期末复习（7）：正弦函数的图像与性质 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

正弦函数的图像与性质 复习 【教学目标】 1. 掌握正弦函数的图像和"五点法"作图； 2. 理解正弦函数的周期、最值、单调性、奇偶性、对称性的概念； 3. 能够运用正弦函数的性质解决综合问题。 【教学重点与难点】 重点：掌握正弦函数的性质。 难点：能够运用正弦函数的性质解决综合问题。 【教学过程】 1． 知识梳理 1. “五点法”作的图像； 2. 周期：的最小正周期为，的最小正周期为. 3. 正弦函数的最值：，；，. 4. 单调性：严格增，严格减. 5. 正弦函数的奇偶性：，所以是奇函数 ，偶函数；奇函数；为其他值，非奇非偶. 6. 对称性：对称中心为点；对称轴方程是直线. 2． 例题与练习 例1 已知函数， （1）求函数的最小正周期；（2）求函数的对称轴和对称中心； （3）求单调递增区间；（4）求最大值与最小值；（5）求的值域. 解： （1） 最小正周期为； （2） ，所以对称中心为，. （3） ，得递增区间为 （4） 当，即时，， 当，即时，. （5） ，，所以值域为. 例2 （1）已知函数为偶函数，则________. （2）若函数为奇函数，则________． 解：（1）. （2），其中锐角由确定， 由为奇函数，得，即， 所以. 例3 （1）已知函数的图象关于点对称，则的值为______． （2） 已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则__________． 解：（1），，所以，． 又因为，所以． （2），解得， 因为，所以令，则， 所以，则. 3． 课堂小结 知识：正弦函数的图像与性质． 思想方法：数形结合、函数与方程思想． 核心素养：直观想象，逻辑推理． 4． 课后作业 1. 作出函数的大致图像，并分别写出使与的x的取值范围． 【答案】列出函数图像上的五个关键点，如下表所示． 0 画出函数图像，如图所示： 令，有．解方程，得． 由图知，当时，；当时，． 2. 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时所有x的值： （1）； （2）； 【答案】 （1）令.因为，的最大值是1，最小值是-1，所以，的最大值是2，最小值是-2. 当取得最大值2时，，即，； 而当取得最小值-2时，，即，. （2） . 因为， 所以y的最大值是2，此时，即； 而y的最小值是-2，此时，即. 3. 如图，在一个半径为r的半圆形铁板中，截取一块矩形ABCD，使得矩形的顶点A、B在半圆的直径上，C、D在半圆弧上，问：如何截取矩形ABCD，使其面积达到最大值？并求出这个最大值. 【答案】连接OC.设，，矩形ABCD的面积为y，则，，而 ，. 由此可知，当且仅当时，矩形ABCD的面积y有最大值，因此，在半圆形铁板中应截取，，这时矩形ABCD的面积达到最大值. 4. （1）求函数的单调减区间； （2）求函数，的单调增区间. 【答案】（1）令，则原来的函数可改写为，且因为随x的增大而增大，所以只需考察函数的单调减区间，即. 由此解得. 因此，的单调减区间为. （2）因为，所以的单调增区间就是的单调减区间，即.由此解得. 又因为，考虑与的交集，只有当时，与的交集才非空，且其交集为. 因此，函数，的单调增区间为. 5. 已知函数（其中常数）的最小正周期为，求k的值. 【答案】 ， 函数（其中常数）的最小正周期为，，. 6. 求函数，的值域. 【答案】因为，所以， 当时，函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为， 即函数的值域为. 7. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求在上的解集． 【答案】（1）因为 ， 所以最小正周期. （2）由得：， 因为，所以. 则，解得 ，解得 所以在上的解集是 8. 已知函数. （1）求出函数图象的对称中心和对称轴; （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）由，得， 所以图象的对称中心为，； 由，得， 所以图象的对称轴为，. （2）由，得，故， 所以在的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $