第8章 平面向量（单元自测·提升卷）数学沪教版必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第8章 平面向量·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则 ． 2．已知向量，，若，则实数 . 3．向量，则与同方向的单位向量的坐标是 4．已知向量，，若，，三点共线，则 ． 5．已知向量，，若在上的投影向量为，则实数 . 6．已知，则 ． 7．若，且，则点的坐标为 . 8．已知向量和满足，则 . 9．中，为边中点，，则 (用表示) 10．已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 11．设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ． 12．已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为 ． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．已知、为两个不平行的非零向量，则是的（    ）条件 A．充要 B．既不充分也不必要 C．充分非必要 D．必要非充分 14．在中，为边上的中线，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 15．已知向量≠，，对任意实数t，恒有，则（    ） A． B． C． D． 16．设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 18．（本小题满分14）已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 19．（本小题满分14）如图，扇形所在圆的半径为2，，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动（包含端点），且总有，设，． (1)若，用，表示； (2)求的取值范围． 20．（本小题满分18）已知点， (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 21．（本小题满分18）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”． (1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围； (2)已知均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第8章 平面向量·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则 ． 2．已知向量，，若，则实数 . 3．向量，则与同方向的单位向量的坐标是 4．已知向量，，若，，三点共线，则 ． 5．已知向量，，若在上的投影向量为，则实数 . 6．已知，则 ． 7．若，且，则点的坐标为 . 8．已知向量和满足，则 . 9．中，为边中点，，则 (用表示) 10．已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 11．设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ． 12．已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为 ． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．已知、为两个不平行的非零向量，则是的（    ）条件 A．充要 B．既不充分也不必要 C．充分非必要 D．必要非充分 14．在中，为边上的中线，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 15．已知向量≠，，对任意实数t，恒有，则（    ） A． B． C． D． 16．设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 18．（本小题满分14）已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 19．（本小题满分14）如图，扇形所在圆的半径为2，，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动（包含端点），且总有，设，． (1)若，用，表示； (2)求的取值范围． 20．（本小题满分18）已知点， (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 21．（本小题满分18）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”． (1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围； (2)已知均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第8章平面向量·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共12小题，第1一6题，每题4分，第7一12题，每题5分，共54分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(0,-1 2.4 125 3.13'13 4.2 5.1 7.(2,-8) 8.√3 9. 10. 2π 号 12.√2-1 二、选择题（本大题共4小题，第13一14题，每题4分，第1516题，每题5分，共18分.把答案填在 题中横线上) 13 14 15 16 A D D 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分14分) 【解】(1)3ā-26=3(0,1)-21,2=(0,3)-(2,4)=(-2，-1,3ā-26=V-2)2+(1)2=5: (2)ka-2b=k(0,1-2(1,2=(0,k)-（2,4=（-2,k-4), 万-a=1,2)-(0,1)=1,10,因为ka-2b16-a), 所以(kā-26)(6-ā=(-2，k-4)1,1)=-2+k-4=k-6=0, 即k=6 18.(本小题满分14) 【解】(1)因d=V2,5=2, 则(2a-36)-(2a+b=4a-4a.6-36=4x2-4a.6-3x4=4, 可得a.b=-2; (2)因1ā-26=Va-26)=Va-4a6+45=√2-4x(-2)+4x4=V26, a-(a-26=a-2a.6=2-2×(-2)=6, 设向量ā与a-2b的夹角为O, 1/4 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则cos0=a:(a-2b) 6 3V13 1aa-2b1√2×√2613 19.(本小题满分14) 【解】(1) 0 如图所示，可知△BOC,△AOC均为等边三角形，所以四边形OACB为菱形. 所以OC=0A+0B=a+b, 因为丽-0，则00-5， 所以CP=0P-0c=2a -a-6=-6 则0=0-oc--a5=a36: (2)设0P=x0A=xa,则00=1-x)0B=(1-x)b,x∈[0，， CP=OP-OC=xa-a-b=(x-1)a-b,Co=00-OC=(1-x)b-a-b=-a-xb, 因为扇形0AB所在圆的半径为2，∠40B= 3 所以8=8=4a6-月w408=2x2x(-2 可知乎.0=-加-(-a-=-02-(-x-a6+6-2x+ 因为xG0小，所以当x=号时，取符最小值子，当x=0或1时，取最大值2， 所以CP.Cg的取值范围为 20.（本小题满分18) 【解】(1)AB=1-(-1),0-0)=(2,0) AP=(1-(-1),V3-0)=(2,3) 2AB=2×(2,0)=(4,0) 2/4 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3AP=3×(2,V5)=(6,3V3) 2AB-3AP=(4,0)-(6,3V5)=(-2,-3V5) (2)PB=1-1,0-V5)=(0,-5) PA=(-1-1,0-5)=(-2,-5) PC=(sin0-l,cos0-√5) PC.PB=(sin0-1)0+(cos0-V5)(-V5)=-5(cos0-V5)=-V5cos0+3 PC.PA=(sin0-1)(-2)+(cos0-√3)(-V5)=-2sim0+2-V3cos0+3=-2sin0-V3cos0+5 PC.PB+PC.P4=-3 cos0+3-2sin0-3 cos0+5=-23 cos0-2sin0+8 =-4 cos6+.sin0+8=-4sin(e+60)+8 2 因为sin(0+60)e[-1,1],所以-4sin(0+60)∈[-4,4]， 则-4sin(0+60°)+8e[4,12] (3)因为P=(2,V),所以直线4P的斜率为 21 直线AP的方程为y=5 x+1, 2 设xc=-1+2t,则yc=V3t, 即点C坐标为(-1+21，√31) 1BC=Vx-12+y=V-2+21)2+(W3)2=V42-8t+4+312=V72-8t+4 当=音-即c4)时，sC最个雀为 7’7 -4g+ 4 112224,196842√21 7 21.(本小题满分18) 【解】(1)由题意a≥瓦+a,而a=(1,x+1),a=(2,x+2),a=(3,x+3),a+a=(3,2x+3), 所以V9+(x+3)2≥V9+(2x+3)2,解得-2≤x≤0， 所以实数x的取值范围是[-2,0]. 3/4 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)a,a,a的等量关系是a,+a,+a=0, 证明如下：由题意a是向量组a,a,a的“好向量”，所以a≥a+a国， 则a≥回+a,即(a2≥(@+ag2,所以a2≥a,+2a,a+a, →2 同理a,≥a+2aa+a2，a≥a+2aa+a， 42 三式相加并整理得0≥a+a2+a+2a1a2+2a·a3+2a3a2 42 2 2 所以(a,+a,+a)2≤0，即a+a+a≤0，所以a+,+a,=0. 4/4命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第8章平面向量能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1一6题，每题4分，第7一12题，每题5分，共54分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知2a-b=(-2,3),b=(2,-5),则a=」 【答案】(0，- 【解析】设向量a=(x,y),因为6=(2，-5)，可得2a-b=2(x,y)-(2,-5)=(2x-2,2y+5), 2x-2=-2 因为2a-b=(-2,3),所以 2y+5=3,解得x=0,J=-1,所以a=(0,- 2.已知向量a=(x,2),b=(2,1),若al/b,则实数x= 【答案】4 【解析】因为向量a=(x,2),b=(2,1),且a1/b,则x=4 3.向量ā=(12,5)，则与ā同方向的单位向量的坐标是」 【答案】 125 13'13 【解析】与ā同方向的单位向量的坐标是 aV122+513 4.己知向量AB=2,2),AC=(-1,k-3),若A,B,C三点共线，则k= 【答案】2 【解析】因为A,B,C三点共线，所以AB/1AC, 又AB=(2,2),AC=（-1,k-3),所以2×k-3-2×-1=0,解得k=2 5.已知向量a=(-2,,万=(1，)，若在ā上的投影向量为-ā，则实数t=」 5 【答案】1 【解析】因为ā=(-2，)，b=(1,),所以ba=-2x1+1×t=t-2 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为向量6在ā上的投影向量为-所以后a一( ba_ t-2 = 5a=-5a,解得1=1 6.已知sin(a+β)= a=(sina,sin B),B=(cosB,cosa), 【答】 【解析】a-b=sinacosB+sinBeos=sin(a+B)= 7.若M(3,-2,N(4,4),且MP=-PN,则P点的坐标为 【答案】(2，-8) 【解折】设点P,功，则由MP=-PW可得-3，+2)=4-x4-儿， x-3=-4-) x=2 故有 ，解得 y=-8'即P点的坐标为2，-8) y+2=-5(4-y) 8.已知向量ā和6满足ā=(1,2)，b=(-2,0),则1a+2b= 【答案】√3 【解析】由a=(1,2),6=(-2,0),得ā+2b=(1,2)+(-4,0)=(1-4,2+0)=(-3,2), 根据向量模长公式ā+2b=V(-3)2+22=√9+4=√13 9. ABC中，D为AB边中点，CE=CD,AB=a,AC=b,则AE= (用a,b表示) 【答案】2b+24 1 6 【解析】 D 由已知，A正=AC+CE=AC+CD=AC+(CA+CB 6 c+-名4c+6-c号c+=6+ 6 6 6 36 10.已知向量ā、b满足引ā=b=2,且a+6在ā上的数量投影为1，则(a,b)= 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】； 2π/2 【解析】a+6在ā上的数量投影为l, 则a+i1cosa+6,a)=1,即a+a.+a-6_4+a-6=1. a 2 故a·b=-2,即2×2×cos(a,b)=-2, 所以eoa=分 又(a,b)e0,元，所以(a,i)=2n 3 1.设M是48C所在平面上的一点，且MB+M+MC-0,D是4C的中点，则： DM BM 【答案1 【解析】因为D是AC中点， 所以沥=多M+列=}×2D=3D, DM 所以 1 BM 31 B M D 12.已知A、B、C是单位圆上的三个点，若AB=V2,则ABBC的最大值为一 【答案】√2-1 【解析】由题可知：A、B、C是单位圆上的三个点，且AB=V反，不妨设 A1,0),B(0,1,C(cos0,sin0)(0∈[0,2π) 所以4=-l,Bc=cos8,sn0-,则G-8c=-cos0+sin0-1=5sin0--1, 当0-子受即0=经时，sm0-到有最大值为1，所以（丽8C)=万-1 二、选择题（本大题共4小题，第13一14题，每题4分，第15一16题，每题5分，共18分.把答案填在 题中横线上) 13.己知a、为两个不平行的非零向量，则2a+ub=0是入=u=0的()条件 3/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.充要 B.既不充分也不必要C.充分非必要 D.必要非充分 【答案】A 【解析】由a、无为两个不平行的非零向量，且1a+μb=0,则必有2=4=0，反之亦成立， 所以1a+ub=0是=4=0的充要条件.故选：A 14.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=() A+ B.BC 4 4 4 e.i-n 【答案】D 【解析】：AD为BC边上的中线，六AD=AB+AC, :E为AD的中点，：E=-AD, 2 :压=团+西=0+B=}西+4C西-48-4c,微选：D 4 15.已知向量ae,e=1,对任意实数t,恒有a-te≥a-e,则() A.a⊥e B.a⊥(a-e) C.eL(a-e) D.(a+e⊥(a-e) 【答案】C 【解析】由a-te≥a-,可得(a-te≥(a-e,化简得a2-2tae+e≥a-2ae+e2, 可得t2-2ta.e+2a.e-1≥0，又teR时恒成立， 所以△=(2a.e-4x1x2ae-ls0, 所以(a:e-1≤0，所以a.e-1=0, 所以a.e=1≠0，所以a⊥e,故A错误； 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a-(a-e=a-ae=a-1,故B错误； 所以ae-e2=0,所以(a-ee=0,所以e1(a-e),故c正确： (a+ea-e)=a-e=a2-l,故D错误 故选：C 16.设O为ABC所在平面内一点，满足OA+2OB+20C=0,则ABC的面积与△B0C的面积的比值为() A.6 B. c号 D.5 【答案】D 【解析】延长OB到D,使OB=BD,延长OC到E,使OC=CE,连接AD,DE,AE, 因为OA+20B+20C=0,所以OA+OD+OE=0,所以0为ADE的重心， 所以设S,4ow=SoE=S0e=S,则S.om=54oc=)S,S.oc=S, 1 4 1 S亏山所签千散陆D 2 4 4 D 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分14)已知向量ā=(0,1)，b=(1,2), (①)求3ā-2b: (②)若(ka-2b)1(6-ā，求实数k的值. 【解】(1)3a-26=3(0,1)-2(1,2)=(0,3)-(2,4)=(-2,-1),3ā-26=V-22+(-1)2=V5; (2)ka-2b=k(0,1)-21,2)=(0,k)-(2,4)=(-2,k-4), 6-a=1,2)-(0,1)=1,1),因为(ka-2b)1(6-a, 所以(ka-26(万-)=(-2，k-4)(1,1)=-2+k-4=k-6=0, 5/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即k=6 18.(本小题满分14)已知平面向量=V2,=2,且(2a-36)(2a+)=4.求： (1)a.b的值： (②)向量ā与a-2b夹角的余弦值. 【解】(1)因d=V2,5=2, 则(2a-3b)-(2a+b)=4a-4a.b-3b=4×2-4a.b-3×4=4, 可得a.b=-2; (2)因1ā-25=Va-26)=V日2-4a-6+462=V2-4x2)+4×4=26, a-(a-2万=a-2a.b=2-2x(-2)=6, 设向量ā与a-2b的夹角为0， 则cos0= a.(a-2b) 6 313 aa-2b√2×2613 19.(本小题满分14)如图，扇形04B所在圆的半径为2，∠408-否，C为颜B的中点，动点卫，Q分 别在线段OA,OB上运动（包含端点），且总有0P=BQ,设OA=a,OB=b. B 0)若oP=0A,用，元表示C 3 (2)求CP.C0的取值范围. 【解】(1) 如图所示，可知△BOC,△AOC均为等边三角形，所以四边形OACB为菱形 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以0C=0A+0B=a+b, 因为0m-0i,则00=6， 所以C乎=op-00=2 -a-6=- 36, 则c0-a0-0c-五-d-6i-6, 3 (2)设0P=xOA=xa,则00=(1-x)0B=1-x)i,x∈[0，， CP=OP-OC=xa-a-b=(x-1)a-b,CO=00-OC=(1-x)b-a-b=-a-xb, 因为扇形04B所在圆的半径为2，∠40B= 3 所以d-形=4，a-6-leos∠408=2x2×2-2, 1 可Gc0=e-0-e--58-- 因为x∈0，小，所以当x=)时，取得最小值？，当x=0或1时，取得最大值2， 所以CP.CO的取值范围为 [32 20.(本小题满分18)已知点A(-1,0)、B1,0、P1,5), (1)求2AB-3AP; (2)若C(sin0,cos0）,求PC·PB+PC·PA的取值范围； (3)若C为直线AP上一动点，问：C在什么位置时BC取到最小值？且最小值是多少？ 【解】(1)AB=1-(-1),0-0)=(2,0) AP=1-(-1),V5-0)=(2,V5) 2AB=2×(2,0)=(4,0) 3AP=3×(2,V5)=(6,3V3) 2AB-3AP=(4,0)-(6,3V5)=-2,-3V3) (2)PB=1-1,0-V3)=(0,-V3) PA=(-1-1,0-V5)=(-2,-V5) 7/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PC=(sin0-1,cos0-3) PC.PB=sin0-l)-0+(cos0-√3)-(-√3)=-V3(cos0-√5)=-√5cos0+3 PC.PA=(sin0-1)(-2)+(cos0-V5)(-V3)=-2sin0+2-V5cos0+3=-2sin0-√3cos0+5 PC.PB+PC.PA=-3 cos0+3-2sin0-3 cos0+5=-23 cos0-2sin0+8 3 =-4 cos0+-sin0 0+8=-4sin(0+60)+8 2 因为sin(0+60)e[-1,1],所以-4sin(0+60)e[-4,4], 则-4sin(0+60°)+8∈[4,12] (③)因为AP=(2,),所以直线4P的斜率为y5 直线AP的方程为y= 2(x+1, 设xc=-1+21,则ye=V51, 即点C坐标为(-1+2t,V3) BC=√x-1)2+y=V-2+20)2+(W3)2=V42-8t+4+32=V72-81+4 当：音甲c9时，1c最水为 7’7 42V21 、-8+4=99+9-9 112224,196 7 21.（本小题满分18)对于一个向量组a,a2,a,,ann≥3，n∈N),令b=a1+a,+…+a,,如果存在 a,(teN),使得回≥a-万，那么称a是该向量组的好向量”. (I)若a是向量组a,a,a的好向量”，且a,=(n,x+n),求实数x的取值范围： (2)已知a,a2,a均是向量组a1,a2,a的“好向量”，试探究a,a2,a的等量关系并加以证明， 【解】(1)由题意aa+a,而a=(1,x+),a=(2,x+2),a=(3,x+3),a+a=(3,2x+3), 所以V9+(x+3)2≥V9+(2x+3)2，解得-2≤x≤0， 所以实数x的取值范围是[-2,0]. (2)4,a,a的等量关系是a1+a2+a3=0, 8/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明如下：由题意a是向量组a,4,a的好向量”，所以a≥口，+a, 则a≥+a,即(@)2≥(@，+a2,所以a≥a,+2a,4+a, 2 同理a,≥a+2a4+a，a≥+2a4,+a,, *2 2 三式相加并整理得0≥a+a2+a+2a·a2+2aa3+2aa2 所以(@，+a+a)}2≤0，即a+a+a≤0，所以a+a,+a,=0. 9/9