2025-2026学年下学期高二数学期末模拟试题

**基本信息** 这份高二数学期末模拟卷聚焦概率统计、数列、导数核心知识，通过商场销售额回归（第3题）、医院尿汞检测（15题）等真实情境题培养数据观念，导数应用（7、19题）考查抽象能力与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|正态分布、线性回归、导数切线|基础巩固，如第2题正态分布考查推理意识| |多选题|3题|排列组合、等差数列、函数极值|能力提升，第9题五岳旅游情境培养应用意识| |填空题|3题|概率计算、导数切线、等比数列|情境创新，12题抽奖游戏体现数学语言表达| |解答题|5题|回归分析、概率分布列、数列求和、导数应用|综合应用，15题回归分析与16题概率分布列结合现实问题，发展数学思维与数据观念|

2025-2026学年度阳江三中高二数学下学期期末模拟试题解析版 一、单选题 1．若随机变量，随机变量且，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，，因为，所以，则，则. 2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.72 【答案】A 【详解】由题意. 3．某商场统计了5天的销售额y（万元）与当天客流量x（千人）的数据如下表： 客流量x/千人 2 3 4 5 6 销售额y/万元 2.5 3.8 5.2 6.1 7.4 已知y关于x的线性回归方程为，则（    ） A．0.16 B．0.26 C．0.36 D．0.46 【答案】A 【详解】根据表格数据可得，. 由于线性回归直线必过样本点的中心，将代入方程解得. 4．若随机变量，之间存在回归方程，则（） A．，正相关 B．，负相关 C．一定有样本点 D．一定没有样本点 【答案】A 【详解】回归方程为，回归斜率，故，为正相关，A正确，B错误. 将代入回归方程，. 回归直线仅过样本中心点，不一定经过任意单个样本点，无法确定是否存在样本点，故C，D错误. 5．设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（     ） A．事件，不相互独立 B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，已知，即 ，所以， 因，所以事件，相互独立，A错误． 对于B，根据条件概率公式得，B错误． 对于C，，而，所以，C错误． 对于D，，． 根据条件概率公式，D正确． 6．已知的展开式中的各项系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．12 B．6 C．-16 D．-18 【答案】D 【详解】令可得，，解得，所以的展开式中的常数项为． 7．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点坐标为，.由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率.又切点在曲线上，则，即得. 解得，即.将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 8．已知函数对任意实数，满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由题可知:，又，得， 又，得.因为，所以， 又，，所以数列是以2为首项，公差为0的等差数列，即. 二、多选题 9．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（   ） A．人选择的地点均不同的方法总数为 B．人均不选泰山的方法总数为 C．恰有人选同一个地方的方法总数为 D．恰有人选华山的概率是 【答案】ABD 【详解】对于A，人选择的地点均不同的方法总数为，故A正确；对于B，人均不选泰山的方法总数为，故B正确；对于C，恰有人选同一个地方的方法总数为，故C错误； 对于D，恰有人选华山的方法数为，人所有的方法数为， 所以恰有人选华山的概率是，故D正确． 10．设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 【答案】BC 【详解】设数列的公差为d，则解得，，故A错误； ，故B正确；，故C正确； 当取得最大值时，或，故D错误． 11．(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 【答案】ABC 【详解】选项A，令，即，因为，所以，解得，所以的零点只有，A正确； 选项B，，则，在上单调递增(因为)， 且，，所以在上先减后增. 当，；时，；时，；时，， 由零点存在定理，在有一个零点，在有一个零点，因此有两个极值点，B正确； 选项C，由B选项分析可知，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，即在处取得极小值，C正确； 选项D，由选项C分析可知，在区间先增后减，D错误. 三、填空题 12．立德中学进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为_________． 【答案】 【详解】抽到的两个红包可能性有种，由奇数加奇数为偶数，偶数加偶数为偶数，则其中奖金数额之和为偶数的可能性有种，故抽到的奖金数额之和为偶数的概率为. 13．若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 【答案】 【详解】，当时，切点坐标为，求导得，则，切线方程为：，即， 代入点得，，解得． 14．在正项等比数列中，若，则___________． 【答案】3 【详解】设正项等比数列的公比为，则，由等比数列通项的性质， 可得，，，，则，（1） ，（2） （1）（2）得， 因为数列为正项等比数列，故，解得 四、解答题 15．某医院用光电比色计检验尿汞时，得到尿汞含量（单位：）与消光系数的结果如下： 尿汞含量 2 4 6 8 10 消光系数 65 135 205 285 360 (1)求消光系数关于尿汞含量的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，估计尿汞含量为时消光系数的值． 【详解】（1）通过计算可得，    ，     所以， ，所以，    所以，   因此回归直线方程为 （2）在回归直线方程中令，可得，    因此估计尿汞含量为时消光系数的值为173． 16．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，面试采取三场两胜制进行．假设甲每场面试获胜的概率为，且每场面试不存在平局的情况，每场面试的结果相互独立． (1)求乙最终获得主播岗位的概率； (2)面试结束时，记甲获胜的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列以及数学期望． 【详解】（1）记面试结束的时候乙最终获得主播岗位为事件A，乙获胜分为两种情况： 乙胜（前两场乙连胜）：概率为，乙胜（前两场一胜一负，第三场乙胜）：概率为， 则. （2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，，， ；∴X的分布列为 X 0 1 2 则． 17．已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【详解】（1）由题知，，得，设等差数列的公差为，则，解得（舍去），所以； （2）由题知，，所以， 所以． 18．已知函数，其中． (1)记，若为的极值点，求证：为偶数． (2)求 【详解】（1）因为，则，当时，,,故不是极值点. 当为奇数时且时，为偶数，，当时，，在单调递减，所以0不为的极值点；当为偶数时，为奇数，， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增，所以0为的极值点，因此为偶数． （2） ，所以，所以． 19.已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为.则.因为曲线在处的切线斜率为1，所以 ，解得； （2）函数的定义域为.则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减，所以，所以． 第 2 页 共 5 页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度阳江三中高二数学下学期期末模拟试题 班级: 姓名： 学号： 一、单选题 1．若随机变量，随机变量且，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.72 3．某商场统计了5天的销售额y（万元）与当天客流量x（千人）的数据如下表： 客流量x/千人 2 3 4 5 6 销售额y/万元 2.5 3.8 5.2 6.1 7.4 已知y关于x的线性回归方程为，则（    ） A．0.16 B．0.26 C．0.36 D．0.46 4．若随机变量，之间存在回归方程，则（） A．，正相关 B．，负相关 C．一定有样本点 D．一定没有样本点 5．设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（     ） A．事件，不相互独立 B． C． D． 6．已知的展开式中的各项系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．12 B．6 C．-16 D．-18 7．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数对任意实数，满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 二、多选题 9．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（   ） A．人选择的地点均不同的方法总数为 B．人均不选泰山的方法总数为 C．恰有人选同一个地方的方法总数为 D．恰有人选华山的概率是 10．设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 11．(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 三、填空题 12．立德中学进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为_________． 13．若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 14．在正项等比数列中，若，则___________． 四、解答题 15．某医院用光电比色计检验尿汞时，得到尿汞含量（单位：）与消光系数的结果如下： 尿汞含量 2 4 6 8 10 消光系数 65 135 205 285 360 (1)求消光系数关于尿汞含量的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，估计尿汞含量为时消光系数的值． 16．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，面试采取三场两胜制进行．假设甲每场面试获胜的概率为，且每场面试不存在平局的情况，每场面试的结果相互独立． (1)求乙最终获得主播岗位的概率； (2)面试结束时，记甲获胜的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列以及数学期望． 17．已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 18．已知函数，其中． (1)记，若为的极值点，求证：为偶数． (2)求 19.已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围.  第 1 页 共 4 页 试卷第1页，共3页 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $