精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市2026年升学大考卷（三） 数学试题

二〇二六年升学模拟大考卷（三） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 如果冰箱冷藏室的温度是，冷冻室的温度是，则冷藏室比冷冻室高（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 求冷藏室比冷冻室温度高多少，就用冰箱冷藏室的温度减去冷冻室的温度，根据有理数的减法法则即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴冷藏室比冷冻室高， 故选：C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线上，含角的顶点落在直线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据和得出的度数，再由平行线的性质求出的度数，进而得出结论． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ． 5. 安塞腰鼓是延安地区的一种传统民间舞蹈艺术．如图是一个腰鼓的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的有关知识，熟练掌握三视图的概念是解题的关键．直接根据俯视图是从上面看到的平面图形，进行解答即可． 【详解】解：腰鼓的俯视图为． 故选：C． 6. 唐代诗人李白有“将军分虎竹，战士卧龙沙”之句，齐齐哈尔市龙沙公园由此而得名．概率学习小组同学将背面完全相同，正面分别写有“龙”“沙”“公”“园”的四张卡片，有字的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，恰好抽到“龙”“沙”两张卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列表找出所有等可能的抽取结果，再得到符合要求的结果数，代入概率公式计算即可. 【详解】解：将“龙”“沙”“公”“园”四张卡片分别记为A、B、C、D：列表如下： A B C D A — B — C — D — 由表格可知，共有12种等可能性的结果，其中恰好抽到“龙”“沙”两张卡片的结果有2种， ∴恰好抽到“龙”“沙”两张卡片的概率为． 7. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，分别计算即可得到的值． 【详解】解：原分式方程为， 方程两边同乘最简公分母，得 整理得：， 分式方程无解分两种情况： ①整式方程无解， ∵当一次项系数为0时，方程无解， ∴，解得． ②整式方程的解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为和，令分母为0，得增根可能为或， 把代入，得，等式不成立，此种情况不存在； 把代入，得 ，解得． 综上，的值为或． 8. 学校计划购买A和B两种品牌的排球，已知一个A品牌排球元，一个B品牌排球元，学校准备将元钱全部用于购买这两种排球（两种排球都买），则A品牌排球最多能购买的个数为（ ） A. 15个 B. 16个 C. 20个 D. 25个 【答案】C 【解析】 【分析】设出两种排球的购买个数，根据总费用列出二元一次方程，结合，都是正整数的条件，求A品牌排球个数的最大值即可． 【详解】解：设购买A品牌排球个，B品牌排球个，，均为正整数， ∵ 总费用为1500元， ∴ ， 化简得：， 变形得：， ∵ 是正整数， ∴ 是整数，且，解得， ∵ 4与5互质， ∴ 是5的倍数，且， 要求的最大值，取小于25的最大5的倍数，得，此时， 符合两种排球都买的要求，因此A品牌排球最多购买20个． 9. 如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出当和当时y与x的函数关系式，再由函数关系式判断即可解答． 【详解】解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y， ∴当时，如图： ∴； 当时，如图： ∴； ∴， 由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象及二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质并运用数形结合是解题关键． 10. 已知抛物线与轴交于点，，其中．下列结论：①；②；③函数的最小值大于；④不等式的解集为．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出函数大致图象，利用抛物线与轴交点坐标得到对称轴范围，结合开口方向和交点特征，逐一判断各结论即可． 【详解】解：根据题意画出函数大致图象如下： ∵抛物线与轴交于点，，且 ， ∴抛物线对称轴为，可得 ． ∵，由，可得 ， ∵位于两个交点之间，抛物线开口向上， ∴时， ， ∴． 故①正确． 由，不等式同乘（，不等号方向改变）， 得，即， 故②正确． 二次函数的最小值为 ， ∵， 又∵ ， ， ， ， ∴函数的最小值小于． 故③错误． ∵在函数中，当时，，当时，， ∴抛物线与直线的交点为和 ． ∵抛物线开口向上， ∴抛物线在直线上方时或 ， 即不等式解集为或， 故④错误． 故正确的结论有2个． 二、填空题（每小题分，满分分） 11. 我国航天员计划在年前登陆与地球平均距离约为万千米的月球表面开展科学探索．其中数据万用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将以万为单位的38.4万转化为普通整数，再根据科学记数法的定义确定和的值，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的值由原数转化为时小数点移动的位数确定． 【详解】解：万， ． 12. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算，设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算即可，两者之间的两个对应关系：（）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，熟练掌握两个关系是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为， 根据题意得， 解得， ∴． 故答案为：6 13. 如图，在中，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，再求出，，可得结论． 【详解】解：， ． 由作图可得：垂直平分， ， ． ， ， ， ，， ， ． 14. 如图．在平面直角坐标系中，的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线相交于点C，且．则k的值为_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】设，根据，可得，利用的面积为，列出方程即可求解． 【详解】解：与双曲线相交于点C，设， ， ，即， 的面积为， ， 解得， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查求反比例函数表达式，对于反比例函数问题，抓住反比例函数图象上的点的坐标是解决问题的关键． 15. 矩形中，，点E是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，如果点恰在矩形的对称轴上，则的长为____________． 【答案】6或 【解析】 【分析】考查了翻折变换—折叠问题、矩形的性质和勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键． 分两种情况：①过作交于M，交于N，则直线是矩形的对称轴，过作交于P，交于Q，则直线是矩形的对称轴，结合矩形的性质和勾股定理即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， 分两种情况： ①如图1，过作交于M，交于N，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∵把沿折叠，点落在处， ∴， ∴，即与N重合， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②如图2，过作交于P，交于Q，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的长为6或． 故答案为：6或． 16. 如图，抛物线与直线在第一象限交于点，将抛物线沿着轴向右平移得到抛物线，抛物线与直线在第一象限交于点和点，将抛物线沿着轴向右平移得到抛物线，抛物线与直线在第一象限交于点和点，按照此规律依次平移得到交点，，…，，则点的纵坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】联立与的方程，求解第一象限交点得到​的坐标．设​为向右平移a个单位得到的抛物线，写出​的解析式，因为在上，所以代入坐标求出​，再联立与的方程，求解第一象限的另一个交点得到​的坐标．同理得到​的坐标．观察​的纵坐标规律，归纳推导的纵坐标表达式． 【详解】解：联立抛物线和直线，得方程， 解得或， 第一象限交点​坐标为，纵坐标为． 设抛物线向右平移个单位，解析式为， 过，代入得， 因为平移后，得，即． 联立得，解得和， 第一象限新交点坐标为，纵坐标为． 同理可得坐标为，纵坐标为， 归纳可得： 交点在直线上，横坐标和纵坐标相等，规律为， 因此点的纵坐标为． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 计算与分解因式． （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数、平方差公式等进行计算求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 求不等式组的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出所有的整数解，相加即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是． ∴不等式组的整数解为，，，，，， ∴所有整数解的和为． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】将提取公因式得到，再利用因式分解法解这个一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． 20. 某地区年体育考试进行了项目调整，在原有项目基础上又增加了A．米速滑；B．足球；C．篮球；D．排球共四个项目．为了解学生选择项目的情况，现对该校名学生进行选择项目情况的调查，从中随机抽取了部分学生的选择结果，整理绘制成如下两幅尚不完整的条形统计图和扇形统计图． 利用所给信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中D的圆心角度数为_______度； （4）估计该校名学生中选择篮球的人数． 【答案】（1）100 （2） （3）144 （4）160人 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中“B”的人数除以扇形统计图中“B”的百分比可得本次调查的学生人数； （2）用本次调查的学生人数减去“A”“B”“D”的人数之和，即可得出“C”的人数，再补全条形统计图即可； （3）用“D”的人数除以本次调查的学生人数再乘即可得出扇形统计图中“D”的圆心角度数； （4）用“C”的人数除以本次调查的学生人数再乘总人数即可得出该校名学生中选择篮球的人数． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量是：． 【小问2详解】 解：“C”的人数：（人）． 【小问3详解】 解：扇形统计图中D的圆心角度数为：． 【小问4详解】 解：该校名学生中选择篮球的人数：（人）． 答：该校名学生中选择篮球的有160人． 21. 如图1，是的直径，，是的切线，B，C是切点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点 D 作，分别交，于E，F两点，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，，，结合圆周角定理可得，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，得出，进而可得，，最后由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：连接， ，都是的切线， ，，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ，， 在中，， ，，即的半径为2． 【点睛】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理、勾股定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）①填表： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 100 ②______米/秒， ______秒； （2）当时，请直接写出乙智能探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系； （3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 【答案】（1）①填表见解析②4，15； （2） （3）6秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）①求出气球乙的速度，结合图象，填表即可；②根据图象计算即可求解； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解． 【小问1详解】 解：①由图象可知气球乙的速度为：（米/秒）， ∴当时，（米）； 结合函数图象填表如下： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100 ②由题意得气球甲的速度为（米/秒）， （秒． 故答案为：4，15； 【小问2详解】 解：当时，由（1）可知，气球乙的速度为米/秒， ∴； 由图象知，， 气球乙的速度为（米秒）， ∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒）， ∵（秒）， ∴， ∴当时，； 当时，设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； 综上：； 【小问3详解】 解：如图所示： 由题意，， 设直线所在直线的解析式为， ∴，解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入，得 ，解得， 线段所在直线的函数解析式为； 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）； 当时，由题意得， 解得（舍去）或， 当时，由题意得， 解得（舍去）或（舍去）， 综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米． 23. 综合与实践 已知在中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点落在边上，射线交于点，连接． （1）问题初探：如图①，当时，小明发现所在直线是的垂直平分线，从而求出的度数，进而得到的度数，请你写出小明结论的具体证明过程； （2）实践探究：小明认为在的条件下，，也可以写成，所以猜想当时，如图②，也成立．如图③，小丽在上截取，连接，通过证明，从而得到小明的结论是正确的．请你帮助小丽完成证明过程； （3）问题解决：班级的数学活动小组对上述问题进行研究之后，在原有条件不变的情况下，提出了下面这个问题：若，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点落在边上， ，， ，， ， 垂直平分线段， ， ， ； （2）证明：如图③，在上截取，连接， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， 在和中，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，和为含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质可证，，所以所在直线是的垂直平分线，并且，可知； （2）在上截取，连接，可证，根据全等三角形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可证结论成立； （3）过点作于点，根据勾股定理和含角的直角三角形的性质求出、，分和两种情况求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：过点作于点， ， 在中，， ， ， ，， ， ， 当时，如下图所示， ， 由旋转可知，，，，， ，， ，, ， ， ， ，， ， ； 当时，如下图所示， ， 由旋转可知，，，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，或. 24. 综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，是抛物线的顶点，是第一象限内抛物线上的一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作，垂足为，当时，求点的坐标； （3）连接，，当时，点的坐标为________； （4）如图②，点和点关于抛物线的对称轴对称，过点作轴，垂足为，是线段上一动点，以为直径作圆，连接交圆于点，为线段上另一动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，再将代入即可求解； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，易得和是等腰直角三角形，由勾股定理得，设，则，，可得，代入抛物线解析式中即可求出点的坐标； （3）易证是直角三角形，则，由得，设，则，由勾股定理得，，则，代入抛物线解析式中即可求出点的坐标； （4）作点关于点的对称点，连接，，，则的最小值为的长，易得 ，则点在以为直径的圆上，取的中点，连接，交于点，此时最小，求出的值即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴． ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线可化为， 将代入，得，解得， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 在中，令， ，解得，， ∴，， ∴． ∴． ∵， ， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 设，则，， ∴， ∴． 将点代入中，得 ，解得或， ∴点的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． ， ∴， ∴． 设，则， 由（2）得：，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 将点代入中，得 ，解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴点的坐标为． 【小问4详解】 解：点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴． 如图，作点关于点的对称点，连接，，则，， ∴， ∴的最小值为的长． ∵为直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取的中点，连接，交于点，此时最小， ∵， ∴， ∴，， ∴，, ∴． ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年升学模拟大考卷（三） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 如果冰箱冷藏室的温度是，冷冻室的温度是，则冷藏室比冷冻室高（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线上，含角的顶点落在直线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 安塞腰鼓是延安地区的一种传统民间舞蹈艺术．如图是一个腰鼓的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 唐代诗人李白有“将军分虎竹，战士卧龙沙”之句，齐齐哈尔市龙沙公园由此而得名．概率学习小组同学将背面完全相同，正面分别写有“龙”“沙”“公”“园”的四张卡片，有字的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，恰好抽到“龙”“沙”两张卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 学校计划购买A和B两种品牌的排球，已知一个A品牌排球元，一个B品牌排球元，学校准备将元钱全部用于购买这两种排球（两种排球都买），则A品牌排球最多能购买的个数为（ ） A. 15个 B. 16个 C. 20个 D. 25个 9. 如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 10. 已知抛物线与轴交于点，，其中．下列结论：①；②；③函数的最小值大于；④不等式的解集为．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题分，满分分） 11. 我国航天员计划在年前登陆与地球平均距离约为万千米的月球表面开展科学探索．其中数据万用科学记数法表示为________． 12. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____． 13. 如图，在中，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，则的度数为________． 14. 如图．在平面直角坐标系中，的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线相交于点C，且．则k的值为_________． 15. 矩形中，，点E是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，如果点恰在矩形的对称轴上，则的长为____________． 16. 如图，抛物线与直线在第一象限交于点，将抛物线沿着轴向右平移得到抛物线，抛物线与直线在第一象限交于点和点，将抛物线沿着轴向右平移得到抛物线，抛物线与直线在第一象限交于点和点，按照此规律依次平移得到交点，，…，，则点的纵坐标为________． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 计算与分解因式． （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 求不等式组的所有整数解的和． 19. 解方程：． 20. 某地区年体育考试进行了项目调整，在原有项目基础上又增加了A．米速滑；B．足球；C．篮球；D．排球共四个项目．为了解学生选择项目的情况，现对该校名学生进行选择项目情况的调查，从中随机抽取了部分学生的选择结果，整理绘制成如下两幅尚不完整的条形统计图和扇形统计图． 利用所给信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中D的圆心角度数为_______度； （4）估计该校名学生中选择篮球的人数． 21. 如图1，是的直径，，是的切线，B，C是切点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点 D 作，分别交，于E，F两点，若，，求的半径． 22. 在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）①填表： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 100 ②______米/秒， ______秒； （2）当时，请直接写出乙智能探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系； （3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 23. 综合与实践 已知在中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点落在边上，射线交于点，连接． （1）问题初探：如图①，当时，小明发现所在直线是的垂直平分线，从而求出的度数，进而得到的度数，请你写出小明结论的具体证明过程； （2）实践探究：小明认为在的条件下，，也可以写成，所以猜想当时，如图②，也成立．如图③，小丽在上截取，连接，通过证明，从而得到小明的结论是正确的．请你帮助小丽完成证明过程； （3）问题解决：班级的数学活动小组对上述问题进行研究之后，在原有条件不变的情况下，提出了下面这个问题：若，，请直接写出的长． 24. 综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，是抛物线的顶点，是第一象限内抛物线上的一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作，垂足为，当时，求点的坐标； （3）连接，，当时，点的坐标为________； （4）如图②，点和点关于抛物线的对称轴对称，过点作轴，垂足为，是线段上一动点，以为直径作圆，连接交圆于点，为线段上另一动点，连接，，则的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $