8.3 向量的坐标表示（第1课时 向量基本定理）同步练习-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

**基本信息** 聚焦向量基本定理，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到几何应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|向量共线条件、基底概念|单一知识点直接应用，如填空题1-8直接考查共线向量参数求解| |中档|几何图形向量表示、斜坐标系|结合平行四边形、梯形等图形的向量分解，如选择题16斜坐标系坐标转换| |提升|重心性质、动态问题|多步骤推理与实际情境应用，如解答题21重心与动态点参数范围探究|

8.3向量的坐标表示（第1课时)向量基本定理-同步练习-2025学年沪教版高 一数学必修第二册 一、填空题 1.已知和是两个不平行的向量，向量万-t与点-多平行，则实数t= 2.已知ee2是两个不共线的单位向量，向量a=e+2e2,b=-3e+ke2,若 a与b共线，则k=_ 3.在平行四边形ABCD中，点E满足AC=1A正且D正=AB-AD,则实数 λ= D B 4.在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，AG=xAB+yAD,则x-2y= B 5.已知ei、e2不共线，a=e+2e2,b=2e+e2,要使a、b能作为平面内的 一组基，则实数的取值范围为· 6.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF= ,(用AB、AD表示) D F A B 7.已知e,e2是平面内不共线的两个向量，a=2ei-3e2,b=e1+6e2,若a, 共线，则等于 8.已知，是两个不英线的向量，向量k-2-共线，则k的值为 9,在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，且EG=EF,若AG =AB+uAD,则2u=_ B 10.已知非零向量a=x(e+e2),b=e+ye2,其中e,e2是一组不共线的向量. 能使得与的方向相反的一组实数x,y的值为x= _y= 11.已知0为△ABC的外接圆圆心，∠ABC=45°，B0=BA+uBC(2,H∈R), 给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为」 ①对于任意△ABC,1+u丰0； ②存在△ABC,使得11+=2026： ③λ+u=时，△ABC是等腰直角三角形： ④λ+u的最大值是2-√2， 12.将两个直角三角形如图拼在一起，当E点在线段AB上移动时，若AE=λAC +uAD,当取最大值时，入-的值是 D45° B 30 木E D B M 二、选择题 13.已知a,b不共线，0A=a+b,0B=a+2b,0C=1a+3b(1∈R),若A,B,C三 点共线，则=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 14.已知向量ce2不共线，且(2e1-e2)/(3c,+2e2)则实数=() A.青 B.1 C.-2 D.2 15.在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上靠近点A的三等分点，设AB= a,AC=b,则ED=() A.+五B.a-五 C.五+书 D.a+3 D 16.如图，设0x,0y是平面内相交的两条数轴，e1,e2分别是与x轴，y轴正 方向同向的单位向量，且，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截 距a,b分别作为点P的x坐标和y坐标，记为P(a,b),这样的坐标系称为“斜坐标 系”.在该坐标系中已知点M(m,2)和N(3,1),若0M10N,则实数m的值为 () P(a,b) b1. A. B.6 c.- D.-9 三、解答题 17.设e,e2是不共线的非零向量，且a=e-2e2,b=e+3e2. (1)证明：，b可以作为一组基底； (2)以a,b为基底，求向量c=3e-e2的分解式： (3)若4e-3e2=a+ub,求，的值. 18.如图，在平行四边形ABCD中，DE=5EC. D E B (1)用向量AB,AD表示AC,AE; (2)若AF=AB+xAD,且A,BF三点共线，求x的值. 19.如图，ABCD是一个梯形，AB/CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB 的中点，已知AB=a,AD=b,试用a,b表示BC和MN. D M B D M B 20.在△ABC中，点D在BC边上，满足BD=3DC,E是线段AD上的点，满 足AE=2ED (1)用AB和AC表示向量AD; (2)用AB和AC表示向量BE; (3)延长BE交AC于点F,设AF=AC,求实数的值. 21.如图，已知△ABC,AB=AC=2BC=1,且点P是△ABC的重心.过点P的 直线l与线段AB、AC分别交于点E、F,设AE=AB,AF=uAC(1≠0， u≠0). E B (1)求AB·AC的值，并判+是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明 理由； (2)若△AEF的周长为C1,△ABC的周长为C2设x=,记F)=号2-x,求f() 的取值范围. 8.3向量的坐标表示（第1课时）向量基本定理-同步练习-2025学年沪教版高 一数学必修第二册 一、填空题 1.已知和是两个不平行的向量，向量万-t与点-五平行，则实数t= 【答案】因为向量万-ta与a-3平行，所以存在使得6-ta=ā-)， 又因为d和b不平行，所以 2.已知ei,e2是两个不共线的单位向量，向量a=e+2e2,b=-3e+ke2,若 a与b共线，则k= 【答案】~与b共线，则存在唯一实数，使得a=. e+2e2=1(-3e1+ke2)=-31e+kλe2. 由于ee2是两个不共线的单位向量. (2,解 λ=-1 k=-话 3.在平行四边形ABCD中，点E满足AC=1AE且D正=AB-AD, 则实数 λ= 【答案】由题意可得：DE=A正-AD=AC-AD=(AB+AD)-AD -AB+(日-1)Ad=AB-4D, ∴λ=4 B 4. 在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，AG=xAB+yAD,则x-2y= 【答案】如图所示，设AC与BD相交于点O,由G为△BCD的重心， 可得0为BD的中点，且CG=2G0, 则AG=A0+0元=A0+0C=A0=1×(AB+AD)=AB+AD, 因为AG=xA丽+y4AD,所以x=y=子故x-2y=-号 D 5.已知e、e2不共线，a=e+2e2,b=2e+e2,要使a、b能作为平面内的 一组基，则实数的取值范围为 【答案】因为ei、e不共线，所以e与e2能作为平面内的一组基， 若a、能作为平面内的一组基，则a与b不共线， 因为a=e+2e2,b=2e+e2,所以b≠ka, 即2E+iE≠kG+2E,即(+员，所以≠4， 即实数的取值范围为(-∞，4)U(4,+∞). 6.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF= (用AB、AD表示) D E F B 【答案】DF=AF-AD,AE=AB+BE ·E为BC的中点，F为AE的中点， ·AF=A正，BE=BC, DE=AF-AD=AE-AD=G(AB+BE)-AD=AB+BC-AD 又BC=AD，DF=AB-AD. 7.已知ee2是平面内不共线的两个向量，a=2e-3e,b=e+6e2,若a, 共线，则λ等于 【答案】由d,b共线知，存在meR,使得a=m, 则2e-3e2=m(e+6e2),即(2-m)e1=(6m+3)e2, 由于o不共线，所以0，解得=-4， 1 3 8.已知ee2是两个不共线的向量，向量ke-ez,-2共线，则k的值为 【答案】由向量ke-e2,i-共线，根据平面向量共线定理可得k-e2=入 (ci-3), 化简得：ke-e2=e-e2 k=2 (=召 解得k= 9.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，且EG-EF,若AG =1AB+uAD,则24= 【答案】如下图，结合题设易知EFI/BD且EF=BD, 则AG=A正+EG=AB+BE+EF=AB+BC+EF=AB+BC+BD AB+AD+(AD-AB)=AB+AD, G 所以入=云=子则u=。 10.已知非零向量a=x(e+e2),b=e+ye2,其中e,e2是一组不共线的向量. 能使得d与的方向相反的一组实数x,y的值为x=一’y=- 【答案】因为a与b的方向相反，则a=λb,1<0, 即x(e+e2)=(e+ye2),可得xei+xe2=λei+ye2, 又因为是一组不共线的向量，则{一乃，消去可得x<0y=1, 取1=-1，可得x=-1. 故答案为：-1（答案不唯一，x<0);1. 11.已知0为△ABC的外接圆圆心，∠ABC=45°，B0=1BA+uBC(2,u∈R), 给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为】 ①对于任意△ABC,1+4≠0： ②存在△ABC,使得1+4=2026： ③λ+=时，△ABC是等腰直角三角形； ④λ+u的最大值是2-√2. 【答案】因为O为△ABC的外接圆圆心， 所以BO=A可=C可=R(R为外接圆半径)， 又B0=BA+BC,所以B0=(OA-OB)+(OC-OB, 即(1-λ-W)B0=λ0A+u0C, 因为∠ABC=45°，所以∠AOC=2∠ABC=90°， 所以(1-1-02B02=120A2+u20C2+20A.0C, 所以(1-1-)2R2=12R2+u2R2+2u0A.0C, 即(1-λ-)2=2+u2, 展开并整理得：1-2λ-2μ+2u=0, 对于①，当A+u=0时，=之此时入=号=或1=号=号 因此存在△ABC,1+u=0,故①错误； 对于②④，因为1-21-2u+2u=0 所以入+u=3+≤+(2)（当且仅当入=u时取得等号）， 所以(0+)2-4(0+)+2≥0， 解得λ+u≥V2+2,或λ+4≤-V2+2, 又LABC为锐角，所以O与B在AC的同侧，所以1+u≤-V2+2, 所以存在△ABC,使得1+=2026，故②正确，④正确； 对于③，当入+u=时， 代入1-2-2+2μ=0中可得：=0， 此时△ABC是等腰直角三角形，故③正确； 故答案为：②③④ 12.将两个直角三角形如图拼在一起，当E点在线段AB上移动时，若AE=1AC +uAD,当取最大值时，入-u的值是 D B 45° 30>C 【答案】 N M 如图示，设AM/BN且AM=BN,AB=4,AC=8,△ABC中BC=4V3, 由题意知，当λ取最大值时，点E与点B重合，又AE=AC+uAD, 则1=4=DB4 4G=Dc台4+43三311 是，u-8-器-2品 2 所以1-μ=V3-2. 二、选择题 13.已知a,b不共线，0A=a+b,0B=a+2b,0C=a+3b(1∈R),若A,B,C三 点共线，则=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】A,依题意有AB=OB-OA=a+2b-(a+b)=b, Ac=0c-0A=a+3b-(a+b)=a-1)a+2b, 若A,B,C三点共线，则存在实数m使得AC=mAB=mb, 因为a6不类线，所以有2是m0,得2=1. 14.已知向量1,2不共线，且(2e,e2)/(3e1+2e2)则实数2=（) A.- B.1 C.-2 D.2 【答案】A,因为向量1,2不共线，且(2e1-e2)/(3e,+2e2), 那么存在实数k,使得2e1-e2=k(3e,+2e2), k= 15.在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上靠近点A的三等分点，设AB= a,AC=b,则ED=() A.五+五 B.a-五 c.五+书 D.-五+3 【答案】C,如图可得：ED-AD-A正-五+五-五-五+五， D 16.如图，设0x,0y是平面内相交的两条数轴，e1,e2分别是与x轴，y轴正 方向同向的单位向量，且，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截 距a,b分别作为点P的x坐标和y坐标，记为P(a,b),这样的坐标系称为“斜坐标 系”.在该坐标系中已知点M(m,2)和N(3,1),若0M10N,则实数m的值为 () b P(a,b) A.月 B.6 C. D.-10 7 【答案】D,因为〈c,e2〉=3所以e1e2=cos=月 已知点M(m,2)和N(3,1),则0M=me1+2e2,0N=3e1+e2 因为0M10w,则0M.0N=(me1+2ez)(3ei+e2)=3mle+m+6)eie2 +2le=0. 化简得3m+0m+6)×2+2=0,解得m=-9 三、解答题 17.设e,e2是不共线的非零向量，且a=e-2e2,b=e+3e2. (1)证明：a,可以作为一组基底； (2)以a,b为基底，求向量c=3e1-e2的分解式： (3)若4e-3e2=a+ub,求，的值 【答案】(1)证明：若d,b共线，则存在λ∈R,使得d=b, 则G-2迈=1C+3,出不关线，得{3及=12，无解， 故与不共线，可以作为一组基底. (2)设c=md+nb(m,n∈R), 则3e-e2=m(e-2e2)+n(e+3e2)=(m+n)ei+(-2m+3n)e2, 所以{2丰n3-1,解得二子，所以E=2a+6。 (3)由4e-3e2=λa+ub, 得4e-3e2=(e-2e2)+u(e1+3e2)=(2+)ei+（-21+3We2, 所以(-2+a4-3·解得低二。 18.如图，在平行四边形ABCD中，DE=5EC. D B (1)用向量AB,AD表示AC,AE; (2)若AF=AB+xAD,且A,BF三点共线，求x的值. 【答案】(1)由平行四边形ABCD,可得AC=AB+AD, DE=5EC,DE=DC, ∴AE=AD+DE=AD+DC=AD+AB，,即AE=AB+AD. (2)由题意知，AF=AB+xAD=A正=1（怎AB+AD): 品=总，1=x, 5 解得x=入= 19.如图，ABCD是一个梯形，AB/CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB 的中点，已知AB=d,AD=b,试用a,b表示BC和MN. D N B 【答案】连接CN,因ANAN/DC且AN=DC,则四边形ANCD是平行四边形 所以CN=-AD=-b, 又因为CN+NB+BC=0, 所以BC=-CN-NB=方-2五， MN=CN-CM=CN+2AN=-方+表=a-石. 20.在△ABC中，点D在BC边上，满足BD=3DC,E是线段AD上的点，满 足AE=2ED. (1)用AB和AC表示向量AD; (2)用AB和AC表示向量BE; (3)延长BE交AC于点F,设AF=AC,求实数的值. 【答案】(1)在△ABC中，由BD=3DC,得AD-AB=3(AC-AD), 所以AD=AB+AC. (2)由AE=2ED,得AE=3AD=CAB+AG)=AB+AC, 所以B正=A正-AB=AB+AC-AB=-A正+AC, (3)由延长BE交AC于点R令BF=BE=-AB+AC, AF=AB+BF=(1-AB+AC,而AF=1AC,AB,AC不共线， 则1-琴=0且入=分解得u=入=} 21.如图，已知△ABC,AB=AC=2BC=1,且点P是△ABC的重心过点P的 直线L与线段AB、AC分别交于点E、F,设AE=AB,AF=uAC(1≠0， u≠0). B (1)求AB·AC的值，并判断+是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明 理由； (2)若△AEF的周长为C1,△ABC的周长为C2.设x=,记f)=号-x,求f() 的取值范围。 【答案】(1)己知△ABC,AB=AC=2BC=1,所以cOS∠BAC=AB2+AC2-BC 2AB·AC -+-食-6 2×1×1 所以AB.AC-|clos∠BAC=1×1×名- 因为A正=AB,A正=uAC,则AE-A正，AC=AF, 因为点P是△ABC的重心，所以AP=店+AG)=AE+F, 因为PE在直线上，所以品+京=1=+日=3. (2)=F-A=AF2+A正2-2F.AE=2+2-: 所以C1=AE+AF+EF=1++2+2-C2=2 5 设x=,由(1)得+=3，所以1+u=3μ=3x 所以斯国)-号x=乱+u+、2+2-)-x=号 (a+u+、0u+-2a-24-x=到3x+、92--x=92-5x+号 因为0<1≤1,0<≤1，之1≥1，又因为=3-s2,则1≤s2, 因为=六所以=六=产店 1 1 因为1≤≤2，所以当-时，μ的最小值为，当=1或2时，μ的最大值 为：是所以x=e,引， 因为y1=9x2-x的对称轴为x=云所以在[，引上单调递增，又因为y2= 在[售，引上也是单调递增，所以f)=系9x2-要x+在，引上单调递增， 所以当x=言时，f(x)mn=子当x=时，f(x)max=6。, 10 所以f)的取值范国为6，。丹