江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习1

**基本信息** 以高一数学核心知识为载体，整合复数、统计、三角函数、向量、立体几何等模块，通过基础与综合题结合，培养数学眼光（空间观念、数据意识）、数学思维（运算能力、推理能力）及数学语言表达能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|1|共轭复数计算|结合四则运算考查概念应用| |统计|2|百分位数、平均数、方差|数据处理与分析的实际应用| |三角函数|3|图像变换、三角恒等变换|从定义到图像性质的逻辑延伸| |向量|1|投影向量坐标|向量数量积与模长的关联| |立体几何|4|线面关系、体积、外接球|空间想象与几何推理结合| |解三角形|1|正弦定理、余弦定理|边角关系的综合应用| |概率统计|1|频率分布直方图|数据描述与推断的完整链条|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习1 1、 单选题 1.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 2.某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（　　） A．89和 B．和 C．90和 D．和92 3.若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 4.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（　　） A． B． C． D． 5.已知向量，向量在向量上的投影向量的坐标为，则（   ） A． B． C．5 D．13 6.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（   ） A．28cm B． C．26cm D． 7.如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（ ） A．与是异面直线 B．平面 C．与所成角的余弦值为 D． 8.已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 10.、、是锐角三角形的内角，下列结论一定成立的有（   ） A． B． C． D． 11.将边长为2的正方形沿对角线折起，得到一个三棱锥，下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．若平面平面，则与平面所成角的余弦值为 D．若平面平面，则二面角的余弦值为 三、填空题 12.已知，则 . 13.函数的部分图像如图所示，则 . 14.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为______. 四、解答题 15.（1）已知，，求； （2）若，求的值. 16.如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求点到平面的距离. 17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c. (1)求A； (2)若c＝，a＝，D为BC的中点，求AD. 18.某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 19.如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点是线段上的动点（不含端点）. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习1 解析版 一、单选题 1.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意， 则z的共轭复数 2.某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（　　） A．89和 B．和 C．90和 D．和92 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：， 因为，所以这组数据的第25百分位数为； 平均数为. 3.若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【详解】由题意得：，所以，解得. 4.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（　　） A． B． C． D． 【详解】由图象各点横坐标伸长为原来的3倍，则， 将图象向右平移个单位长度，则， 令，则，即对称中心为， 显然A、B、C都不是对称中心，而时是一个对称中心. 故选：D 5.已知向量，向量在向量上的投影向量的坐标为，则（   ） A． B． C．5 D．13 【详解】因为，所以，由向量模的计算公式得， 因为向量在上的投影向量为，向量在向量上的投影向量的坐标为， 所以 ，对比等式左右两边的横坐标，可得，解得， 所以. 6.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（   ） A．28cm B． C．26cm D． 【详解】 如图，将AC与BD延长交于点P 在中，由正弦定理可知，，则，即，解得：，则，，在中，由余弦定理得：，则. 7.如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（ ） A．与是异面直线 B．平面 C．与所成角的余弦值为 D． 【详解】对于A，因为与都在平面内，所以与不是异面直线，故A错误； 对于B，因为是正三角形，所以，即与不垂直，所以不可能垂直平面，故B错误； 对于C，设，，则， 又， 所以， 设与所成角为，则， 因为与的大小关系不确定，所以与所成角的余弦值不确定，故C错误； 对于D，因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以，故D正确. 8.已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为. 设正四棱台的高为，则根据正四棱台的体积公式得 ，解得. 设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上， 因为， 设外接球的半径为，设，则，因为， 所以，化简得， 即正四棱台的外接球球心位于处. 此时，所以该棱台的外接球体积为. 2、 多选题 9.已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A：已知，则，则，A正确； 对于B：已知，则，即， 由选项A可知，， 将可得，则，B错误； 对于C：因，则，C正确； 对于D：，，则，D正确. 10.、、是锐角三角形的内角，下列结论一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【详解】因为、、是锐角三角形的内角， 则，且， 对于A，因为，所以A正确， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，，则, 又在区间上单调递增，所以，故C错误， 对于D，因为， 又，，则， 所以，即，故D正确. 11.将边长为2的正方形沿对角线折起，得到一个三棱锥，下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．若平面平面，则与平面所成角的余弦值为 D．若平面平面，则二面角的余弦值为 【详解】取的中点，连接， 对于A，因为，所以，同理，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以为三棱锥外接球的球心，所以外接球的半径， 所以外接球的体积，故B正确； 对于C，因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又平面，所以，所以，所以三角形为等边三角形， 设点到平面的距离为，因为，则， 即，即，解得， 设与平面所成的角为，则，故C不正确； 对于D，取的中点，连接，所以，所以， 由C知，为等边三角形，则，所以为二面角的平面角， 因平面，平面，则， 因为，所以，所以，故D正确.故选：ABD.    3、 填空题 12.已知，则 . 【详解】由题设，而，则， 所以.故答案为： 13.函数的部分图像如图所示，则 . 【详解】由图象可得，，解得， 因为，所以，解得， 将代入解析式得，，故，， 因为，解得，故. 故答案为： 14.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为______. 【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示， 设，即，由题意得， 在中，由余弦定理得 即即，解得或（舍去）， 将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径， 所以外接球的体积.故答案为： 4、 解答题 15.（1）已知，，求； （2）若，求的值. 【详解】（1）； （2），即， 则. 16.如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求点到平面的距离. 【详解】（1）由正方体性质可知平面， 而平面，所以，即 由四边形为正方形，可得； 又，平面， 所以平面； （2）易知， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 在中，易知，且， 因此， 即异面直线与所成角的正切值为； （3）易知点到平面的距离与点到平面的距离相等， 易知三棱锥中，且； 所以， 设点到平面的距离为， 由可得， 解得； 即点到平面的距离为. 17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c. (1)求A； (2)若c＝，a＝，D为BC的中点，求AD. 解　(1)在△ABC中，由正弦定理，得sin ∠BAC(sin B＋cos B)＝sin C， 由∠BAC＋B＋C＝π，得sin C＝sin(∠BAC＋B)， 所以sin∠BACsin B＋sin ∠BACcos B＝sin∠BACcos B＋sin Bcos ∠BAC， 得sin ∠BACsin B＝cos ∠BACsin B，又sin B≠0，所以tan ∠BAC＝1， 又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝，即A＝. (2)在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC， 得5＝b2＋2－2b，解得b＝3或b＝－1(舍去)， 因为D为BC的中点，则＝(＋)， 两边同时平方得2＝(2＋2＋2·)＝×＝， 所以||＝，即AD＝. 18.某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【详解】（1）由题可得， 所以样本数据的平均数约为； （2）成绩较高的前的学生对应的频率为， 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 设获得该荣誉证书的最低分数为x，则； （3）由题可得成绩在和的频数分别为， 所以这两组数据的总平均数和方差. 19.如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点是线段上的动点（不含端点）. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 【详解】（1）过作于点，在等腰梯形中，，， 可得，所以，所以， 又平面为正方形，所以 又平面平面，且平面平面， 所以平面，所以， 又，，平面； 平面平面； （2）过作于点，连接， 平面，， 又，，平面，， 是二面角的平面角. 在直角中，，，得， ，二面角的平面角的余弦值为； （3）平面，平面平面， 过作于点，连接， 平面平面，平面平面，，平面， 是直线与平面所成角，， 在直角中，，，，得，， 在中，，，，，设，得， 即，解得或，即或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $