4.5.1 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的周期性、奇偶性与对称性核心考点，按定义域、性质（周期、奇偶、对称）的逻辑层次梳理知识，通过考点表格归纳、方法技巧指导、真题模拟训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破性质应用难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用一题多解（如周期性计算结合图象与公式）和分层练习（基础题组到综合解答题）设计，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达），通过2025全国Ⅰ卷等真题实例强化考点对接，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第1课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 三角函数的定义域 题组练透 1.函数y＝的定义域为（　　） A.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} B.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} C.{x｜x≠kπ，k∈Z} D.{x｜x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z} 解析：D　要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为{x｜x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}. 2.函数y＝lg sin x＋的定义域为　{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}　. 解析：要使函数有意义，则有即解得（k∈Z），所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数的定义域为{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}. 3.〔一题多解〕函数y＝的定义域为　{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}　. 解析：法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x≥cos x的x范围为［，］，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}. 法二　sin x－cos x＝sin（ x－）≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ（k∈Z），解得2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z），所以定义域为{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}. 练后悟通 三角函数定义域的求法 　　求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象（三角函数线），对有限集、无限集求交集.与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域. 三角函数的周期性 （1）函数f（x）＝cos（ x＋）的最小正周期是（　D　） A. B. C.π D.2π 解析： 对于f（x）＝Acos（ωx＋φ），T＝，所以f（x）＝cos（ x＋）的最小正周期是2π. （2）（2026·江苏扬州模拟）若函数f（x）＝2cos2（ωx－）＋1（ω＞0）的图象相邻两条对称轴的距离为2π，则ω的值为（　C　） A.1 B. C. D. 解析：由题可得，f（x）＝2cos2（ωx－）＋1＝2×＋1＝cos（2ωx－）＋2.由于函数f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为2π，所以其最小正周期为4π，则4π＝，解得ω＝.故选C. 规律方法 练1 （1）（2026·江西吉安质检）函数y＝2 026tan（x－）的最小正周期为（　B　） A.2 B.4 C.2π D.4π 解： 由题意，得函数的最小正周期T＝＝4.故选B. （2）〔一题多解〕（2026·广东佛山模拟）函数f（x）＝cos x＋cos 2x的最小正周期为（　C　） A.π B. C.2π D.4π 解：法一　由于y＝cos x的最小正周期为2π，y＝cos 2x的最小正周期为π，2π与π的最小公倍数是2π，所以函数f（x）的最小正周期为2π.故选C. 法二　因为f（x）＝cos x＋cos 2x，所以f（x＋π）＝cos（x＋π）＋cos 2（x＋π）＝－cos x＋cos 2x≠f（x），所以π不是函数f（x）的周期，同理也不是函数f（x）的周期，而f（x＋2π）＝cos（x＋2π）＋cos 2（x＋2π）＝cos x＋cos 2x＝f（x），所以函数2π是f（x）的周期，又因4π也是f（x）的周期，但4π不是f（x）的最小正周期，故选C. 奇偶性 与三角函数的奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）； （2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）. （1）（2026·北京海淀质检）函数f（x）＝cos2（x－）－sin2（x＋）是（　D　） A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为π的奇函数 解析： 由题可得，f（x）＝cos2（x－）－sin2（x＋）＝－＝－sin 2x.由于f（－x）＝－sin（－2x）＝sin 2x＝－f（x），且定义域为R，所以f（x）是奇函数，且其最小正周期为＝π.故选D. （2）若函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）为偶函数，则θ的一个值可以是（　A　） A. B. C.－ D. 解析：由f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）＝2sin（ 2x＋θ＋），f（x）为偶函数，可得θ＋＝kπ＋，k∈Z，所以θ＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，可得θ＝. 规律方法 三角函数奇偶性的判断及应用 （1）判断与三角函数有关的奇偶性，应先对函数解析式进行化简，然后根据奇偶函数的定义进行判断，注意定义域是否关于原点对称.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式； （2）根据函数奇（偶）性求参数的值时，主要根据函数y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）是奇（偶）函数的充要条件进行求解. 练2 （1）（2026·浙江温州模拟）若函数f（x）＝4cos（x＋＋φ）为奇函数，则函数g（x）＝3sin（x＋＋2φ）是（　A　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 （2）（2026·福建福州质检）已知函数f（x）＝xcos x＋sin x－tan 2x＋a，且f（－m）＝－2，则f（m）＝（　B　） A.a＋2 B.2a＋2 C.2a＋4 D.2 解析：（1）因为f（x）＝4cos（x＋＋φ）为奇函数，所以＋φ＝kπ＋（k∈Z），于是φ＝kπ＋（k∈Z），因此g（x）＝3sin（x＋＋2kπ＋）＝－3sin x，所以g（x）为奇函数.故选A. （2）因为f（－x）＝－xcos（－x）＋sin（－x）－tan（－2x）＋a＝－xcos x－sin x＋tan 2x＋a，故f（x）＋f（－x）＝2a.所以f（m）＋f（－m）＝2a，又f（－m）＝－2，所以f（m）＝2a＋2，故选B. 对称性 对称性与周期 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期； （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. （1）（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　B　） A. B. C. D. 解析： 令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan（x－）的图象的对称中心为（＋，0），k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B. （2）〔多选〕（2026·豫西北教研联盟第一次质检）已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0）图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则（　AC　） A.ω＝2 B.函数f（x）为奇函数 C.函数f（x）的图象关于点（ －，0）对称 D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 解析：f（x）＝sin ωx－cos ωx＝2（ sin ωx－cos ωx）＝2sin（ ωx－），因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以T＝，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝2sin（ 2x－），故A正确；显然，函数f（x）为非奇非偶函数，故B错误；对于C选项，f（ －）＝2sin＝2sin（－π）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（ －，0）对称，故C正确；对于D选项，f（ ）＝2sin（ 2×－）＝2sin（ ）＝－1，所以函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故D错误. 规律方法 三角函数对称性应用技巧 1.求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的形式，再把（ωx＋φ）整体看成一个变量. （1）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x；若f（x）＝Acos（ωx＋φ），只需令ωx＋φ＝kπ，求x； （2）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x；若f（x）＝Acos（ωx＋φ），只需令ωx＋φ＝kπ＋，求x. 2.判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过三角函数图象的最高点或最低点，对称中心横坐标一定是函数的零点的性质进行检验判断. 练3 （1）（2026·浙江金华模拟）已知函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＞0）的图象在区间（0，1）上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（　C　） A.（，］ B.（，］ C.（，］ D.（，］ （2）〔一题多解〕设函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，则实数a＝　－　. 解析：（1）由x∈（0，1），得＜ωx＋＜ω＋.由f（x）的图象在区间（0，1）上恰有一个对称中心，得＜ω＋≤，所以＜ω≤.故选C. （2）法一　因为y＝sin 2x＋acos 2x＝·sin（2x＋θ），其中a＝tan θ.又图象关于直线x＝－对称，故在x＝－处，函数应取得最大或最小值.所以当x＝－时，y＝sin（－）＋acos（－）＝－＋a＝±，解得a＝－. 法二　因为函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，所以f（x）的图象上到x＝－的距离相等的x值对应的函数值相等，即f（－＋x）＝f（－－x）对定义域内任何值都成立.令x＝，得f（0）＝f（－）.所以0＋a＝sin（－）＋acos（－）.解得a＝－. 法三　因为函数的图象关于直线x＝－对称，所以－为函数的极值点，又y'＝2cos 2x－2asin 2x，所以当x＝－时，y'＝0，即cos（－）－asin（－）＝0，解得a＝－. （时间：60分钟，满分：87分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.函数f（x）＝的定义域为（　　） A.［＋4kπ，＋4kπ］（k∈Z） B.［＋4k，＋4k］（k∈Z） C.［＋4kπ，＋4kπ］（k∈Z） D.［＋4k，＋4k］（k∈Z） 解析：B　由题意，得2sinx－1≥0，x∈［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z），则x∈［＋4k，＋4k］（k∈Z）. 2.已知f（x）＝sin2（x＋）－，则f（x）是（　　） A.奇函数且最小正周期为π B.偶函数且最小正周期为π C.奇函数且最小正周期为2π D.偶函数且最小正周期为2π 解析：A　f（x）＝sin2（x＋）－＝－＝sin 2x，故f（x）为奇函数，且最小正周期T＝＝π，故选A. 3.（2026·河南焦作模拟）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（－＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，则tan＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：C　由题可知2×＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－，k∈Z，又－＜φ＜，所以φ＝，所以tan＝tan＝. 4.已知函数f（x）＝cos［ω（x－）＋］（ω＞0）的图象关于原点中心对称，则ω的最小值为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：B　函数f（x）＝cos［ω（x－）＋］的图象关于坐标原点中心对称，则－ω＋＝kπ＋（k∈Z），解得ω＝－3k－.又ω＞0，则当k＝－1时，ω取得最小值，故选B. 5.（2026·山东威海模拟）已知函数f（x）＝sin xcos（2x＋φ）（φ∈[0，π]）为偶函数，则φ＝（　　） A.0 B. C. D.π 解析：C　因为f（x）定义域为R，且为偶函数，所以f（－）＝f（）⇒－cos（－π＋φ）＝cos（π＋φ）⇒cos φ＝－cos φ⇒cos φ＝0，因为φ∈[0，π]，所以φ＝.当φ＝时，f（x）＝－sin xsin 2x为偶函数满足题意.故选C. 6.函数f（x）＝在[－π，π]上的图象大致为（　　） 解析：D　因为f（－x）＝＝＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，故排除A；因为f（）＝＝＞1，所以排除B、C.故选D. 7.〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（　　） A.f（x）与g（x）有相同的零点 B.f（x）与g（x）有相同的最大值 C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 解析：BC　A选项，令f（x）＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f（x）零点，令g（x）＝sin（2x－）＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A选项错误；B选项，显然f（x）max＝g（x）max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D选项错误.故选B、C. 8.函数y＝tan（x－）图象的对称中心为　（＋，0）（k∈Z）　. 解析：因为y＝tan x的对称中心为（，0）（k∈Z），令x－＝，x＝＋（k∈Z），所以y＝tan（x－）图象的对称中心为（＋，0）（k∈Z）. 9.函数y＝2cos x，x∈[0，2π]和y＝2的图象围成的一个封闭的平面图形的面积是　4π　. 解析：如图所示，易知封闭图形的面积是矩形ABCD面积的一半，而AD＝4，AB＝2π，所以此封闭图形的面积为AD·AB＝×4×2π＝4π. 10.（10分）已知函数f（x）＝cos（sin x）定义域为R. （1）证明2π为f（x）的一个周期； （2）判断f（x）的奇偶性. 解：（1）证明：∀x∈R，∵f（x＋2π）＝cos[sin（x＋2π）]＝cos（sin x）＝f（x）， ∴2π为f（x）的一个周期. （2）对于f（x）＝cos（sin x），∀x∈R， 则－x∈R，f（－x）＝cos[sin（－x）] ＝cos（－sin x） ＝cos（sin x）＝f（x）， ∴f（x）为偶函数. 11.函数y＝sin x与y＝tan x的图象在[－2π，2π]上的交点个数为（　　） A.3 B.5 C.7 D.9 解析：B　由得sin x＝tan x，即sin x（1－）＝0，∴sin x＝0或1－＝0，即x＝kπ（k∈Z），又－2π≤x≤2π，∴x＝－2π，－π，0，π，2π，从而两图象的交点个数为5. 12.〔多选〕若直线x＝是函数f（x）＝asin x＋bcos x（ab≠0）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（　　） A.b＝a B.直线x＝－是函数f（x）图象的一条对称轴 C.点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心 D.若f（x1）＝2a，f（x2）＝2a，且x1≠x2，则｜x1－x2｜的最小值为π 解析：ABC　对于A，因为直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴，故f（0）＝f（），所以asin 0＋bcos 0＝asin＋bcos，得b＝a，所以A正确；对于B，由A选项可知f（x）＝asin x＋acos x＝2asin（x＋），则f（－）＝2asin（－＋）＝2asin（－）＝－2a，所以直线x＝－是函数f（x）图象的一条对称轴，所以B正确；对于C，因为f（）＝2asin（＋）＝2asin π＝0，所以点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，所以C正确；对于D，因为f（x1）＝2a，f（x2）＝2a，x1≠x2，所以x＝x1，x＝x2是f（x）的两条对称轴，且2a又是f（x）的最大值（或最小值），则｜x1－x2｜min＝2π，故D错误. 13.记函数f（x）＝sin（ωx＋）＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若＜T＜π，且函数y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，则f（）＝　1　. 解析：函数y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，则有b＝2，且f（）＝2，所以sin（ω＋）＋2＝2，则ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，由T＝，且＜T＜π，所以＜＜π，即＜k＜，又因k∈Z，得k＝4，ω＝，故f（）＝sin（×＋）＋2＝－1＋2＝1. 14.（15分）已知f（x）＝2sin（ωx＋φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）有两个相邻的零点：－，. （1）求f（x）的解析式； （2）若f（α）＝，求cos 6α的值. 解：（1）因为函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）有两个相邻的零点：－，， 所以T＝2［－（－）］＝，得ω＝＝. 所以f（x）＝2sin（x＋φ）. 再将点（－，0）代入f（x）＝2sin（x＋φ）中，得2sin（×（－）＋φ）＝0， 得2sin（－＋φ）＝0，所以－＋φ＝kπ（k∈Z），得φ＝kπ＋（k∈Z）. 又0＜φ＜，所以φ＝. 所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x＋）. （2）因为f（α）＝， 所以2sin（α＋）＝. 所以2sinα·＋2cosα·＝. 所以sinα＋cosα＝. 两边平方得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝， 所以2sinαcosα＝－，即sin 3α＝－. 所以cos 6α＝1－2sin23α＝1－2×（－）2＝ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 三角函数的定义域 题组练透 1.函数y＝的定义域为（　　） A.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} B.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} C.{x｜x≠kπ，k∈Z} D.{x｜x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z} 2.函数y＝lg sin x＋的定义域为　　　　. 3.〔一题多解〕函数y＝的定义域为　　　　. 三角函数定义域的求法 　　求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象（三角函数线），对有限集、无限集求交集.与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域. 三角函数的周期性 （1）函数f（x）＝cos（ x＋）的最小正周期是（　　） A.　　　 B. C.π　　　 D.2π （2）（2026·江苏扬州模拟）若函数f（x）＝2cos2（ωx－）＋1（ω＞0）的图象相邻两条对称轴的距离为2π，则ω的值为（　　） A.1 B. C. D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 练1 （1）（2026·江西吉安质检）函数y＝2 026tan（x－）的最小正周期为（　　） A.2 B.4 C.2π D.4π （2）〔一题多解〕（2026·广东佛山模拟）函数f（x）＝cos x＋cos 2x的最小正周期为（　　） A.π B. C.2π D.4π 奇偶性 与三角函数的奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）； （2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）. （1）（2026·北京海淀质检）函数f（x）＝cos2（x－）－sin2（x＋）是（　　） A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为π的奇函数 （2）若函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）为偶函数，则θ的一个值可以是（　　） A. B. C.－ D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角函数奇偶性的判断及应用 （1）判断与三角函数有关的奇偶性，应先对函数解析式进行化简，然后根据奇偶函数的定义进行判断，注意定义域是否关于原点对称.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式； （2）根据函数奇（偶）性求参数的值时，主要根据函数y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）是奇（偶）函数的充要条件进行求解. 练2 （1）（2026·浙江温州模拟）若函数f（x）＝4cos（x＋＋φ）为奇函数，则函数g（x）＝3sin（x＋＋2φ）是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 （2）（2026·福建福州质检）已知函数f（x）＝xcos x＋sin x－tan 2x＋a，且f（－m）＝－2，则f（m）＝（　　） A.a＋2 B.2a＋2 C.2a＋4 D.2 对称性 对称性与周期 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期； （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. （1）（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A. B. C. D. （2）〔多选〕（2026·豫西北教研联盟第一次质检）已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0）图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则（　　） A.ω＝2 B.函数f（x）为奇函数 C.函数f（x）的图象关于点（ －，0）对称 D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角函数对称性应用技巧 1.求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的形式，再把（ωx＋φ）整体看成一个变量. （1）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x；若f（x）＝Acos（ωx＋φ），只需令ωx＋φ＝kπ，求x； （2）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x；若f（x）＝Acos（ωx＋φ），只需令ωx＋φ＝kπ＋，求x. 2.判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过三角函数图象的最高点或最低点，对称中心横坐标一定是函数的零点的性质进行检验判断. 练3 （1）（2026·浙江金华模拟）已知函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＞0）的图象在区间（0，1）上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（　　） A.（，］ B.（，］ C.（，］ D.（，］ （2）〔一题多解〕设函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，则实数a＝　　　　. 第1课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 （时间：60分钟，满分：87分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.函数f（x）＝的定义域为（　　） A.［＋4kπ，＋4kπ］（k∈Z） B.［＋4k，＋4k］（k∈Z） C.［＋4kπ，＋4kπ］（k∈Z） D.［＋4k，＋4k］（k∈Z） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.已知f（x）＝sin2（x＋）－，则f（x）是（　　） A.奇函数且最小正周期为π B.偶函数且最小正周期为π C.奇函数且最小正周期为2π D.偶函数且最小正周期为2π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.（2026·河南焦作模拟）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（－＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，则tan＝（　　） A. B.－ C. D.－ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.已知函数f（x）＝cos［ω（x－）＋］（ω＞0）的图象关于原点中心对称，则ω的最小值为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.（2026·山东威海模拟）已知函数f（x）＝sin xcos（2x＋φ）（φ∈[0，π]）为偶函数，则φ＝（　　） A.0 B. C. D.π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.函数f（x）＝在[－π，π]上的图象大致为（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（　　） A.f（x）与g（x）有相同的零点 B.f（x）与g（x）有相同的最大值 C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.函数y＝tan（x－）图象的对称中心为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.函数y＝2cos x，x∈[0，2π]和y＝2的图象围成的一个封闭的平面图形的面积是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.（10分）已知函数f（x）＝cos（sin x）定义域为R. （1）证明2π为f（x）的一个周期； （2）判断f（x）的奇偶性. 11.函数y＝sin x与y＝tan x的图象在[－2π，2π]上的交点个数为（　　） A.3 B.5 C.7 D.9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.〔多选〕若直线x＝是函数f（x）＝asin x＋bcos x（ab≠0）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（　　） A.b＝a B.直线x＝－是函数f（x）图象的一条对称轴 C.点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心 D.若f（x1）＝2a，f（x2）＝2a，且x1≠x2，则｜x1－x2｜的最小值为π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.记函数f（x）＝sin（ωx＋）＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若＜T＜π，且函数y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，则f（）＝　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.（15分）已知f（x）＝2sin（ωx＋φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）有两个相邻的零点：－，. （1）求f（x）的解析式； （2）若f（α）＝，求cos 6α的值 学科网（北京）股份有限公司 $