精品解析：2026 年福建省厦门市集美区初中毕业年级模拟考试 数学

2026年集美区初中毕业年级模拟考试 数学 本试卷共8页．满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2.5 2. 福建省统计局发布数据，2025年福建省地区生产总值约为60200亿元，比上年增长5.0%．这意味着“十四五”时期，我省地区生产总值接连跨越两个万亿元台阶．数据60200用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 3. 某非遗工坊用传统竹编技艺制作四方收纳斗，造型取自古代礼器“方斗”．下图为其示意图，它的主视图是（） A. B. C. D. 4. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中，最合适的是（ ） A. 在初一年级中随机选取100人 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取100人 D. 在全校学生中随机选取100人 5. 若点向上平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，三角尺的顶点落在直尺的边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 解方程的步骤如下： 方程左右两边同乘，① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 经检验，原分式方程无解． 以上解方程的过程中，错误的一步是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9. 如图，在中，是对角线上的动点（点不与点，重合），过点作，，记，，，的面积分别为，，、，在点运动过程中，下列关系始终成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 某款小型无人潜水器使用“可变体积气囊”控制沉浮，其工作原理是内部充入固定质量的空气，通过液压活塞压缩或释放气囊体积V（单位：），改变气囊内部空气密度ρ（单位：kg/m³），从而控制沉浮．正常工作状态下，空气密度ρ与体积 V是反比例函数关系，它的图象如图所示，图中点A和点B的坐标是潜水器记录的两个异常数据，下列对这两个异常数据的解释正确的是（ ） A. 点A，B均反映潜水器充入过高质量的空气 B. 点A，B均反映潜水器充入过低质量的空气 C. 点A，B分别反映潜水器充入过高质量的空气和过低质量的空气 D. 点A，B分别反映潜水器充入过低质量的空气和过高质量的空气 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. ﹣3的相反数是__________． 12. 已知正比例函数，随的增大而增大，请写出一个符合条件的值：_________． 13. 如图，，是的中点，将绕点逆时针旋转会得到，点的对应点是，的长为_________． 14. 某地区七年级共有名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了名男生，测得他们的数据（单位：）如表所示． 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 3 2 根据以上信息，估计该地区七年级名男生中等级为正常的人数是_______． 15. 如图，为的直径，点在上，过点作的切线与的延长线交于点．若的半径为， ，则的度数为______． 16. 已知点是抛物线上的点，其中点A，C在抛物线对称轴的两侧．若，则c，，的大小关系是________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程组 18. 如图，在菱形中，点在对角线上，连接．证明：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 班级打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励在绘画比赛中获奖的学生．笔记本的价格为16元/本，中性笔的价格为4元/支，该班级一共要购买20件奖品．设购买x本笔记本． （1）用含有x的代数式表示购买这些奖品的费用； （2）若购买这些奖品的费用不超过200元，那么该班级最多能买多少本笔记本？ 21. 2026年闽超足球联赛球队集训时采用中国足协通用的职业球员体能考核标准，以间歇耐力测试为考核项目，模拟反复冲刺、停顿的真实比赛节奏．甲、乙两支球队采用不同集训方案：甲队采用高强度突击训练，乙队采用匀速渐进训练，为客观对比训练效果，集训前统一进行耐力测试（简称“前测”），集训结束后进行同标准的耐力测试（简称“后测”）．现对两队各名球员的前、后测耐力等级数据进行分析，结果如表一~表三所示． 表一：甲、乙两队球员前测耐力等级数据 队伍 平均数 中位数 方差 甲队 12 13 5.1 乙队 13 14 4.8 表二：甲、乙两队球员后测耐力等级数据 队伍 平均数 中位数 方差 甲队 15 15 1.4 乙队 16 1.3 表三：乙队后测耐力等级 耐力等级 13 14 15 16 17 18 人数 1 1 2 11 3 2 （1）在乙队中随机抽取一名球员，求这名球员后测的耐力等级不低于的概率； （2）求乙队球员后测的平均耐力等级； （3）结合前测、后测的耐力等级数据，判断甲、乙哪支球队集训效果更好，并说明理由． 22. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，点A 关于射线DE的对称点为F． （1）求作点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）射线CF交射线DE于点P，连接AP，AF，求证∶． 23. 生活中，许多商品都用纸箱进行包装，对于给定数量的商品，如何用更少的包装纸进行包装，对于环保和生产商的利益都是重要的．某综合实践小组针对圆柱体产品单层齐排列时，长方体包装纸箱的卡纸用料最小的问题开展探究活动．图1的长方体是外包装纸箱的示意图，图2是该种圆柱体产品在包装箱中齐排列的底面示意图． 为了方便计算，该小组将圆柱体的底面圆半径记为R，圆柱体的高记为h，排列的列数记为x，排列的行数记为y，每箱产品的个数记为n． （1）请用含R，x，y的代数式表示包装纸箱的底面积； （2）已知某规格的圆柱体产品中，，，若采用单层齐排列的包装方式，请探究如何设计排列的行数和列数，使得包装纸箱的用料最省； （3）根据（2）的探究结果，当n为完全平方数（若整数，其中a为整数，则n是完全平方数），猜想采用单层齐排列的包装方式，包装纸箱的用料最省时，x，y与n的数量关系． 24. 定义∶点在抛物线上，若，则称点P是该抛物线的一个“不动点”在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C． （1）当时，若抛物线经过点， ①求抛物线的解析式； ②判断抛物线上不动点的个数，并说明理由； （2）若，是抛物线上的两个不动点，且，点在点C和点M之间的抛物线上，证明：． 25. 四边形内接于，为的直径，与相交于点E． （1）如图1，若B是的中点，求的度数； （2）如图2，点F在边上，且满足，当时， ①证明： ； ②若；．求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年集美区初中毕业年级模拟考试 数学 本试卷共8页．满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2.5 【答案】C 【解析】 【详解】解：设点A表示的实数为x， 由数轴可知，， ∴符合题意的数为． 2. 福建省统计局发布数据，2025年福建省地区生产总值约为60200亿元，比上年增长5.0%．这意味着“十四五”时期，我省地区生产总值接连跨越两个万亿元台阶．数据60200用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，根据科学记数法的定义，将原数改写为符合要求的形式即可得到答案，科学记数法的标准形式为，要求，为整数． 【详解】解：科学记数法要求，原数为正整数， 对变形得． 3. 某非遗工坊用传统竹编技艺制作四方收纳斗，造型取自古代礼器“方斗”．下图为其示意图，它的主视图是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵该几何体是一个倒置的四棱台，上口大下底小， ∴从正面看，其轮廓是一个上底长、下底短的梯形， 观察各选项，只有D选项为倒梯形． 4. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中，最合适的是（ ） A. 在初一年级中随机选取100人 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取100人 D. 在全校学生中随机选取100人 【答案】D 【解析】 【详解】解：抽样调查选取样本时，需要样本能够代表总体，具有代表性和广泛性，A选项仅选取初一年级学生，无法覆盖全校其他年级，不能代表全校学生整体情况，不符合要求， B选项仅选取体育队的学生，体育队学生锻炼时间普遍长于普通学生，不具有代表性，不符合要求， C选项仅选取全校女生，无法代表男生的情况，不具有广泛性，不符合要求， D选项在全校学生中随机选取人，样本具有代表性和广泛性，符合要求． 5. 若点向上平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点向上平移个单位长度得到点，向上平移不改变横坐标，只改变纵坐标， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，对应选项为A． 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需要根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A ∵ 合并同类项时，系数相加，字母和指数不变 ∴ ，A错误． 选项B ∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ∴ ，B错误． 选项C ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘 ∴ ，C正确． 选项D ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减 ∴ ，D错误． 7. 如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，三角尺的顶点落在直尺的边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的和差关系，两直线平行，同旁内角互补，以及三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：由图和题意，可知： ∵， ∴， ∴， ∴. 8. 解方程的步骤如下： 方程左右两边同乘，① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 经检验，原分式方程无解． 以上解方程的过程中，错误的一步是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】按照解分式方程的步骤去分母解法，需要验证每一步计算是否正确，找出错误步骤． 【详解】解：原方程为， ∴公分母为， 当方程两边同乘时，左边，右边为 ， 去分母后正确结果应为 ， 而题干步骤①的变形结果为，与正确结果不符，故步骤①出错， 出错步骤是①． 9. 如图，在中，是对角线上的动点（点不与点，重合），过点作，，记，，，的面积分别为，，、，在点运动过程中，下列关系始终成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，结合图形面积的割补法，利用以及小平行四边形对角线分得的三角形面积相等，即可推导出与 的关系． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， 四边形和四边形为平行四边形，是对角线上的动点， 为的对角线，为的对角线， ，， ，， ， ． 10. 某款小型无人潜水器使用“可变体积气囊”控制沉浮，其工作原理是内部充入固定质量的空气，通过液压活塞压缩或释放气囊体积V（单位：），改变气囊内部空气密度ρ（单位：kg/m³），从而控制沉浮．正常工作状态下，空气密度ρ与体积 V是反比例函数关系，它的图象如图所示，图中点A和点B的坐标是潜水器记录的两个异常数据，下列对这两个异常数据的解释正确的是（ ） A. 点A，B均反映潜水器充入过高质量的空气 B. 点A，B均反映潜水器充入过低质量的空气 C. 点A，B分别反映潜水器充入过高质量的空气和过低质量的空气 D. 点A，B分别反映潜水器充入过低质量的空气和过高质量的空气 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，图象上的点满足  （常数），图象上方的点满足  ，图象下方的点满足  ，结合质量公式  进行判断即可． 【详解】解：正常工作状态下空气的质量为 ，则 ，即  ，  点  在反比例函数图象的上方 ，  点  对应的  的值大于正常工作的质量 ，即充入空气质量过高，   点  在反比例函数图象的下方 ，  点  对应的  的值小于正常工作的质量 ，即充入空气质量过低，   点 ， 分别反映潜水器充入过高质量的空气和过低质量的空气． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. ﹣3的相反数是__________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 所以﹣（﹣3）=3， 故答案为：3． 12. 已知正比例函数，随的增大而增大，请写出一个符合条件的值：_________． 【答案】(答案不唯一，任意均可) 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，当时，随的增大而增大，因此只需写出一个大于的即可． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴， ∴任意大于的都符合条件， 故答案为(答案不唯一)． 13. 如图，，是的中点，将绕点逆时针旋转会得到，点的对应点是，的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段中点的定义求出的长，根据旋转的性质得出且，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】是的中点， 由旋转的性质可知，， 是等边三角形 ． 14. 某地区七年级共有名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了名男生，测得他们的数据（单位：）如表所示． 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 3 2 根据以上信息，估计该地区七年级名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】用总人数乘以样本中等级为正常的人数所占比例即可求解 【详解】解：由题意可得，该地区七年级名男生中等级为正常的人数是：， 故答案为． 15. 如图，为的直径，点在上，过点作的切线与的延长线交于点．若的半径为， ，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，利用弧长公式可得，又由切线的性质得，进而根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，设，  ，  ，  解得，  ，  是的切线， ，  ，  ∴． 16. 已知点是抛物线上的点，其中点A，C在抛物线对称轴的两侧．若，则c，，的大小关系是________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，结合已知条件先求出对称轴的取值范围，再明确是抛物线处的函数值，利用开口向上的抛物线上点到对称轴的距离越大，函数值越大的性质，比较三个点到对称轴的距离即可得到大小关系． 【详解】解：抛物线中，因此抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越大， 设抛物线对称轴为，则， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∵点，在对称轴两侧，的横坐标为，的横坐标为， ∴， ∴， 当 时，代入抛物线解析式得，因此是抛物线上横坐标为的点的函数值， ∵，，，且， ∴ ∴， ∴． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 得， 解得：， 将代入得，， 解得： ∴方程组的解为： 18. 如图，在菱形中，点在对角线上，连接．证明：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，再根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将的值代入，根据二次根式的运算法则求解即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、二次根式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 20. 班级打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励在绘画比赛中获奖的学生．笔记本的价格为16元/本，中性笔的价格为4元/支，该班级一共要购买20件奖品．设购买x本笔记本． （1）用含有x的代数式表示购买这些奖品的费用； （2）若购买这些奖品的费用不超过200元，那么该班级最多能买多少本笔记本？ 【答案】（1）购买这些奖品的费用为元，其中且为整数 （2）该班级最多能买本笔记本 【解析】 【分析】（1）先根据总奖品数量得到中性笔的购买数量，再根据“总价=单价×数量”列出总费用的代数式并化简； （2）根据费用不超过200元的不等关系列出一元一次不等式，求解后结合x的实际意义得到最大购买数量． 【小问1详解】 解：由题意得，购买本笔记本，总奖品数为20件，因此购买中性笔的数量是支． 总费用等于笔记本总价加中性笔总价，因此：其中且为整数， 因此购买这些奖品的费用为元，其中且为整数． 【小问2详解】 根据题意列不等式： 移项得 系数化为1得 为整数，因此的最大值为10． 答：该班级最多能买10本笔记本． 21. 2026年闽超足球联赛球队集训时采用中国足协通用的职业球员体能考核标准，以间歇耐力测试为考核项目，模拟反复冲刺、停顿的真实比赛节奏．甲、乙两支球队采用不同集训方案：甲队采用高强度突击训练，乙队采用匀速渐进训练，为客观对比训练效果，集训前统一进行耐力测试（简称“前测”），集训结束后进行同标准的耐力测试（简称“后测”）．现对两队各名球员的前、后测耐力等级数据进行分析，结果如表一~表三所示． 表一：甲、乙两队球员前测耐力等级数据 队伍 平均数 中位数 方差 甲队 12 13 5.1 乙队 13 14 4.8 表二：甲、乙两队球员后测耐力等级数据 队伍 平均数 中位数 方差 甲队 15 15 1.4 乙队 16 1.3 表三：乙队后测耐力等级 耐力等级 13 14 15 16 17 18 人数 1 1 2 11 3 2 （1）在乙队中随机抽取一名球员，求这名球员后测的耐力等级不低于的概率； （2）求乙队球员后测的平均耐力等级； （3）结合前测、后测的耐力等级数据，判断甲、乙哪支球队集训效果更好，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）解：乙队集训效果更好， 理由如下：从提升幅度看，甲乙两队平均成绩均提升了分，中位数均提升了分，提升幅度相当，但集训后乙队的平均数与中位数均高于甲队，且方差更小， ∴乙队整体水平更高更稳定， ∴乙队集训效果更好． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式，用符合条件的人数除以总人数得到概率； （2）利用加权平均数公式计算乙队后测的平均耐力等级； （3）根据平均数、中位数、方差的统计意义，对比两队前后测数据，判断集训效果． 【小问1详解】 解：∵乙队共有名球员，后测耐力等级不低于的球员人数为， ∴所求概率为． 【小问2详解】 解：根据表三数据，计算乙队后测平均耐力等级：， ∴乙队球员后测的平均耐力等级为． 【小问3详解】 略 22. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，点A 关于射线DE的对称点为F． （1）求作点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）射线CF交射线DE于点P，连接AP，AF，求证∶． 【答案】（1）如图，点F即为所求， （2）解：连接，， 点关于射线的对称点为， 射线垂直平分线段，， 四边形是正方形， ，， ， 点，，在以点为圆心，为半径的圆上， 点在劣弧上， ∴劣弧所对的圆周角度数是， ∴由圆内接四边形性质，弧所含的圆周角度数是， 点在射线上，垂直平分， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质，点关于射线的对称点满足且，因此可用尺规作图作出点． （2）连接，由轴对称性质得垂直平分且，结合正方形性质得，从而、、三点在以为圆心的圆上，利用圆周角定理求出，进而得；再由点在上得，从而为等腰直角三角形，证得． 【小问1详解】 解：如图，以点为圆心，长为半径画弧， 以点为圆心，长为半径画弧， 两弧交于点（点在正方形外部）， 则点即为所求． 【小问2详解】 略 23. 生活中，许多商品都用纸箱进行包装，对于给定数量的商品，如何用更少的包装纸进行包装，对于环保和生产商的利益都是重要的．某综合实践小组针对圆柱体产品单层齐排列时，长方体包装纸箱的卡纸用料最小的问题开展探究活动．图1的长方体是外包装纸箱的示意图，图2是该种圆柱体产品在包装箱中齐排列的底面示意图． 为了方便计算，该小组将圆柱体的底面圆半径记为R，圆柱体的高记为h，排列的列数记为x，排列的行数记为y，每箱产品的个数记为n． （1）请用含R，x，y的代数式表示包装纸箱的底面积； （2）已知某规格的圆柱体产品中，，，若采用单层齐排列的包装方式，请探究如何设计排列的行数和列数，使得包装纸箱的用料最省； （3）根据（2）的探究结果，当n为完全平方数（若整数，其中a为整数，则n是完全平方数），猜想采用单层齐排列的包装方式，包装纸箱的用料最省时，x，y与n的数量关系． 【答案】（1） （2）排列为4列4行时，包装纸箱用料最省 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据圆柱体底面直径求出包装纸箱的底面的长和宽，进而根据面积公式计算即可； （2）根据题意求出长方体表面积，可知要让长方体表面积​最小，只需最小即可，根据完全平方公式得到，可知当时，有最小值8，求出x的值即可； （3）根据（2）的结论，，因此猜想：包装纸箱的用料最省时，． 【小问1详解】 解：∵圆柱体的底面圆半径记为R， ∴圆柱体底面直径为， ∴列并排的总长度为，行并排的总宽度为， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知， 长方体表面积 可知要让长方体表面积​最小，只需最小即可， ∵， ∴ ∴ ， 可知当时，有最小值8， 由得， 经检验，是原分式方程的解， 可知， 因此排列为4列4行时，包装纸箱用料最省； 【小问3详解】 解：根据（2）的结论可知，， 则包装纸箱的用料最省时，． 24. 定义∶点在抛物线上，若，则称点P是该抛物线的一个“不动点”在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C． （1）当时，若抛物线经过点， ①求抛物线的解析式； ②判断抛物线上不动点的个数，并说明理由； （2）若，是抛物线上的两个不动点，且，点在点C和点M之间的抛物线上，证明：． 【答案】（1）①②2，理由见解析 （2）证明：∵，是抛物线上的两个不动点， ∴，， ∴，是方程的两个根， ∴整理得， ∴，， ∴，， ∵点在点C和点M之间的抛物线上， ∴， 又抛物线的对称轴为， 代入得对称轴为， ∵， ∴， ∴ ∴对称轴， 又∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随的增大而减小， ∴当时，， ∵是方程的根， ∴，即， 所以，． 【解析】 【分析】（1）①已知抛物线经过的点和c的值，将点代入抛物线方程即可求出b的值，进而得到抛物线的解析式；②根据不动点的定义，令，得到一个一元二次方程，通过判断该方程的判别式的值来确定不动点的个数； （2）先根据不动点的定义得到关于c的方程，再结合已知条件求出b、c与的关系，最后根据抛物线的性质证明． 【小问1详解】 解：①把代入解析式，得：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； ②根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即抛物线上有2个不动点． 【小问2详解】 证明：略． 25. 四边形内接于，为的直径，与相交于点E． （1）如图1，若B是的中点，求的度数； （2）如图2，点F在边上，且满足，当时， ①证明： ； ②若；．求的半径． 【答案】（1） （2）证明：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. ②的半径为. 【解析】 【分析】（1）证明，结合B是的中点，进一步可得答案； （2）①证明，可得，证明，进一步可得. ②如图，过作于，结合，设，，，则，，证明，可得：，求解，进一步结合勾股定理与相似三角形可得答案. 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵B是的中点， ∴. 【小问2详解】 证明：①略. ②如图，过作于， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴设，，，则，，， 由①得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为. 【点睛】压轴问关键是参数的使用，利用相似三角形的性质确定参数之间的关系是解题的突破口. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $