精品解析：2026年浙江省杭州市上城区中考二模考试数学试题

2025学年第二学期九年级学情调查（二） 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置； 3．不得使用计算器；如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑； 4．务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题纸上与试卷题号对应区域规范作答，注意不要错位，在本试题卷上作答一律不得分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小明准备去东北雪乡旅游，出发前了解东北城市的当日最高温度如右表，其中温度最高的城市是（ ） 城市 沈阳 长春 哈尔滨 大连 温度 A. 沈阳 B. 长春 C. 哈尔滨 D. 大连 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负数的大小比较，根据负数比较大小的规则，比较四个城市的温度即可得到结果． 【详解】解：∵ 因此是四个温度中的最高温度，对应城市为大连． 2. 如图，从某个立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半），得到的几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，注意看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线，即可求解． 【详解】解：∵从上面看该几何体，其最大轮廓是大立方体的顶面，为一个大正方形 又∵挖去的小立方体位于大立方体的右前上方 ∴从上往下看时，大正方形的右下角部分露出了下一层的水平面 ∵该露出的面是可见的 ∴其轮廓线应画为实线 ∴俯视图是一个大正方形，且右下角有一个小正方形 ， 故选：A． 3. 某市人工智能领域融资总额高达亿元，覆盖大模型、具身智能、算力、行业应用等全产业链．亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：亿． 4. 如图，将纸带沿折叠，下列能判定纸带的两条边线m，n互相平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形可知  与  互为内错角，根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”判断即可求解． 【详解】解：由图可知与是直线、被直线所截形成的内错角， ，  （内错角相等，两直线平行），故A选项正确； 对于B、D 选项，与、与均为同旁内角，需满足互补关系才能判定平行， 对于 C 选项，与为邻补角，无法判定两直线平行． 5. 当5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，的最大值是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义确定的取值范围，再找出满足条件的使取最大值．中位数定义为奇数个数据从小到大排列后，位于中间位置的数；唯一众数要求6的出现次数大于其他所有数的出现次数． 【详解】解：∵这组数据共5个，从小到大排列后中位数是第3个数，且中位数为5，而已知数据中有两个6大于5， ∴排列后第3个数是5，可得 ， ∵原数据中6已经出现2次，且这组数据的唯一众数是6， ∴其他数的出现次数都必须小于2，若中有1个是5，则5出现2次，和6次数相同，众数不唯一； 若 ，则这个数出现2次，和6次数相同，众数不唯一； 若都是5，则5出现3次，众数为5，均不符合要求， ∴ ，为不同自然数，要使最大，取满足条件的最大，得，， ∴． 6. 如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E．那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，然后根据旋转的性质得出旋转角的度数，最后利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点， ∴， ． 7. 设，，是互不相等的实数，且，下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题中A，B无法确定，，的大小关系，只需利用等式的基本性质对已知等式变形，即可验证C，D选项得到结论． 【详解】解：∵， 等式两边同乘得， 验证选项C：右边，将代入得左边，因此C正确； 验证选项D：右边，因此D错误； 对于A，B：仅根据无法确定a，b，c的大小， 例如，当时，，满足，当时，，满足，因此A，B都不一定正确． 故选：C． 8. 某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了．因此，按照原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟．如果设原收费标准下每分钟收费x元，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据原收费标准表示出新的每分钟收费，再分别求出原收费标准下6元的通话时间和新收费标准下6元的通话时间，根据新通话时间比原通话时间多10分钟列出方程即可． 【详解】解：∵设原收费标准下每分钟收费元，每分钟费用降低了， ∴新收费标准下每分钟收费为 元，原收费标准下元话费的通话时间为分钟，新收费标准下元话费的通话时间为分钟， ∵新收费标准下可多通话分钟，即新通话时间原通话时间， ∴可得方程． 9. 如图，中，，．利用直尺和圆规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点；③分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，两点，连接，交于点，交于点，连接，．下列判断错误的是（ ） A. B. C. 若，则四边形是菱形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图可知，是的平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质逐项判断即可． 【详解】解：由①、②可知，是的平分线， ， ， ， 故A选项正确； 由③可知，是的垂直平分线， ， 故B选项正确； 如下图所示，连接， ， ， 是的垂直平分线， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 故C选项正确； ， ， 不能说明， 不成立， 故D选项错误． 10. 已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（ ） A. 若时，，则 B. 若时，，则 C. 若时，，则 D. 若时，，则 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点在直线上求出和的化简表达式，再分和两种情况，根据给出的不等关系解不等式组，得到的取值范围，进而判断正确选项． 【详解】解：∵点在直线上，点在直线上 ∴， 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向不变 ∴化简得，即 选项A，B均不完整，因此A，B错误． 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向改变 ∴化简得： 解得： ∴，符合选项C，因此C正确，D错误． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知是方程的一个解，那么m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将已知的的值代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，即可求解． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得． 12. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 13. 如图，是的内接三角形，，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解： 为的半径， ．  在中，  与分别是所对的圆周角和圆心角，  14. 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出随机转动后，指针落在数字1、2、3所示区域的可能性相同，再画树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】解：由图可知数字的圆心角为， 即随机转动后，指针落在数字1、2、3所示区域的可能性相同， 画树状图如下： 可知共9种情况，其中两次数字相同的情况有3种， 即两次数字相同的概率为． 15. 假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，灵活运用圆锥体积公式及反比例函数的增减性是解题的关键．根据圆锥体积公式，先求出圆锥的体积，进而得到底面积关于高的反比例函数表达式，再结合反比例函数的性质及的取值范围，求出底面积的取值范围． 【详解】解：由题意得，已知圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的底面积：， ∴圆锥体积：， 圆锥体积不变， ， 整理得， 是关于的反比例函数，比例系数， 当时，随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最大值，为， 此底面积的取值范围为． 16. 如图，在正方形中，，点为边上一点，且，连接．若点为点关于的对称点，连接并延长交延长线于点，连接，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交于点，根据对称的性质可得，，由正方形的性质和，得到，，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，进而得到，再证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：延长交于点， 点为点关于的对称点， ，， 在正方形中，， ，， ， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ，， ， ，即， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算. 先展开乘法，化简二次根式，计算乘方，再合并同类项即可得到结果，即可求解． 【详解】解： 原式 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据各不等式的解集确定不等式组的解集成为解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 19. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数（x次）分为四组（A：；B：；C：；D：），根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题 （1）本次抽取的学生人数为           人，扇形统计图中           ． （2）求D组的人数，并补全条形统计图． （3）若该校共有1200名学生，估计全校每周使用学习20次及以上的学生约有多少人． 【答案】（1）， （2）人，补全条形统计图见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据C组的数据可知总人数，用B组人数除以总数乘以即可求出m的值； （2）根据总人数求D组的人数，并补全条形统计图即可； （3）用1200乘以每周使用学习20次及以上的学生的比例即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为人； ，即； 【小问2详解】 解：D组的人数为人，补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人）． 20. 矩形的对角线、相交于点O，点E为边一点，交于点F，，连接． （1）求证：为等腰三角形． （2）若F是中点，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，进而得出，结合已知可得，即可得证； （2）由勾股定理得，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：在矩形中，． ∵，， ∴ ． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴为等腰三角形． 【小问2详解】 在矩形中，，，， 由勾股定理得． ∵为等腰三角形中，矩形中，， ∴ ． ∵， ∴． ∵是中点， ∴． ∴． ∴ ． 21. 解答以下问题 （1）观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征： ① ② ③ ④ ． （2）思考探究：设n为正整数， ①第n个算式为 ． ②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方． 小明的部分证明过程如下： 证明：原式 设，则原式 小明证明过程中用了 思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整． （3）拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于，求四个正整数中最小的整数． 【答案】（1） （2）①；②换元（整体），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用有理数的混合运算法则求出结果即可； （2）①根据给出算式，总结出规律即可； ②利用换元思想和完全平方公式进行证明； （3）根据题意，列出一元二次方程，然后利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①； ②小明证明过程中用了换元（整体）思想方法， 证明：原式 设，则原式， 将代入上式得， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意得， ∴， 解得或（舍去）， ∴四个正整数中最小的整数为9． 22. 定义：若一个三角形存在两个内角之差为，则称这个三角形为“差直角三角形”．例如，在中，，，，满足，所以是“差直角三角形”． （1）若是差直角三角形，，则的值为 ． （2）如图1，在中，，是的角平分线，求证：是差直角三角形． （3）如图2，在中，，，，点D是边上一动点（），若是差直角三角形，求的长度． 【答案】（1） （2）证明：是的平分线， ， ， ，即 是差直角三角形． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义求得，再求正弦值，即可求解． （2）根据角平分线的定义可得，进而可得，即可得证； （3）作于，过点作交于，分两种情况讨论，①当 时，②当 时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵是差直角三角形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作于，过点作交于， ，， 在中，， ， 解得， 在中，由勾股定理得； ①当 时， ， ， 中， 解得， ②当 时， ， 中， 设，， ∵ ∴ 解得： ， 由勾股定理得， 综上所述，或 23. 已知二次函数（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点，且过点． （1）求a与b的关系式． （2）若，当时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． （3）在（2）的条件下，若点，点两点在该函数图象上，且，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）根据（1）中的结果，求出函数的对称轴，根据增减性结合题意，列出方程进行求解即可； （3）求出解析式，再求出时的自变量的值，求出点关于对称轴的对称点，再根据，得到关于t的不等式组，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵二次函数过点和， ∴将代入函数得； 将和代入函数得， 整理得，即； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵ ， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，，值最小， 由题意，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，函数解析式为：， ∴当时，解得，， 点，在函数图象上，对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴且且， 解得. 24. 如图，是的切线，D是直径延长线上的一点，连接、，设（）． （1）若，求． （2）延长至E，使，过点E作的垂线，分别交、于点F，H． ①若，直径，求的长． ②求证：． 【答案】（1） （2）①； ② 证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得根据圆周角定理可得，进而求得； （2）①根据已知求得，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②先证明得出，进而可得， 证明得出，进而得出，再求比值，即可求解． 【小问1详解】 解：连接，因为是的切线， ， 【小问2详解】 ①∵是直径 ∴ ∵在中，， 设， ∴ ∴ 解得： ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， 解得：； ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级学情调查（二） 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置； 3．不得使用计算器；如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑； 4．务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题纸上与试卷题号对应区域规范作答，注意不要错位，在本试题卷上作答一律不得分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小明准备去东北雪乡旅游，出发前了解东北城市的当日最高温度如右表，其中温度最高的城市是（ ） 城市 沈阳 长春 哈尔滨 大连 温度 A. 沈阳 B. 长春 C. 哈尔滨 D. 大连 2. 如图，从某个立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半），得到的几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某市人工智能领域融资总额高达亿元，覆盖大模型、具身智能、算力、行业应用等全产业链．亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将纸带沿折叠，下列能判定纸带的两条边线m，n互相平行的是（ ） A. B. C. D. 5. 当5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，的最大值是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 6. 如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E．那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，是互不相等的实数，且，下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 8. 某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了．因此，按照原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟．如果设原收费标准下每分钟收费x元，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，．利用直尺和圆规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点；③分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，两点，连接，交于点，交于点，连接，．下列判断错误的是（ ） A. B. C. 若，则四边形是菱形 D. 10. 已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（ ） A. 若时，，则 B. 若时，，则 C. 若时，，则 D. 若时，，则 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知是方程的一个解，那么m的值是________． 12. 分解因式：=______． 13. 如图，是的内接三角形，，则的度数是________． 14. 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为_______． 15. 假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______． 16. 如图，在正方形中，，点为边上一点，且，连接．若点为点关于的对称点，连接并延长交延长线于点，连接，则________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数（x次）分为四组（A：；B：；C：；D：），根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题 （1）本次抽取的学生人数为           人，扇形统计图中           ． （2）求D组的人数，并补全条形统计图． （3）若该校共有1200名学生，估计全校每周使用学习20次及以上的学生约有多少人． 20. 矩形的对角线、相交于点O，点E为边一点，交于点F，，连接． （1）求证：为等腰三角形． （2）若F是中点，，，求的长． 21. 解答以下问题 （1）观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征： ① ② ③ ④ ． （2）思考探究：设n为正整数， ①第n个算式为 ． ②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方． 小明的部分证明过程如下： 证明：原式 设，则原式 小明证明过程中用了 思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整． （3）拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于，求四个正整数中最小的整数． 22. 定义：若一个三角形存在两个内角之差为，则称这个三角形为“差直角三角形”．例如，在中，，，，满足，所以是“差直角三角形”． （1）若是差直角三角形，，则的值为 ． （2）如图1，在中，，是的角平分线，求证：是差直角三角形． （3）如图2，在中，，，，点D是边上一动点（），若是差直角三角形，求的长度． 23. 已知二次函数（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点，且过点． （1）求a与b的关系式． （2）若，当时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． （3）在（2）的条件下，若点，点两点在该函数图象上，且，求t的取值范围． 24. 如图，是的切线，D是直径延长线上的一点，连接、，设（）． （1）若，求． （2）延长至E，使，过点E作的垂线，分别交、于点F，H． ①若，直径，求的长． ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $