江苏苏州市2025-2026学年高一下学期数学期末练习卷1

**基本信息** 以成都世界运动会成绩分析、梅雨季节概率计算等现实情境和《九章算术》“刍童”文化素材为载体，通过折叠问题、频率分布直方图等设计，考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、向量、统计、立体几何|第3题频率分布直方图考查数据意识| |多选题|3/18|立体几何、复数|第11题“刍童”结合文化传承| |填空题|3/15|复数、圆锥表面积、函数零点|第13题等边圆锥体现空间观念| |解答题|5/77|立体几何证明与体积、三角函数、解三角形、折叠问题|第19题折叠问题考查空间想象与创新意识|

苏州2025-2026学年高一第2学期期末练习卷1 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A. 56 B. 60 C. 120 D. 140 4. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的众数为 C. 这组数据的平均数为 D. 这组数据的方差为 5. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6.“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象．根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为．假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，两个边长均为的正方形与正方形所在的平面相交，其二面角的平面角为．点分别是对角线上的动点，记，点是线段上的一动点．下列结论一定正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积存在最大值 C. 的最小值是 D. 若点在同一球的球面上，则该球的体积是 11. 《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体．如图，现有一高为的“刍童”，其中，，，，则（ ） A. 该“刍童”的所有侧棱交于一点 B. 直线与直线异面 C. 该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为 D. 该“刍童”外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知复数满足，则的值为______． 13. 过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若（O为底面圆心），且，则这个等边圆锥的表面积为______． 14. 若存在，使函数在区间内恰有个零点，则 （1）当时，______； （2）当时，所有满足条件的正整数的值共有_____个． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 16. 已知，，函数． （1）求函数的最小正周期和对称中心； （2）若，且，，求的值． 17. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 18. 如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． （1）证明：； （2）若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 19. 如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． （1）若N为棱的中点，且满足平面，求的值； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求二面角的正切值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州2025-2026学年高一第2学期期末练习卷1 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算化简其为标准式，写出对应点的坐标，可得答案. 【详解】由，则该复数对应的点为，易知该点在第二象限. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】依题意，若，则，即，解得. 故选：C. 3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A. 56 B. 60 C. 120 D. 140 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得频率，由总数乘频率，可得答案. 【详解】由频率分布直方图中数据可得每周的自习时间不少于22.5小时的频率为 ， 则200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是. 故选：D. 4. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的众数为 C. 这组数据的平均数为 D. 这组数据的方差为 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据的数字特征直接计算得出. 【详解】由数据得，极差为6，众数为3，9，所以A正确，B错误. 数据的平均数,所以C正确. 数据的方差，所以D正确. 故选：B. 5. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一分析四个选项即可. 【详解】若，，，则直线与的位置关系可以平行、相交和异面，故A错误； 若，，，则直线与的位置关系可以平行和异面，故B错误； 若，，，则，可以平行也可以相交，故C错误； 若，，可得 ，又，所以，故D正确. 故选：D. 6.“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象．根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为．假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式分别求出恰有两天下雨的概率和恰有三天下雨的概率，然后相加，即可得到结果. 【详解】该地区黄梅时节连续三天中恰有两天下雨的概率为， 该地区黄梅时节连续三天中恰有三天下雨的概率为， 所以该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为. 故选：B 7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面积公式求出，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：D. 8. 已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体、圆柱、球的表面积相等设出相应的量，然后用相同的量表示出它们的体积，比较即可. 【详解】设正方体的棱长为，等边圆柱底面圆的半径为，球体的半径为， 所以正方体的表面积为， 等边圆柱的表面积为， 球的表面积为， 因为，即， 由，， 所以正方体的体积为， 等边圆柱的体积为， 球的体积为， 因为， 所以， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的性质、复数的运算即可解答. 【详解】因为， 所以， ， . 所以； ； . 故选：ABD. 10. 如图，两个边长均为的正方形与正方形所在的平面相交，其二面角的平面角为．点分别是对角线上的动点，记，点是线段上的一动点．下列结论一定正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积存在最大值 C. 的最小值是 D. 若点在同一球的球面上，则该球的体积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造面面平行，利用其性质可判断A；利用等体积法，可判断B；求出长的表达式，结合二次函数性质可判断C；确定外接球球心位置，求出半径，即可求外接球的体积，判断D. 【详解】两个边长均为的正方形与正方形所在的平面相交， 则， 作交于H，连接，则， 而，故，则， 平面，平面，故平面， ，平面，平面，故平面， 平面， 故平面平面，平面，故平面，A正确； 由A的分析同理可得平面，则P到平面的距离即为M到平面的距离； 由于，平面， 故平面，过M作交于G，则平面， 而，故， 而，故为二面角的平面角，即， 故三棱锥的体积， 随a的增大而增大，由于，故该体积不存在最大值，B错误； 由以上分析可知，则为二面角的平面角，即， 而， ， 由于，则当时，取最小值1， 即的最小值是，C正确； 设的中点为，连接，则， 平面，则平面， 平面，故平面平面，同理平面平面， 为二面角的平面角，即， 过点即正方形和正方形的中心分别作这两个面的垂线，必交于一点，设为O， 结合点在同一球的球面上，以及正方形与正方形边长均为， 知O为外接球球心，且O在的平分线上，即, ，， 则，即外接球半径为， 故球的体积是，D正确； 故选：ACD 11. 《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体．如图，现有一高为的“刍童”，其中，，，，则（ ） A. 该“刍童”的所有侧棱交于一点 B. 直线与直线异面 C. 该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为 D. 该“刍童”外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】判断“刍童”不是棱台，可判断A的真假；应用反证法可判断B选项；求出侧棱与底面所成角的正弦，判断C的真假；求“刍童”外接球半径，进而求外接球表面积，判断D的真假. 【详解】对于A选项，根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台， 所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误； 对于B选项，因为上下底面平行，故、无公共点，则、平行或异面， 由题中数据可得， ，所以， 若、平行，则四边形为梯形，则、延长后会相交，与A选项矛盾， 故、为异面直线，故B正确； 对于C选项，设在平面上的射影为、在直线上的射影为，如图： 易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等. 则,，, 所以， 可得， 设，则，故C正确； 对于D选项，如图： 若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为，，（） 则， 所以该“刍童”的的外接球的表面积为：. 若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为，，（） 则，不合题意，故舍去. 所以该“刍童”的的外接球的表面积为：，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘方求出复数z，结合复数的模的计算，即可得答案. 【详解】复数满足，即， 故，则， 故答案为： 13. 过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若（O为底面圆心），且，则这个等边圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设圆锥的母线长为，可得圆锥的底面圆的半径为，高为，进而结合题设可求得，再根据圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】如图，连接，设圆锥的母线长为， 则圆锥的底面圆的半径为，高为. 由已知得， 所以为等腰三角形，设其底边上的高为， 则， 则，解得， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 14. 若存在，使函数在区间内恰有个零点，则 （1）当时，______； （2）当时，所有满足条件的正整数的值共有_____个． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】（1）将代入得，利用余弦函数的图象和性质可得解； （2）利用二倍角公式化简函数得，设，令，通过方程的根的情况，分类讨论函数的零点，结合三角函数的周期性可得解. 【详解】（1）当时，，当时，， 要想在上恰有个零点，则， 解得， 因为为正整数，所以． （2）由题意知，，且的最小正周期为， 设，令， 则， 所以方程在实数范围内一定有两个异号实根， ， ①当时，，其中无解， 对于，在内有2个零点，在内没有零点， 则或； ②当时，，在内有2个零点，在内有1个零点， 当时，函数区间内恰有个零点； 当时，函数区间内恰有个零点. 故不存，使函数区间内恰有个零点； ③当时，∵，∴， 则有，解得， ∴，， ∴，∴， 则在内有2个零点，在内有2个零点， 当时，函数区间内恰有个零点. 综上：满足题意的正整数有3个，分别为，或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，利用勾股定理可证得，即可得到平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 证明：连接， 因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点， 又因为为的中点，则， 平面，平面，平面 【小问2详解】 证明：因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， ，所以，则， ，平面， 平面，又平面， 平面平面． 16. 已知，，函数． （1）求函数的最小正周期和对称中心； （2）若，且，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积运算求出的表达式，再利用三角函数公式化简，进而求出最小正周期和对称中心； （2）先根据已知条件求出和的值，再结合的值求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值. 【小问1详解】 已知，，函数． ∴ ， 即，∴函数的最小正周期为， 令，得， ∴函数的对称中心为． 【小问2详解】 由（1）知， 则，得， ∵，∴． ∵，∴， ∵，∴． ∴ ， 又，∴． 17. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接，设，通过题设证明，，进而求证即可； （2）设的中点为，连接，先证明平面，则为直线与平面所成角，进而求解即可. 【小问1详解】 连接，设，连接，设， 在菱形中，， 在直四棱柱中，平面，且平面， 所以，又平面， 所以平面， 因为平面，所以. 在菱形中，，则， 则，则，而， 因为，所以，则， 则，故，即， 因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 设的中点为，连接， 由于，则， 因为平面，且平面， 所以， 又平面， 所以平面， 则为直线与平面所成角， 因为， 所以在中，， 则直线与平面所成角的正切值为． 18. 如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． （1）证明：； （2）若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（Ⅰ）; （Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（Ⅰ）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得； （Ⅱ）在中，分别运用正、余弦定理得到，两式，结合式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【小问1详解】 证明：∵，∴， 在中，，可得， ∴，即. 【小问2详解】 （Ⅰ）在中，由正弦定理得， 可得，∴， ∵，∴， 可得，即， 解得或（舍去）， ∵，∴. （Ⅱ）在中，由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， ∵，，∴，∴， 在中，由余弦定理得 ， ∵，∴，∴， ∴，解得. 19. 如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． （1）若N为棱的中点，且满足平面，求的值； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求二面角的正切值的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在线段截取，可证明平面，结合平面可得平面面，进而得到平面，再结合N为棱的中点即可求解； （2）过作面垂线，过作，连得二面角平面角，进而棱锥的体积公式求解即可； （3）设，求出，，作，由相似得，进而得出二面角正切表达式，根据取值范围求解即可. 【小问1详解】 在线段上截取，由， 可得四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 因为平面，又，则平面平面， 因为平面，所以平面， 又N为棱的中点，所以为的中点， 则，即. 【小问2详解】 由，，则， 过作平面于点，过作于点，连接， 由平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则为二面角的平面角，， 在中，， 由等面积法可知，，， 而，. 【小问3详解】 设，则， 在中，由等面积法可知， ， 在矩形中，， 过点作于， 易得，， 设二面角的大小为，则， 由于，则， 即二面角的正切值的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $