课时规范练35 复数-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题与模拟题构建复数专项训练，通过分层设计实现概念理解、运算应用到综合拓展的递进，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题（含2024新高考Ⅱ等真题）|模计算（公式法）、共轭运算（定义法）、实部虚部分离（方程求解）|从复数概念（模、共轭）到四则运算，形成"概念-运算-应用"逻辑链| |综合提升练|5题（含几何意义、棣莫弗定理）|几何意义（数形结合）、高次幂（三角形式+棣莫弗定理）|拓展至几何表征与定理应用，体现数学语言的精确表达|

课时规范练35　复数 (分值:78分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2024·新高考Ⅱ,1)已知z=-1-i,则|z|=(　　) A.0 B.1 C. D.2 2.(2024·北京,2)若复数z满足=-1-i,则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 3.(2024·全国甲,理1)若z=5+i,则i(+z)=(　　) A.10i B.2i C.10 D.2 4.(2025·四川绵阳模拟)复数z1=a+2i,z2=-4+bi,a,b∈R,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则复数a+bi在复平面内对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(2026·河北衡水模拟)若=3+i,则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i 6.(2025·甘肃白银模拟)若复数z为方程x2-2x+10=0的根,则|z|=(　　) A. B.3 C. D.2 7.(多选题)(2026·山东东营模拟)若复数z满足(1+i)·z=1+5i(i是虚数单位),则下列说法正确的有(　　) A.z的虚部为2i B.z的模为 C.z的共轭复数为3-2i D.z在复平面内对应的点位于第三象限 8.(多选题)(2025·河北石家庄模拟)已知z∈C,为z的共轭复数,则下列条件可判定z∈R的有(　　) A. B.z2=3 C.z2= D.2z> 9.(2025·天津,10)已知i是虚数单位,则||=　　　　.  10.(2026·湖北荆州模拟)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为　　　　.  综合提升练 11.(2026·湖南岳阳模拟)已知复数z满足z·=2(z-i),则在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.(2026·安徽池州模拟)已知复数z满足|z-2-2i|=2,则|z|最大值为(　　) A.2 B. C.2+1 D.2+2 13.(2026·福建福州期中)设方程x2+x+1=0在复数范围内的两根分别为z1,z2,则下列关于z1,z2的说法错误的是(　　) A.z1= B.=z2 C.||=1 D.=0 14.(多选题)(2026·河南周口期末)已知z1,z2是复数,则下列说法正确的有(　　) A.=2 B.|z1-z2|≤|z1|+|z2| C.若|z1|-|z2|=0,则=0 D.若|2z1|+|3z2|=0,则z1=z2=0 15.(2026·山西太原模拟)任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)(r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈Z),我们称这个结论为棣莫弗定理.计算(1-i)2 025=　　　　.  参考答案 课时规范练35　复数 1.C　解析 |z|=,故选C. 2.C　解析 =-1-i,则z=i(-1-i)=-i-i2=1-i.故选C. 3.A　解析 由已知得i(+z)=i(5-i+5+i)=10i.故选A. 4.C　解析 z1+z2=a+2i-4+bi=(a-4)+(2+b)i为实数,则2+b=0,b=-2.z1-z2=a+2i-(-4+bi)=(a+4)+(2-b)i为纯虚数,则a+4=0,2-b≠0,得a=-4,所以a+bi=-4-2i,复数a+bi在复平面内对应的点在第三象限.故选C. 5.C　解析 因为=3+i,所以2z+2i=3z+iz,即得(1+i)z=2i,所以z==1+i.故选C. 6.A　解析 (方法1)由x2-2x+10=(x-1)2+9=0,得z=1±3i,故|z|=. (方法2)设z=a+bi(a,b∈R),代入x2-2x+10=0,得(a+bi)2-2(a+bi)+10=0,所以a2+2abi-b2-2a-2bi+10=0,即(a2-b2-2a+10)+(2ab-2b)i=0, 所以 解得所以|z|=.故选A. 7.BC　解析 由题意有z==3+2i,所以虚部为2,故A错误;|z|=,故B正确;复数z的共轭复数为=3-2i,故C正确;复数z在复平面内对应的点为(3,2),位于第一象限,故D错误.故选BC. 8.ABD　解析 已知z∈C,设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.对于A,若,即,得bi=-bi,即b=0,所以z=a,有z∈R,故A正确;对于B,若z2=3,则有a2+2abi-b2=3,显然a≠0,得b=0,有z=±∈R,故B正确;对于C,若z2=,即a2+2abi-b2=a2-2abi-b2,有4abi=0,得ab=0,其中当a=0,b≠0时,z∉R,故C错误;对于D,若2z>,有2a+2bi>a-bi,两个复数能比较大小,则b=0,a>0,有z∈R,故D正确.故选ABD. 9.　解析 由于=-i(3+i)=1-3i,所以||=|1-3i|=. 10.-　解析 i, 因为为实数,所以=0,解得a=-. 11.D　解析 设z=a+bi,其中a,b∈R,则=a-bi,由题意知(a+bi)·(a-bi)=2(a+bi-i),化简得a2+b2=2a+2(b-1)i,则可得=1-i,在复平面内对应点的坐标为(1,-1),位于第四象限.故选D. 12.D　解析 依题意,|z-2-2i|=2表示复数z在复平面内对应的点在以点(2,2)为圆心,2为半径的圆上,|z|表示上述圆上的点到原点的距离,所以|z|max=+2=2+2.故选D. 13.C　解析 由x2+x+1=0可得(x+)2+=0,可得(x+)2=-,解得x=-i或x=-i,由根与系数的关系可得z1+z2=-1,z1z2=1.对于A,由题意可知,方程x2+x+1=0的两根z1,z2互为共轭复数,即z1=,故A正确;对于B,+z1+1=0,所以=-z1-1=-z1+z1+z2=z2,故B正确;对于C,=(z1+z2)(z1-z2)=-(z1-z2)=z2-z1,所以||=|z2-z1|=|i|=,故C错误;对于D,=(z1-z2)(+z1z2+)=(z1-z2)·[(z1+z2)2-z1z2]=(z1-z2)·[(-1)2-1]=0,故D正确.故选C. 14.ABD　解析 对于A,设z1=a+bi,z2=m+ni,a,b,m,n∈R,则2z1-z2=2a-m+(2b-n)i,则=2a-m-(2b-n)i,2=2(a-bi)-(m-ni)=(2a-m)-(2b-n)i,则=2,故A正确;对于B,平移复数z1,z2在复平面内对应的向量,使两复数在复平面对应向量起点相同,则z1-z2对应向量为由z2对应向量终点指向z1对应向量终点所形成的向量,若z1,z2对应的向量不共线,则复数z1,z2,z1-z2在复平面内对应的向量的对应图形可组成三角形,由三角形三边关系可得|z1-z2|<|z1|+|z2|,若z1,z2对应的向量共线,且方向相反,则|z1-z2|=|z1|+|z2|,若z1,z2对应的向量共线,且方向相同,则|z1-z2|≤|z1|+|z2|,综上,|z1-z2|≤|z1|+|z2|,故B正确;对于C,令z1=i,z2=1,则|z1|=|z2|=1⇒|z1|-|z2|=0,但=-1,=1,=-2≠0,故C错误;对于D,因为|2z1|≥0,|3z2|≥0,|2z1|+|3z2|=0,则|2z1|=|3z2|=0⇒z1=z2=0,故D正确.故选ABD. 15.-22 025　解析 因为1-i=2(i)=2[cos(-)+isin(-)],所以(1-i)2 025=22 025[cos(-)+isin(-)]=22 025[cos(-675π)+isin(-675π)]=22 025(cos π+isin π)=-22 025. 学科网（北京）股份有限公司 $