专题06平面向量与复数训练-2026届高三数学一轮复习

2026高三（上）学期期末复习——佛山一模专题冲刺系列 全市PK·排位最准·为自己拼一把！ 专题06 平面向量与复数 题型一、平面向量的概念 1．(2025·江苏扬州模拟)下列命题中，正确的是(　　) A．若＝，则a＝b B．若a＝b，则a∥b C．若a≠b，则a与b不是共线向量 D．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb 题型二、　平面向量的线性运算 2.若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　) A．[3，7] B．(3，7) C．[3，11] D．(3，11) 3.(2024·山东济南二模)在△ABC中，E为边AB的中点，＝，则＝(　　) A．－ B． C． D． 4.在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，＝m＋n，则m＋n＝(　　) A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1 题型三、向量共线定理的应用 5.(2025·浙江杭州模拟)已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 6.(2024·广东广州二模)已知向量a与b不共线，若a＋kb与a＋b共线(k∈R)，则k的值是 题型四、平面向量基本定理的应用 7.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 8.如图，在△ABO中，已知＝a，＝b，＝a，＝b，AN与BM交于点P，则＝________(用向量a，b表示)． 题型五、平面向量的坐标运算 9.在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A．　 B． C． D． 10.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 题型六、向量共线的坐标表示 11.(2024·贵州贵阳二模)已知向量a＝，b＝，若∥，则实数x＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－4 12.(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若连接AB，BC，AC能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 13.已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________． 题型七、平面向量数量积的运算 14.(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 15.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________． 题型八、平面向量数量积的应用 16. (1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 17.(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 18.若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　) A． B． C． D． 19.(2025·广东深圳模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝＝＝，若∠BAC为锐角，则实数k的取值范围是________． 题型九、　平面向量的应用 20.(多选)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　　) A．若＝＝，则P是△ABC的垂心 B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心 C．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心 D．若＝0，则N是△ABC的重心 题型十、求数量积 21.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．5 22.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，＝4，＝－1，则的值为________． 题型十一、求数量积的最值(范围) 23.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 题型十二、复数的有关概念 24.(1)(2024·山东菏泽一模)已知复数z满足z(1＋i)＝i2 024，其中i为虚数单位，则z的虚部为(　　) A．－ B． C．－i D． 题型十三、复数的四则运算 25.(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 26已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 025＝________． 题型十三、复数的几何意义 27.(2024·山西晋城一模)设z在复平面内对应的点为(1，－2)，则在复平面内对应的点为(　　) A． B． C． D． 28.设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 专题06 平面向量与复数答案 1.B　[对于A，若|a|＝|b|，则a，b只是大小相等，并不能说方向相同，A错误； 对于B，若a＝b，则a，b方向相同，B正确； 对于C，当a≠b时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，故a与b可以为共线向量，故C错误；对于D，当b＝0，a为非零向量时，λ不存在，D错误．故选B． 2.C　[由题意知||＝7，||＝4，且||＝||， 当同向时，||取得最小值，||＝||＝|||－|||＝|4－7|＝3； 当反向时，||取得最大值，||＝||＝|||＋|||＝|4＋7|＝11； 当不共线时，3＝|||－|||<||<|||＋|||＝11． 故||的取值范围是[3，11]． 3.因E为中点，＝，所以＝＝＝．故选D． 4.A　[因为D是BC的中点，所以＝＝＝． 又因为M是AD的中点，所以＝＝－)＝－， 又＝m＋n，所以m＝－，n＝，所以m＋n＝－． 5.对于A，因为＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，不存在实数λ使得＝λ，故A，B，C三点不共线，故A错误；对于B，因为＝e1＋2e2，＝3e1－6e2，不存在实数λ使得＝λ，故A，B，D三点不共线，故B错误；对于C，因为＝＝－2e1＋4e2，＝3e1－6e2，则＝－，故A，C，D三点共线，故C正确；对于D，因为＝－3e1＋2e2，＝－()＝－(e1＋2e2＋3e1－6e2)＝－4e1＋4e2，不存在实数λ使得＝λ，故B，C，D三点不共线D错． 6.　若a＋kb与a＋b共线，则设a＋kb＝λ ＝λa＋λb， 因为向量a与b不共线，所以 所以k2＋k－1＝0，解得k＝．] （7题图） （10题图） 7.因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即＝2()，所以＝3－2＝－2m＋3n．故选B． 8.设＝ma＋nb，又＝a，＝b，所以＝3m＋n＝m＋2n．又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以解得所以＝a＋b．] 9.因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－)＝． 10.建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，∵＝λ＋μ， ∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)＝(－2λ＋μ，λ＋2μ)，∴ 故λ＋μ＝．] 11.3a－b＝，a＋2b＝， 由∥，则有1×－5×＝0，解得x＝－4．故选D． 12.由题知＝＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1·(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以若连接AB，BC，AC能构成三角形，则m≠1．故选ABD 13由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝＝(4λ－4，4λ)． 又＝＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)． 14.由题意知，a－b＝(－1，1)，所以a·(a－b)＝(0，1)·(－1，1)＝1．故选B． 15法一(投影法)：设向量的夹角为θ，则＝＝||·||cos θ，由图可知，||cos θ＝||，所以原式等于||2＝1．要使最大，只要使向量在向量上的投影向量的长度达到最大即可，因为在向量上的投影向量的长度最大为||＝1，所以()max＝||2＝1． 法2(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得＝1．因为＝(1，0)，所以＝x，因为0≤x≤1，所以()max＝1． 16因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2， 所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝．故选B． 17由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2－2a·b＝0，所以a2－(a2＋b2－3)＝0，b2＝3，所以|b|＝． 18e1·e2＝1×1×cos ＝，故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝＝－6＋＋2＝－，|a|＝＝，|b|＝＝＝，故cos〈a，b〉＝＝＝－，〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝． 19.＝＝＝＝，因为∠BAC为锐角，所以>0且与不是共线向量，即 解得k∈， 所以实数k的取值范围是．] 20.对于A，由题意可得＝·()＝＝0， 所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确； 对于B，如图，设＝＝，则||＝||＝1， （21题图） （23题图） 以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形， 则＝＝，所以＝λ＝λ， 又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误；对于C，因为||＝||＝||，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确； 对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意＝2＝－，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确． 21.因为a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝×(10－6)＝1，所以a·b＝1． 22.设＝a，＝b，＝||2－||2＝9b2－a2＝4，＝||2－||2＝b2－a2＝－1，解得b2＝，a2＝，所以＝||2－||2＝4b2－a2＝．] 23.(极化恒等式)：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，连接AD，设AD的中点为E，连接PE，PD，则有＝2，则·()＝2＝2()·()＝2(||2－||2)．而||2＝＝，当点P与点E重合时，有最小值0，故此时·()取得最小值，最小值为－2||2＝－2×＝－．故选B． 法二(坐标法)：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·()＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，·()取得最小值，最小值为－．故选B． 24.由z(1＋i)＝i2 024得z＝＝＝＝，故复数的虚部为－．故选A． 25C　[(1)因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i．故选C． 261＋i　因为z＝1＋＝1＋＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2 025＝＝＝1＋i． 27C　　[(1)依题意得z＝1－2i，所以＝＝＝＝－i， 则在复平面内对应的点为．故选C． 28.法一(代数法)：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝＋i，所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(－a)＋(1－b)i．因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以＝4，① ＝4，②①2＋②2，得a2＋b2＝12．所以|z1－z2|＝＝2． 法二(几何法)：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，则z1＋z2对应向量． 由题意知||＝||＝||＝2， 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1－z2对应的向量为，且||＝||＝||＝2，可得||＝2||sin 60°＝2．故|z1－z2|＝||＝2．] 1 学科网（北京）股份有限公司 $