8.3向量的坐标表示（第2课时）向量线性运算的坐标表示-同步练习-2025-2026学年沪教版高一数学必修第二册

**基本信息** 沪教版高一数学向量线性运算坐标表示同步练习，分层梯度清晰，从基础坐标运算到综合几何应用，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|向量加减、数乘坐标运算|直接应用公式，如填空1-2坐标计算，夯实概念| |能力提升|共线条件、几何图形坐标|结合平行四边形（填空3）、网格向量（填空11），培养几何直观| |综合应用|跨情境问题解决|融入正八边形建系（解答20）、广义坐标系（解答21），发展推理与应用能力|

8.3向量的坐标表示（第2课时)向量线性运算的坐标表示-同步练习-2025学 年沪教版高一数学必修第二册 一、填空题 1.已知M(1,3),N(-2,1),则MN的坐标是 2.己知AB=(1,6),点A(-1,-4),则点B的坐标为 3.已知平行四边形ABCD,A(1,3),B(2,4),C(5,6),则点D的坐标为 4,如图，向量，b,c的坐标分别是 6 4 b -6 4:-2-0246x 5.已知A(2,1),B(3,-2),则AB= 6.已知向量a=(几，-1)，万=(2,3)，且/b,则入=一 7.已知a=(2,1),b=(-3,4),3a+4b的坐标_ 8.已知向量a=(4,-2),b=(2,x)若石‖b,则x= 9.在平面直角坐标系x0y中，若点A(-1,2),B(0,1),C(1,a)共线，则a= 10.在平面直角坐标系中，0(0,0)，A(1,2),若0P-0A,则P点坐标是 11.向量a,b,在正方形网格中的位置如图所示，若=λa+ub(λ，u∈R), 则哈=一 12.如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，且DE=2EC,若AD=xAC+yAE, 则x= ;y= D B 二、选择题 13.已知A(2,-1),B(3,1),记AB的相反向量为a,则() A.a=(-1,-2)B.d=(1,2) C.d=(-1,2) D.=(1,-2) 14.如图，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，j,取{，}作为基底， 若a=3,日=石，则向量的坐标为（) A.() B.(9》 c.(,) D.(引 15.已知平面向量a=(2,3),b=(4,1), 则2a-b=() A.(0,-5) B.(8,7) C.(0,5) D.(8,5) 16.已知向量=(3，-2)，石=(xy-1),且/乃，若xy均为正数，则+的最 小值是() A.司 B.号 C.8 D.24 三、解答题 17.如图，取与x轴，y轴同向的两个单位向量i,作为基底，分别用i,表示 OA,OB,AB,并求出它们的坐标. B 4 3 0123456元 18.已知点P(1,1),A(2,3),B(8,-3),且C,D依次为AB的三等分点，求PC和PD 的坐标. 19.已知e,e2是平面内两个不共线的向量，若AB=2e-e2,Bp=2e+λe2, PC=e+e2,且A、P、C三点共线. (1)求实数的值； (2)若e1=(1,0),e2=(0,1). (i)求BC; (iⅱ)若D(-2,4),四边形ABCD构成平行四边形，求点A的坐标. 20.如图，已知正八边形ABCDEFGH中HD=4. B (1)建立适当的坐标系，求AC,AF的坐标； (2)请用AC,AF表示AE. 21.把由平面内夹角成的两条数轴0x,Oy构成的斜坐标系称为“广义坐标系” 如图1，e,e2分别为0x,0y正方向上的单位向量.若向量0p=xe+ye2,则 把实数对[x,y]叫作向量OP的广义坐标”，记OP=[x,y小若以O为原点，建立如图 2所示的平面直角坐标系xOy. 图1 图2 (1)求e,e2在平面直角坐标系中的坐标； (2)若向量m在平面直角坐标系中的坐标为(4,2√3)，求向量m的“广义坐标”. 8.3向量的坐标表示（第2课时）向量线性运算的坐标表示-同步练习-2025学 年沪教版高一数学必修第二册（答案版） 一、填空题 1.已知M(1,3),N(-2,1),则MN的坐标是 【答案】若M(x1y1),N(x2y2),则MN=(x2-x1y2-y1). 由M(1,3),N(-2,1),得x2-x1=-2-1=-3,y2-y1=1-3=-2, 故MN=(-3,-2): 2.已知AB=(1,6),点A(-1,-4),则点B的坐标为 【答案】设B(x,y),因为A(-1,-4),所以AB=(x+1y+4), 又丽=(16.所以+4=6，解得=2， 所以B(0,2): 3.已知平行四边形ABCD,A(1,3),B(2,4),C(5,6),则点D的坐标为 【答案】在☐ABCD中，AD=BC,设D(x,y),而A(1,3),B(2,4),C(5,6), 因此(-1y-3)=3,2)即3=2，解得x=4y=5, 所以点D的坐标为(4,5)： 4.如图，向量元，b,c的坐标分别是 4 b 6 4:-20246 【答案】如图， 6 -6-4-2.0246 将各向量分别向单位正交基底i=(1,0),j=(0,1)所在直线分解， 则a=-4i+0j,a=(-4,0), 6=0i+6j,b=(0,6), c=-2i-5j,c=(-2,-5), 故答案为：(-4,0)；(0,6)；（-2，-5)： 5.已知A(2,1),B(3,-2),则AB=, 【答案】因为A2,1,B3,-2所以向量AB=(3-2,-2-1)=(1,-3)A8- V12+(-3)2=V10 6.已知向量d=(0,-1),6=(2,3),且a/乃，则2=一 【答案】向量a=(亿，-1)，b=(2,3),由/i,得3λ=-2，所以1=-号 7.已知a=(2,1),b=(-3,4),3a+4b的坐标一· 【答案】a=(2,1),b=(-3,4),故3a+4b=(6,3)+(-12,16)=(-6,19). 8.已知向量a=(4,-2),b=(2,x)若aⅡb,则x= 【答案】由题意得，4x-(-2)×2=0,解得x=-1. 9.在平面直角坐标系x0y中，若点A(-1,2),B(0,1),C(1,a)共线，则a= 【答案】因为点A(-1,2),B(0,1),C(1,a)共线，所以AB,AC共线， 又AB=(1,-1),AC=(2,a-2),所以1×(a-2)-2×(-1)=0,所以a=0. 10.在平面直角坐标系中，0(0,0)，A(1,2),若0p=0A,则P点坐标是 【答案】若OP=0A,则点P是线段0A的中点，所以P点坐标是(，1) 11.向量a,b,在正方形网格中的位置如图所示，若c=a+ub(,u∈R), 始 b 【答案】设图中方格单位为1，建立下图所示直角坐标系， B 则a=AB=(0,1)-(1,0)=(-1,1),b=BC=(6,3)-(0,1)=(6,2), =CD=(5,0)-(6,3)=(-1,-3), c=Aa +ub, {=+解得2=子 λ=-2 -2 故答案为：4. 12.如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，且DE=2EC,若AD=xAC+yAE, 则x=一；y= D E B 【答案以点A为坐标原点，建立如下图所示坐标系， D BT 设正方形边长为3，则A(0,0),B(3,0),C(3,3),D(0,3), IDE1=2IEC,·E(2,3), ·AD=(0,3),AC=(3,3),AE=(2,3), AD=xAC+yAE, +3影=}解得y=子. 故答案为：-2；3. 二、选择题 13.已知A(2,-1),B(3,1),记AB的相反向量为d,则(） A.a=(-1,-2)B.d=(1,2) C.a=(-1,2) D.d=(1,-2) 【答案】因为A(2,-1),B(3,1),所以AB=(3,1)-(2,-1)=(1,2), 所以它的相反向量a=-AB=(-1,-2) 故选：A. 14.如图，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，j,取{，}作为基底， 若1a=v3,0=石，则向量的坐标为() A.() B.(引 c.( D.(（ 【答案】由题意得，a=(V3cosi+(V3sinj-(仔，) 故选：A. 15.已知平面向量元=(2,3)，b=(4,1),则2a-b=() A.(0,-5) B.(8,7) C.(0,5) D.(8,5) 【答案】C,2a-b=2(2,3)-(4,1)=(0,5): 16.已知向量a=(3,-2),万=(x,y-1),且/石，若xy均为正数，则2+的最 小值是() A. B.9 C.8 D.24 【答案】C,由a//b,得3(y-1)=-2x,即2x+3y=3, 又x,y均为正数， 则+追+ex+列-g+与+1)2g+12)-8, 当且仅当=钙，即x=y=时等号成立， 3 则+的最小值是8. 三、解答题 17.如图，取与x轴，y轴同向的两个单位向量i,作为基底，分别用i,表示 OA,OB,AB,并求出它们的坐标. y B 3 0123456龙 【答案】由图形可知，0A=6i+2j,0B=2i+4j,AB=-4i+2j, 它们的坐标表示为0A=(6,2),0B=(2,4),AB=(-4,2) 18.已知点P(1,1),A(2,3),B(8,-3),且C,D依次为AB的三等分点，求PC和PD 的坐标. 【答案限据题意可知，点CD分丽所成的比分别是1-周-2-需-2， AD 、B 设C(xy1),利用定比分点坐标公式可得 2+2× 3+2×(-3) X1=1+ 2=4,y1=1+ =1,所以C点坐标为(4,1)， 设D(x2,y2),利用定比分点坐标公式可得 2=2生=6,2=3+③=-1，所以D点的坐标为6-1)， 所以PC=(4,1)-(1,1)=(3,0),PD=(6,-1)-(1,1)=(5,-2): 19.已知e,e2是平面内两个不共线的向量，若AB=2e-e2,BP=2e1+e2, PC=e+e2,且A、P、C三点共线. (1)求实数的值； (2)若e1=(1,0),e2=(0,1) (i)求BC; (iⅱ)若D(-2,4),四边形ABCD构成平行四边形，求点A的坐标， 【答案】(1)AP=AB+Bp=2e-e2+2e1+λe2=4e1+(-1)e2, 又PC=e+e2,A、P、C三点共线，设AF=mPC, 则4e+a-1)E=me+me2,枚[(41m,放a=1+m=5: (2)(i)由(1)可知Bp=2e+5e,PC=e+e2, BC=BP+PC=i+ez+(2ei+5e2)=3ei+6e2, 又e=(1,0),e2=(0,1),故BC=3(1,0)+6(0,1)=(3,6): (iⅱ)四边形ABCD构成平行四边形，故AD=BC, 又D(-2,4),设A(x,y),则AD=(-2-x,4-y), 故(-2-x4-0=(3,0所以{星y名，辉得=-2 故点A的坐标为(-5，-2) 20.如图，已知正八边形ABCDEFGH中HD=4. E B (1)建立适当的坐标系，求AC,AF的坐标； (2)请用AC,AF表示AE. 【答案】(1)如图，连接BF,以HD,BF所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角 坐标系，正多边形的中心0即为坐标原点， G M B 0E=0F=0D=2,∠E0D=()=45, 所以E(V2,√2)，根据对称性可得A(-√2，-√②)， C(V2,-V2,又F(0,2), 所以AF=(V2,2+V2,AC=(2V2,0) (2)由(1)得AE=(2V2,2V2, 设AE=1AC+uAF可得(2V2,2V2=(2V2,0)+(V2,2+V2), 明2+[2 所以AE=(2-2)AC+(2√2-2)AF. 21.把由平面内夹角成的两条数轴0x,0y构成的斜坐标系称为“广义坐标系”， 如图1，e,e2分别为0x,Oy正方向上的单位向量若向量0p=xe+ye2,则 把实数对[x,y]叫作向量OP的广义坐标”，记0p=[x,y小若以0为原点，建立如图 2所示的平面直角坐标系xOy e2 e 图1 图2 (1)求e,e2在平面直角坐标系中的坐标； (2)若向量m在平面直角坐标系中的坐标为(4,2√3)，求向量m的“广义坐标”. 【答案】(1)e在直角坐标系中的坐标还是(1,0)， 设与y轴同向的单位向量为e, 根据平行四边形法则，以及(e》=60,所以E2=打+，所以在直角 坐标系中的坐标为(，》)： (2)设m=x+ye2,因为向量m在平面直角坐标系中的坐标为(4,2V3), 所以x(1,0+y(,)=(4,23), x+2y=4 所以停y25所以x=2y=4 所以向量元的“广义坐标”为2,4]