第8章平面向量单元测试 （拨尖卷）-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第8章平面向量单元测试（拨尖卷） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【分析】根据在方向上的数量投影的公式计算即可. 【详解】已知坐标平面上的三点，，， 所以，， 所以在方向上的数量投影为 . 故答案为： 2．在中，，，，则　　． 【分析】直接代入数量积计算公式求解即可． 【解答】解：在中，，，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量的数量积，考查计算能力，属于基础题． 3．在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则　　． 【分析】根据三角形法则可得，从而，结合即可用与表示出，进一步即可得出的值． 【解答】解：由，得，故， 所以， 故，，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题． 4．已知向量，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由平面向量垂直条件及数量积坐标运算知识可得答案. 【详解】因为， 所以由可得，，解得． 故答案为：． 5.已知，向量，，当取到最大值时，的值是______． 【答案】（或或） 【分析】由向量数量积的坐标表示、辅助角公式得且，由取到最大值有，，结合的范围即可求的值. 【详解】由，且， ∴当取到最大值时，有，即，. ∵， ∴时，. 故答案为：（或或） 6.在中，，，，若点满足，则的正切值为______． 【答案】 【分析】根据题设条件可得为的费马点，如图，以为边作等边三角形可证,再过点作交于,在中，即可得出的正切值 【详解】根据题意，,,方向上的单位向量之和为零向量， 结合向量加法几何意义，易知,（为的费马点）, 如图，以为边作等边三角形,过点作交于, 则,故,,,四点共圆， 故，且，故, 故,故 在中，,, 所以. 故答案为： 7. （24-25上师大附中高一下期末）在中，，，点满足，，则_____ 【答案】2 【分析】根据余弦定理进行求解即可. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可知：， 在中，由余弦定理可知：， 因为， 所以， 舍去， 故答案为：2 8.已知平面向量满足.，且，则 . 【答案】2 【分析】由得，根据即可求解. 【详解】因为，所以，即. 因为.所以. 又. 所以. 故答案为：2. 9.已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】## 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 10.已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解. 【详解】若和的夹角为钝角，则，且不平行， 所以， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： 11.在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数.若在圆上的点A以及在圆上的点B，对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为___________. 【答案】3 【分析】根据数量积的定义可知当与同向或反向时， 能取得最大值，由此可得出答案. 【详解】设与夹角为，与夹角为，则. 因为，所以 . 因为，， 所以当，即与同向或反向时，. 因为恒有，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，可得，利用平面直角坐标系取则，设，结合已知条件可得，，利用平面向量的坐标运算可得，故可得的取值范围. 【解析】解：因为，所以， 则，所以，于是有， 因为，所以 则如图所示，在平面直角坐标系中， 则，设， 因为，所以，则，即， 因为，所以 则，即，解得， 则 因为 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，，当时，，所以 故的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.已知向量，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算结合模长公式整理得，结合余弦函数的有界性分析求解. 【详解】因为，，则， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故选：D. 14.已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 15. 已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，记，，根据已知列方程求出点的轨迹方程，转化为圆上动点和直线上动点的距离最小值问题即可得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，记， 因为，所以点， 作，设其坐标为， 因为， 所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即， 因为对任意的实数，均有，所以， 整理得， 由于上式对任意的实数的一元二次不等式恒成立， 则有，即，故， 设，又设， 则，整理得：， 所以可知点在直线上， 又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且， 所以可以把看成两动点和的距离， 而圆心到直线的距离， 所以，即的最小值为3． 故选：B． 16. 已知为原点，坐标平面上两两不同的4个点，，，满足，，，中的任意3点不共线，，，.对于命题：①存在，，，，使得4个向量，，，中的任意2个都不平行；②在，，，这4个数中，一定存在相等的2个数，下列判断正确的是（ ）. A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】B 【分析】对于命题①可设 ，可证明 和  总和垂直，进一步可得 和  平行，可得结论；对于命题②可举反例来说明命题②是假命题即可. 【详解】对于命题①，设 ， 则有：，，. 设 ，由条件可推导： ，， ，， 可得，得 ，即  与   垂直， 现在考虑向量：，因此  与   垂直， 同理： 也与   垂直， 在二维平面中，所有与  垂直的向量都互相平行，因此， 和  总是平行， 不可能存在任意两个向量都不平行的情况，故命题①为假. 对于命题②，取特值：，， ，， ，， ，， 验证：，， ， ， 所以； ，模， ， ， 所以； 总和 . 任意三点不共线,而模长全部不同. 此例满足所有条件，但模长互异，故命题②为假. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 18.已知向量，； （1）求，夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可； （2）由，可得，进而由坐标运算可得解 【详解】（1）设与的夹角为，因为向量，， 所以，， ，又，所以. 所以，的夹角为； （2）因为，，又，所以， 所以，解得. 19.已知单位向量、满足，． （1）将、的数量积表示为关于的函数； （2）求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 【答案】（1），． （2）的最大值为，． 【解析】 【分析】（1）将原等式两边平方即可得到结果. （2）利用基本不等式的性质即可求得. 【小问1详解】 平方得． 化简得. 因为. 所以，化简得，解得. 所以，． 【小问2详解】 根据基本不等式的性质，所以． 当且仅当时取到等号，所以的最大值为． 此时，所以. 20. 在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，求得，再由向量的线性运算法则，求得，得到为的外心，结合正弦定理，即可求得的长． （2）由（1）求得，且，根据向量的运算法则，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解； （3）取AB的中点D，连接OD，求得，，由向量数量积的定义得到，结合题意，得到和，联立方程组，求得，化简得到，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得, 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以． 【小问2详解】 解：因为，所以，所以，， 所以，外接圆的半径， 其中，且为锐角，故， 由，可得， 因为，解得，即 则，则，且， 因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，， 所以，，所以， 所以． 【小问3详解】 解：如图所示：取AB的中点D，连接OD，则， 所以， 同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，②． 联立①②可得，， 所以， 又因为， 因为，可得，所以. 【点睛】 21.如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 【答案】（1）①成立②不成立； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不成立； （2）由－仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果； （3）设，以为基底将表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值. 【详解】（1）①成立，②不成立. 若，则存在非零实数满足， 因此可得，即，所以①成立， 若，可得， 则，因此不成立，即②不成立 （2）由，得，且， 所以， 则， 故， 因为与的夹角为， 则，解得； （3）依题意设，且， 因为为BC的中点，则， 因为为BD中点，同理可得 所以 由题意可知，， 则 在中，由余弦定理得，所以， 代入上式得 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以， 因为，则， 故当时，取最大值， 则的最大值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第8章平面向量单元测试（拨尖卷） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 2．在中，，，，则　　． 3．在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则　　． 4．已知向量，若，则 ． 5.已知，向量，，当取到最大值时，的值是______． 6.在中，，，，若点满足，则的正切值为______． 7. （24-25上师大附中高一下期末）在中，，，点满足，，则_____ 8.已知平面向量满足.，且，则 . 9.已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 10.已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 11.在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数.若在圆上的点A以及在圆上的点B，对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为___________. 12．已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.已知向量，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14.已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 15. 已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16. 已知为原点，坐标平面上两两不同的4个点，，，满足，，，中的任意3点不共线，，，.对于命题：①存在，，，，使得4个向量，，，中的任意2个都不平行；②在，，，这4个数中，一定存在相等的2个数，下列判断正确的是（ ）. A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18.已知向量，； （1）求，夹角； （2）若，求实数的值. 19.已知单位向量、满足，． （1）将、的数量积表示为关于的函数； （2）求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 20. 在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 21.如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $