4.9 三角函数中ω与φ的范围问题（全国通用）-2027年高考数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数中ω与φ范围这一核心考点，系统整合奇偶性、周期、单调性、对称性、最值等性质，按“结论梳理—考点分类—真题训练”逻辑架构，通过六大考点的方法指导与分层练习，帮助学生构建知识网络，突破参数范围求解难点。 资料以“结论引领—问题驱动”创新教学，如单调性问题中用整体代换转化不等式培养数学思维，最值问题通过换元法提升数学语言表达能力。设置基础到综合的真题演练，配合即时反馈，确保高效突破高频考点，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供有力支撑。

4.9 三角函数中ω与的范围问题 函数的奇偶性的问题 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若为奇函数，则； （2）若为偶函数，则； （3）若为奇函数，则； （4）若为偶函数，则； 若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数． 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，． （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均． 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式． 如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体， 如由解出的范围，所得区间即为增区间； 由解出的范围，所得区间即为减区间． 若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间． 对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可． 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． （1），设，化为一次函数在上的最值求解． （2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1） （3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． （4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． （5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解时务必注意或的范围． （6）导数法 考点一　三角函数的单调性ω与的应用 考点二　三角函数图象的对称性ω与的应用 考点三　三角函数的最值ω与的应用 考点四　三角函数的零点ω与的应用 考点五　三角函数的奇偶性ω与的应用 考点六　三角函数的最值的各种求法 考点一　三角函数的单调性ω与的应用 1．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）函数，对都有，且在上单调，则的值为________ 2．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习），在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C． D．0 4．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）若函数在上单调，则的取值范围是__________． 6．（25-26高三上·湖南衡阳·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 8．（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 9．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 考点二　三角函数图象的对称性ω与的应用 10．（25-26高三上·四川成都·期中）函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 11．（2026·重庆·模拟预测）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 13．（25-26高三上·江西赣州·期中）（多选）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·河南濮阳·二模）已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________． 15．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，其中.若，且在区间上单调，则______. 16．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 17．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，．若的图象关于直线对称，则（    ） A．0 B． C． D． 18．（25-26高三上·江苏镇江·期末）已知函数（，），若的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三　三角函数的最值ω与的应用 19．（25-26高二·全国·暑假作业）已知函数的最大值为1，最小值为，试确定的单调减区间． 20．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. 21．（25-26高三上·江西景德镇·期中）已知函数，若方程在上恰有5个实数解，则实数的取值范围为_____． 22．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 23．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 24．（2026·安徽合肥·三模）将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·上海·期中）设，，函数，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，则的取值范围为______. 26．（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 27．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 考点四　三角函数的零点ω与的应用 28．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（2026·北京·模拟预测）设函数，若恒成立，且在上存在零点，写出一个满足题意的的值为___________. 30．（2026·陕西渭南·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若在单调递增，则 B．若在上恰有三个零点，则 C．若在上恰有三个零点，则 D．若向左平移后的图象与图象关于对称，则 31．（2026·山东临沂·二模）若为函数的一个零点，且的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数，若在上恰有三个零点，则（    ） A． B． C． D． 考点五　三角函数的奇偶性ω与的应用 33．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______． 34．（2026·山东·模拟预测）若函数为偶函数，则的最小值为_____. 35．（24-25高三上·四川眉山·期中）已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是___________. 36．（25-26高二下·浙江宁波·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数是奇函数，则的最小值为________. 37．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________. 38．（25-26高三上·广东清远·阶段检测）若为偶函数，则______. 39．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数，写出满足“将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，为奇函数”的的一个值：_____． 40．（25-26高三上·河北沧州·开学考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是 _____________ ． 考点六　三角函数的最值的各种求法 41．（25-26高三上·上海·期中）函数的值域为______； 42．（23-24高三上·江西景德镇·期中）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 43．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的值域． 44．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知函数在处取得最大值，则_____． 45．（25-26高三上·河南南阳·期中）关于x的方程在区间有两个不相等的解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 46．（2026·内蒙古赤峰·三模）已知向量，则函数的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 47．（24-25高三上·江苏常州·阶段检测）函数的最小值是__________. 48．（24-25高三上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为________； （2）函数的值域为________． 49．（2024高一·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 50．（24-25高三上·上海金山·阶段检测）已知函数. (1)将化简为的形式，并求出其最小正周期； (2)若，求函数的最大值和最小值以及取最值时对应的的值. 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南南阳·期中）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·二模）已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 5．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江西·阶段检测）将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南·三模）已知函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·四川泸州·期中）已知函数（，）的最小正周期为，且其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·北京西城·期中）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的一个可能取值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·重庆·期末）若函数的图象关于直线对称，且在上单调递增.若，则（     ） A． B． C．0 D． 13．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 14．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·陕西西安·期末）（多选）已知函数在区间有且只有一个最大值点，则的取值可以是（       ） A． B． C． D． 16．（2025高三上·江苏·专题练习）（多选）若函数的最大值是4，最小值是，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 17．（2026·陕西咸阳·二模）（多选）已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 18．（23-24高三上·广东·阶段检测）（多选）已知函数，则（    ） A．若，则 B．若函数为偶函数，则 C．若在上单调，则 D．若时，且在上单调，则 19．（25-26高三上·浙江温州·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的图象关于点中心对称 B．若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C．若在单调递增，则 D．若在上恰有三个零点，则 20．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 21．（25-26高三上·河北承德·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是________． 22．（2025高三·全国·竞赛）函数，是函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，是的一个单调区间，则的最大值为_____. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.9 三角函数中ω与的范围问题 函数的奇偶性的问题 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若为奇函数，则； （2）若为偶函数，则； （3）若为奇函数，则； （4）若为偶函数，则； 若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数． 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，． （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均． 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式． 如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体， 如由解出的范围，所得区间即为增区间； 由解出的范围，所得区间即为减区间． 若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间． 对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可． 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． （1），设，化为一次函数在上的最值求解． （2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1） （3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． （4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． （5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解时务必注意或的范围． （6）导数法 考点一　三角函数的单调性ω与的应用 考点二　三角函数图象的对称性ω与的应用 考点三　三角函数的最值ω与的应用 考点四　三角函数的零点ω与的应用 考点五　三角函数的最值的各种求法 考点一　三角函数的单调性ω与的应用 考点二　三角函数图象的对称性ω与的应用 考点三　三角函数的最值ω与的应用 考点四　三角函数的零点ω与的应用 考点五　三角函数的最值的各种求法 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $