第8章 平面向量 单元复习卷（1）-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册
2026-06-06
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摘要：
**基本信息**
沪教版必修第二册平面向量单元复习卷，通过填空（12题60分）、选择（4题20分）、解答（5题50分）覆盖向量坐标运算、数量积、投影向量等核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养运算能力与推理意识。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|填空题|12/60|向量坐标、共线条件、投影向量|新增题考查夹角计算，强化基础应用|
|选择题|4/20|共线判定、数量积推理依据|结合教材推理过程，培养逻辑思维|
|解答题|5/50|垂直、共线、夹角综合计算|分层设计，如向量与几何结合题，提升数学建模能力|
内容正文：
沪教版必修第二册第8章平面向量单元复习卷（1）
一、填空题（每题5分，共60分）
1. 已知 ，，，则 的坐标为__________．
1. 已知向量 ，，若 ，则 _______．
1. 若点 ，，，且 ，， 三点共线，则 ______．
1. 已知向量 ，，满足 ，则 _____．
1. 已知向量 ，，则向量 在向量 上的投影向量为______．
1. 已知向量 ， 满足 ，，则向量 在向量 上投影向量的坐标为________．
1. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为________．
1. 已知向量 ， 满足 ，，，则 ___．
1. 已知平面向量 ， 是单位向量， 与 夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为______．
1. 已知 ，，，则向量 在 方向上的投影向量为________．
1. (新增) 已知向量 与 夹角为 ，且 ，，则 __________．
1. (新增) 已知向量 ，，若 ，则 ________．
二、选择题（每题5分，共20分）
1. 已知向量 ，，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
1. 若单位向量 、 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
1. 已知向量 ，，若 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D.
1. 教材在推导向量的数量积的坐标表示公式 （其中 ）的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（ ） ① 向量坐标的定义； ② 向量数量积的定义； ③ 向量数量积的交换律； ④ 向量数量积对数乘的结合律； ⑤ 向量数量积对加法的分配律.
A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤
三、解答题（每题10分，共50分）
1. 如图，在 中，， 为 上一点，且满足 ，求实数 的值．
1. 已知向量 ．
1. 若 与 垂直，求 的值；
1. 若向量 ，若 与 共线，求 ．
1. 已知 ，，且 与 夹角为 ．
1. 求 ；
1. 求 与 的夹角的余弦值．
1. 已知向量 ， 满足：，， 与 的夹角 ．
1. 求 ；
1. 若 ，求实数 的值；
1. 若 ，求实数 的值．
1. 设向量 、 满足 ，，，分别求下列各式的值：
1. ；
1. ．
沪教版必修第二册第8章平面向量单元复习卷（1）
一、填空题（每题5分，共60分）
1. 已知 ，，，则 的坐标为__________．
答案：
2. 已知向量 ，，若 ，则 _______．
答案：
3. 若点 ，，，且 ，， 三点共线，则 ______．
答案：
4. 已知向量 ，，满足 ，则 _____．
答案：
5. 已知向量 ，，则向量 在向量 上的投影向量为______．
答案：
6. 已知向量 ， 满足 ，，则向量 在向量 上投影向量的坐标为________．
答案：
7. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为________．
答案：
8. 已知向量 ， 满足 ，，，则 ___．
答案：
9. 已知平面向量 ， 是单位向量， 与 夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为______．
答案：
10. 已知 ，，，则向量 在 方向上的投影向量为________．
答案：
11. (新增) 已知向量 与 夹角为 ，且 ，，则 __________．
答案：
12. (新增) 已知向量 ，，若 ，则 ________．
答案：
二、选择题（每题5分，共20分）
13. 已知向量 ，，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
答案： B
14. 若单位向量 、 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
答案： B
15. 已知向量 ，，若 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D.
答案： C
16. 教材在推导向量的数量积的坐标表示公式 （其中 ）的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（ ） ① 向量坐标的定义； ② 向量数量积的定义； ③ 向量数量积的交换律； ④ 向量数量积对数乘的结合律； ⑤ 向量数量积对加法的分配律.
B. ①③④ B. ②④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤
答案： D
三、解答题（每题10分，共50分）
17. 如图，在 中，， 为 上一点，且满足 ，求实数 的值．
答案： ，可得 . 设 ，则 . 又已知 ，根据平面向量基本定理，有 ，解得 .
18. 已知向量 ．
(1) 若 与 垂直，求 的值；
(2) 若向量 ，若 与 共线，求 ．
答案： （1），. 由垂直关系：， 即 ，解得 .
（2），. 若 与 共线，则 ， 即 ，解得 . 则 . 所以 .
19. 已知 ，，且 与 夹角为 ．
(1) 求 ；
(2) 求 与 的夹角的余弦值．
答案：
(1) 首先计算 . .
(2) 计算 . 设 与 的夹角为 ，则 .
20. 已知向量 ， 满足：，， 与 的夹角 ．
(1) 求 ；
(2) 若 ，求实数 的值；
(3) 若 ，求实数 的值．
答案：
(1) . ，所以 .
(2) 由 ，得 . 即 ，解得 .
(3) 由 ，存在实数 使 . 则 ，解得 ，.
21. 设向量 、 满足 ，，，分别求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
答案：（1）由 ，两边平方得 . 即 ，解得 .
（2）.
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