第3章 第7节 正弦定理与余弦定理的应用-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第三章三角函数、解三角形 第7节正弦定理与余弦定理的应用 ★[课程标准]正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 重要结论 解三角形在实际问题中的应用 解三角形应用题的4步骤 (1)常见的几种题型 分析 理解题意，分清己知与未知，画出示意图 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、 计算面积问题、航海问题、物理问题等. 建模 根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集 中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型 (2)实际应用中的常用术语 求解 利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，求得数学 模型的解 术语名称 术语意义 图形表示 检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出 检验 实际问题的解 在目标视线与水平视 线所成的角中，目标 目标 自主诊断 仰角与 视线在水平视线 视线 仰角水平 ◆[思考辨析] 俯角 的叫做仰角，目 线 俯角视线 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 、目标 标视线在水平视线 视线 里打“√”，错误的打“×” (1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 的叫做俯角 [o,] 从某点的正北方向线 (2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定 起按 方向到 观察点与目标点之间的位置关系. () 北 目标方向线之间的水 (3)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的 方位角 135°东 平夹角叫做方位角， 范围一般是[0， 方位角的范围 (4)某人从A地向正东方向走了3米到达B地， 是 再从B地向右转60°后又走了3米到达C地，则 A、C两地间的距离是3√5米. ( 正北或正南方向线与 (5)某人在A处测得一电线杆的仰角为15°，向 前走了10米到达B处，又测得电线杆的仰角为 目标方向线所成的锐 方向角 北 30°，于是就说电线杆的高度为5米 ) 角，通常表达为北 ◆[小题查验] (南)偏东（西）××度 1.(教材改编)如图，设点A,B 在河的两岸，一测量者在A 设坡角为a, 的同侧所在的河岸边选定一 坡角 坡面与水平面的夹角 坡度为i,则i 点C,测出A,C两点间的距 h 离为50m,∠ACB=45°， -tan a ∠CAB=105°，则A,B两点间的距离为( 坡面的垂直高度h和 坡度 A.252 B.25√2m 水平宽度1的比 2 m C.50√2m D.50√3m 101· 高考总复习人教数学B版（新教材） 2.(教材改编)一艘船以每小时15km的速度向东 4.(2022·浙江卷，11)我国南宋著名数学家秦九 航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方 韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这 向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北 种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学 偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为 的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S A.15√2km B.30√2km c2+a2- ]其中a,b,c是三 C.45√2km D.60√2km 角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的 3.(教材改编)有一坡面长为10m的斜坡，倾斜角 三边a=√2，b=√3，c=2,则该三角形的面积S= 为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加 长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要 5.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°， 延长 沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处， A.5 m B.10m 又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为 C.10√2m D.103m m. 跃升>关健能力 层级突破素养提升 考点1 测量距离问题（应用点）》 跟踪训练 [典例]为了测量两山顶 (2024·重庆市巴蜀中学 a M、N间的距离，飞机沿 模拟)重庆奉节小寨天坑 水平方向在A、B两点 景区拥有世界上深度和容 进行测量，A、B、M、N 积最大的岩溶漏斗，吸引 在同一铅垂平面内.飞 游客来此参观留影.为了测量天坑边上如图新示 机已经测量的数据有：A点到M、N点的俯角 的A,B两点间的距离，现在旁边取两点C,D,测 a1B;B点到M、N点的俯角a2、B2;A、B的距离 d(如图所示). 得CD=300米，∠ADB=至，∠BDC=∠DCA 甲乙两位同学各自给出了计算MN的两种方 案，请你补充完整。 12∠ACB= 2(假设A,B,C,D四点在同一 甲方案：第一步：计算AM.由正弦定理AM= 平面上)，则AB两点的距离为 米 春点2 测量高度问题（应用点） 第二步：计算AN.由正弦定理AN 第三步：计算MN.由余弦定理MN [典例] 如图所示， 乙方案：第一步：计算BM.由正弦定理BM 有两座建筑物AB 和CD都在河的对 第二步：计算BN.由正弦定理BN= 岸（不知道它们的 第三步：计算MN.由余弦定理MN 高度，且不能到达 [尝试解答] 对岸)，某人想测量 方法指导 两座建筑物尖顶 测量距离问题的2个策略 A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求 具.若此人在地面上选一条基线EF,用卷尺测得 量所在的三角形，若其他量已知则直接求解； EF的长度为a,并用测角仪测量了一些角度： 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角 ∠AEF=a,∠AFE=B,∠CEF=O,∠CFE=o, 形中求解. ∠AEC=Y.请你用文字和公式写出计算A、C之 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用， 间距离的步骤和结果。 就选择更便于计算的定理. 102 第三章三角函数、解三角形 核心素养 跟踪训练 数学建模—解三角形在实际应用中的核心素养 (2024·宁夏石嘴山平罗中学校考)如图，中华中学 以正弦定理、余弦定理为基础，把现实生活中的实际问题，这里主 某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高 要是长度、高度与角度问题，通过“建模”转化为数学问题，进而通过数 度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又 学运算来解释实际问题，并接受实际的检验，以发展和提升数学建模的 利用无人机在离地面高400m的M处（即MD= 核心素养具体见下表： 信息提取 信息解读 数学建模 400m),观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处 的俯角为45°，则山高BC= m. 某人想测量两座 建筑物AB和CD 模型：解三角形 尖顶A、C之间的 通过测量一些量，利用 实际应用模型： 距离（两座建筑物 正弦定理和余弦定理 着眼点：利用正 都在河的对岸，不 解三角形，求出AC 弦定理和余弦 知道它们的高度， 定理解三角形. 且不能到达对岸). 求解步骤： 用下图描述 如下： 专点3 测量角度问题（应用点） 实验问 [典例们 游客从某旅游景区的 用卷尺测得基线 题的解 本例中实际问题经抽 EF的长度为a,并 景点A处至景点C处有两条 象概括后，已知量与未 用测角仪测量了 知量涉及三个三角形， 线路.线路1是从A沿直线 一些角度：∠AEF 在△AEF和△CEF 酱 步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B =a, 中，都是已知两角及其 ∠AFE-B, 处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游 夹边，运用正弦定理即 角形 ∠CEF=0, 客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的 ∠CFE=9, 可求出AE和CE,转 化为在△ACE中已知 知识 ∠AEC=Y(只有 两边及其夹角，然后运 速度的号倍，甲走线路2.乙走线路1，最后他们 卷尺和测量仪两 解三角形 种工具). 用余弦定理求出AC. 同时到达C处.经测量，AB=1040m,BC=500m, 则sin∠BAC等于 [尝试解答 [尝试解答] 方法指导 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画 出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的 角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形， 最后将解得的结果转化为实际问题的解。 提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定 方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角. 跟踪训练 1.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的 方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲 船是乙船速度的√3倍，甲船为了尽快追上乙船， 朝北偏东0方向前进，则0 ( A.15 B.30 C.45 D.60° 方法点拨 2.如图，在三棱锥PABC的平面展 D(P) 高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面 上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要 开图中，AC=1,AB=AD=√3，AB 求解的高度（某线段的长度）纳入到一个可解的 ⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°， 三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求 出该高度 则cos∠FCB= E(P) F(P) 103 高考总复习人教数学B版（新教材） 专点4正、余弦定理在平面几何中的应用重难点) 跟踪训练 [典例](2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角 如图，在平面四边形ABCD中， A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面 AB⊥BC,AB=2,BD=√5， 积为√，D为BC的中点，且AD=1. ∠BCD=2∠ABD,△ABD的 I)若∠ADC=号，求anB: 面积为2. (1)求AD的长； (2)若b2+c2=8,求b,c. (2)求△CBD的面积. [尝试解答] 方法指导 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件 和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形 中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求 的关系 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形， 然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理 求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共 条件，求出结果 提醒：做题过程中，要用到平面几何中的一些知 识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的 一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机 C温馨提 结合，才能顺利解决问题. 学习至此，请完成配套训练课时冲关30 104即sin Bcos A十cos Bsin A-sin Bcos A<0. 所以cos Bsin A0.又sinA>0,于 是有cOsB<0,B为钝角，所以 △ABC是钝角三角形. 考点3 [典例][解](1)因为+一a cos A 2bccos A=2bc=2, cos A 所以bc=1. (2)acos B-bcos Ab a cos B+bcos A = sin Acos B-sin Bcos A sin B sin Acos B-sin Bcos A sin C =1, 所以sin(A-B)_sinB sin(A+B)sin C sin(A-B)-sin B=1, sin C 所以sin(A-B)-sinB=sinC =sin(A十B), 所以sin Acos B-sin Bcos A-sinB =sin Acos B-sin Bcos A, 即cosA=- ，由A为三角形内角 1 得A-经，△ABC面积S=einA 1x9= 2 4 跟踪训练 解：(1)由sin2C=3sinC, 得2 sin Ceos C=√sinC, 血C≠0imsC=9.又0<0< 受∠C=吾 (2Sax=65∴7 in C=65, 1 六sinC=za=45, 由余弦定理得c2=a2十b-2 abcos C =48+36-2X45×6×5 =12, 解得c=2√5，所以△ABC的周长为 63+6. 第7节 夯实·必备知识必备知识 (2)上方下方顺时针(0°，360) 思考辨析(1)×(2)/(3) (4)/(5) 小题查验 1.C2.B 3.C 4.②3 4 5.500(√3+1) 跃升·关键能力考点1 [典例][答案] dsin a dsin B sina十a&)sing一B） AM+AN2-2AMX ANcos(aB) dsin a dsin B sin(a1+a2)sin(8一月) BM+BN2+2BMX BNcos(B,+a) 参考答案 跟踪训练 B 跟踪训练1.B2. 1 解析：如图 所示，在 A 考点4 △BCD [典例] [解](1)因为SA4= 中，CD= 2Sae=2X2×号X1×sin60°- 30,∠BDC=音-15， ∠BCD=∠ACB十∠DCA 军a=5,解得a=4, 2经+及=135，∠CBD=180- 在△ADC中由余弦定理得b2=1+ 312 15°-135°=30°，由正弦定理得： 22-2X1X2×cos =3 sin135=sin30,解得BD=300 BD 300 在△ABD中，c2=1+22-2X1×2X cos √2，在△ACD中，CD=300,∠DCA 2m7， 3 = 是=15，∠ADC=∠ADB+ 在△ABC中，cosB=+a-B 2ca ∠BDC=135°+15°=150°，∠CAD= 7+16-35√7 180°-15°-150°=15，所以AD=CD= 2√7×4 4, 300,在△ABD中，由余弦定理得，AB =AD+BD-2AD·BDcos∠ADB= sinB=V-cos'B=Yy②I」 14· 300+(300√2)-2×300×300√2 ×c0s135°=3002×5，所以AB= 因此tanB=sinB-B cos B 5 300√5. (2)在△ABC中，由中线长公式可得 所以AB两点的距离为300√5. (2AD)2+BC =2(AB2+AC2), 答案：300√5 22十a2=2(b2十c2)=16,所以a2 考点2 12,又Saw=之lesin A=万，周而 [典例][解]第一步：在△AEF中， 利用正弦定理， bcsin A=2√3，又由余弦定理得a= 得AE EF B+c2-2ccos A,12=8-2ccos A, sin B sin(18O°—a-,解得AE 所以bccos A=-2,故tanA=-√3 asin B →cosA=- sin(a十B)' 是，所以c=4,又8中 第二步：在△CEF中，同理可得CE c2+2bc=8+8=16=(b+c)2,b2+c2 = asin o 2bc=8-8=0=(b-c)2,故可得b sin(); =c=2. 第三步：在△ACE中，利用余弦定 跟踪训练 理，得AC= √AE2+CE-2AE·CE·cosY 解：1)由已知Sam=之AB·BD a'sinB a'sin o sin∠ABD= -×2×√5× √sin(a+B) sin(8+o） sin∠ABD=2,可得sin∠ABD= 20 25,又∠BCD=2∠ABD,在平面四 5 跟踪训练 600 边形ABCD中，∠BCD∈(0，π)，所 考点3 [典例][解析]依题意，设乙的速度 以∠ABD∈(Q,受）： 为xm/s, 则p的递度为号xm/s, 所以c0s∠ABD= 5 在△ABD中，由余弦定理AD=AB 因为AB=1040m,BC=500m, +BD}-2·AB·BD·cos∠ABD,可 所以AC=1040+500 得AD=5,所以AD=√5. 2 11 92 (2)由AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD 解得AC=1260m. 在△ABC中，由余弦定理得， 2 cOS∠BAC=AB+AC-BC 所以sin∠CBD=cos∠ABD= 5 5 2AB·AC =10402+12602_500=12 又∠BCD=2∠ABD, 2×1040×1260 131 所以sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD 所以sin∠BAC=√1-cos∠BAC √1-()= ∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π [答案] (受-∠ABD）-2∠ABD=受 ∠ABD=∠CBD, ·433· 高考总复习人教数学B版（新教材） 所以△CBD为等腰三角形，即CB[例2][解](1)f(x)=2V5sin(π-z) =CD. sin -(sin z-cos x) 在△CBD中，由正弦定理 BD in∠BCD =23sin'x-(1-2sin xcos x) CD =√3(1-cos2x)十sin2x-1 sin∠CBD =sin2x-√5cos2x十√3-1 得CD=BD·sin∠CBD 5X 5 =2sim(2x-号）十5-1. sin∠BCD 4 5 由2km-5≤2x 2 ≤2k元十 3 灭(k 4,所以SAD ∈)，得x-危≤x≤x+登（∈ 1 Z),所以∫(x)的单调递增区间是 [kx-危x+]e (2)由(1)知f(x)= 核心素养系列（二） 2sim(2x-号）+5-1 [例1][解]（方法一）选①：cosB 把y=f(x)的图像上所有点的横坐 2W 3,=3. 标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 因为cosB=2 得到y=2sin(-晋）十5-1的 3 ,0Bπ， 图像， 所以sinB=3: 再把得到的图像向左平移晋个单 1 由SAAx= 2acsin B=. ×a×3× 位，得到y=2sinx十√3-1的图像， 3 即g(x)=2sinx十√3-1. =√2，解得a=2√2 由余弦定理得b=a2十c2-2 accos B 所以g(）=2sin+5-1=5. =8+9-2X22×3×22 例3][解](1)证明：在△ABC中， 3 =1,所以 c0sB=-cos(A十C). b=1. 由已知，得(1-sinB)-cos(A十C) (方法二)选②：cosA= 3,sin(A+ =1-cos Acos C, .'.-sin'B-(cos Acos C-sin Asin C) B)=3sin B. =-cos Acos C, 因为co5A= 30<A<π， 化简，得sinB=sin Asin C. 由正弦定理，得b=ac, 所以sinA=22 a,b,c成等比数列. 3 (2)由(1)及题设条件，得ac=4. 因为A十B十C=π，所以sin(A十B) =sin C. cos B-atbia'tac 2ac 2ac 所以sinC=3sinB,由正弦定理可得 c=3b. ≥2aac2- 2ac 所以S△Ax= 1 2besin A=2Xbx3b 当且仅当a=c时，等号成立 x9-E ,0<B<π，.sinB=√/1-cosB≤ 所以b=1. (方法三)选③：ab=2√2，cosA ∴.S△Awc= 2 acsin B≤ X4× 2 2 =√5. 因为Sw=2 inC=之×2厄 △ABC的面积的最大值为V. [例5][解](1)因为A十B=C,所 X sin C=√2， 以A十B=3(π一A-B),所以A十B 得sinC=l. -职，所以C=子 又图为0<C<,所以C=登 另外，由题意得： 因为cosA= 0<AK 2sin(A-C)=sin(A十C), p2sin Acos C-2cos Asin C 2E,且sinB =sin Acos C+cos Asin C, 所以sinA 3 所以sinA=3cosA,变形得sinA= =im(径-A）=cosA= 1 9(1-sinA). b 根据正孩定理AB 故sinA=3√o 10 (2)由sinA=3cosA, 可得a=2√2b. 所以ab=2√2b=2√2，解得b=1. 得cosA=子sinA=, 10, ·434· 所以sinB=sin(A+C)=3@× 10 -×竖-5由品 2 10 2 汽解得AC=2而 所以Sw=合X5X2V而X 30=15, 10 设AB边上的高为A,则号AB·A 15,解得h=6.故AB边上的高为6. [例6][解](1)，m=(cosB,cosC), n=(2a十c,b),且m⊥n, .'(2a+c)cos B+bcos C=0, ∴.cosB(2sinA+sinC)十sin Bcos C =0, .2cos Bsin A+cos Bsin C+ sin Bcos C=0. 2cos Bsin A =-sin (B+C) =-sin A. :A∈(0，π)，∴.sinA≠0， .cos B=-2. 1 0<B<π，B=2 3 (2)由余弦定理得b2=a十c2 2accos 2-a+e+ac=(a+c)'- 3 ac≥(a十c)2- (告)）=子a+ c),当且仅当a=c时取等号. .(a十c)”≤4，故a十c≤2. 又a十c>b=√3，a+c∈(W3,2]. 即a十c的取值范围是(W3,2]. 变式训练 1.解：1)证明：因为分<c0sA,由正孩 定理可得出合A在三角形中. sin C=sin (A+B)=sin Acos B+ cos Asin B,且sinB>0, 所以不等式整理为sin Acos B十 cos Asin B<sin Bcos A,sin Acos B <0,在三角形中可得sinA>0, 所以cosB0, 所以得证B为钝角. (2)(i)若满足①②③，则正弦定理可 得snA-sinC 即2 W/2sm石·所以snC气2 2 又a>c,所以A>C,在三角形中，sinA 号，所以A=平或A=子，而由 3 4 1)可得A=平， 所以可得C=6,B=π一A一C=π 7