都在的概率为. 53．（2024高一下·山东烟台·期末）甲､乙两支代表队进行趣味篮球对抗赛；规则如下：对抗赛分为若干局；每局比赛只有胜负两种结果，胜者得1分，负者得0分；积分首先达到3分的代表队赢得对抗赛，对抗赛结束.假定甲代表队每局比赛获胜的概率为；且各局比赛结果互不影响. (1)求经过3局比赛，对抗赛结束的概率； (2)求甲代表队赢得对抗赛的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由互斥加法、独立乘法以及对立事件的概率公式计算即可； （2）首先将事件拆分成若干个互斥事件的并：即3局或4局或5局结束比赛，然后求出每个事件的概率，最后利用互斥加法公式即可求解. 【详解】（1）设事件“甲第局获胜”，事件“经过3局比赛，对抗赛结束”， 由题意知，前3局比赛中，甲全胜或者全负，即， ， ， 于是， 经过3局比赛，对抗赛结束的概率为. （2）设事件“甲赢得对抗赛”，“经过局比赛，甲赢得对抗赛”，. 则. 若，则甲､乙的积分之比为； 若，则甲､乙的积分之比为，即在前三局比赛中，甲胜两局负一局，第四局甲获胜，所以 ； 若，则甲､乙的积分之比为，即在前四局比赛中，甲､乙两人各胜两局，第五局甲获胜，所以 故. 54．（2024高一下·山东烟台·期末）抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为， (1)求“为偶数”的概率； (2)求“”的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用列举法求出基本事件总数，两次数字之积为偶数包含的基本事件个数为12，利用古典概型求概率． （2）利用列举法求出基本事件总数，满足包含的基本事件个数为10，利用古典概型求概率． 【详解】（1）由题意知，样本空间，，共16个样本点. 设事件“为偶数”，则 ，共12个样本点. 所以，即“为偶数”的概率为. （2）由（1）知，样本空间包含16个样本点. 设事件“”，则，，共10个样本点. 所以，即“”的概率为. 55．（2024高一下·山东滨州·期末）唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆．    (1)当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． (2)超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． (3)若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意，当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，求出内切球体积即可； （2）运用古典概型，结合互斥事件和独立乘法公式求解即可； （3）过点P做交AB（或其延长线）于点M， 过点P做交AD（或其延长线）于点N． 则，， 为二面角的平面角．运用余弦定理，求解证明即可. 【详解】（1）设被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意， 当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大， 此时设四棱锥的高为h，则． 所以， 正八面体每个面的面积是． 由得：．解得．所以． （2）在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点， 该试验的样本空间 共20个样本点，所以． 每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型． 设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片 ， 所以，从而． 设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片， 任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形， 所以，从而． 记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件M， ，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义， 得 因此甲乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为． （3）证明：过点P做交AB（或其延长线）于点M， 过点P做交AD（或其延长线）于点N． 则，， 为二面角的平面角． 在中，；① 在中，．② 由①②得， 从而， 所以，即． 所以为定值． 56．（2024高一下·山东滨州·期末）5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．为此学校将举行心理健康知识竞赛，甲、乙两同学组成“爱我队”参赛，比赛共有两轮，每轮比赛由甲、乙各回答一个问题，已知第一轮甲答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，第二轮甲、乙都答对的概率为，并且甲连续两轮都答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)分别求第二轮甲、乙两同学答对的概率； (2)求“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率． 【答案】(1)和． (2)． 【分析】（1）设、分别表示甲第一轮、第二轮答对的事件，、分别表示乙第一轮、第二轮答对的事件，根据独立关系求出，根据求出，据此即可求解； （2）设“甲同学两轮答对1题”，“甲同学两轮答对2题”，“乙同学两轮答对1题”，“乙同学两轮答对2题”，根据甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响列出计算式即可求解. 【详解】（1）设、分别表示甲第一轮、第二轮答对的事件，、分别表示乙第一轮、第二轮答对的事件， 则，根据独立性假定得， 所以，又， 得，所以第二轮甲、乙两同学答对的概率分别为和； （2）设“甲同学两轮答对1题”，“甲同学两轮答对2题”，“乙同学两轮答对1题”，“乙同学两轮答对2题”， 由于在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响， 又， 所以，所以，，且与，与互斥，与，与分别相互独立， ， ， ， ， 设““爱我队”在两轮比赛中答对3题”，则， 且与互斥，与，与分别相互独立， 所以 ， 所以“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率为． 57．（2024高一下·山东菏泽·期末）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； (2)（i）答案见解析；（ii）游戏不公平理由见解析 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解. （2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解. 【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得， 解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以     因为，所以此游戏不公平. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $