精品解析：江苏省南通市海安市海安十三校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

八年级数学期中试卷 一．选择题（共10小题，每题3分共30分） 1. 要使式子在实数范围内有意义，字母a的取值必须满足（ ） A. B. C. D. 2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 将直线y＝2x向下平移3个单位长度后，得到的直线是（ ） A. y＝2x＋3 B. y＝2x－3 C. y＝2(x＋3) D. y＝2(x－3) 4. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列计算正确有（ ） A. B. C. D. 6. 在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当时， D. 不等式的解集是 7. 如图，在菱形中，若，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 8. 甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法：①甲、乙同学都骑行了18km；②甲、乙同学同时到达B地；③甲停留前、后的骑行速度相同；④乙的骑行速度是；其中正确的说法是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 9. 如图，在中，，，，连接，若、分别为线段、的中点，则线段的长为（） A B. C. D. 10. 如图，矩形纸片的边长为4，将这张纸片沿折叠，使点C与点A重合，已知折痕长为，则长为（ ） A. 4.8 B. 6.4 C. 8 D. 10 二．填空题（共8小题，11，12每题3分，13~18每题4分，共30分） 11. 已知正比例函数，当时，函数值_____________． 12. 在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝_____°． 13. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________ 14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 _____． 15. “尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为______． 16. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 __________ ． 17. 如图，在中，是上的动点，过点分别作的垂线段，垂足分别为，连接，则的最小值为_____． 18. 已知一次函数，若对于范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于k，则k的取值范围是____． 三．解答题（共8小题，共90分） 19 计算： （1）． （2）； 20. 在平面直角坐标系中有，，三点． （1）求过，两点的直线的函数解析式； （2）判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式： （2）点为轴上一点，若的面积为12，求点的坐标． 22. 如图，在中，，，点D为内一点，且，，． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分的面积． 23. 如图，矩形对角线交于点O，且． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求矩形的面积． 24. 某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元；乙种产品进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元和18元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 25. 已知一次函数的图象经过点A，B．点A的坐标为，点B的横坐标为m． （1）求b的值； （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标差为6，求m的值； （3）已知点，以坐标原点O为中心构造矩形，且轴，若线段与矩形只有一个公共点，求m的取值范围． 26. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°． （1）点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：（SAS），请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学期中试卷 一．选择题（共10小题，每题3分共30分） 1. 要使式子在实数范围内有意义，字母a的取值必须满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得，解不等式，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：B． 2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理，即可求得． 【详解】解：A、，故是直角三角形，故A选项不符合题意； B、，故是直角三角形，故B选项不符合题意； C、，故不是直角三角形，故C选项符合题意； D、，故是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 3. 将直线y＝2x向下平移3个单位长度后，得到的直线是（ ） A. y＝2x＋3 B. y＝2x－3 C. y＝2(x＋3) D. y＝2(x－3) 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：把直线y＝2x向下平移3个单位长度得到直线y＝2x﹣3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减． 4. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图： A、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形；故B选项不符合题意； C、，无法判断四边形是平行四边形；故C选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形；故D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 5. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法法则计算判断A，B，再根据二次根式的乘法法则计算判断C，D． 【详解】因为和不是同类二次根式，不能合并，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 6. 在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当时， D. 不等式的解集是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与轴，轴的交点为，， 当时，，故错误，不符合题意； 方程的解是，故正确，符合题意； 当时，，故错误，不符合题意； 不等式的解集是，故错误，不符合题意； 故选：． 7. 如图，在菱形中，若，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】连接，交于点O，由菱形可得，在由勾股定理可得，即可解得． 【详解】如图所示，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，勾股定理，菱形的面积． 8. 甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法：①甲、乙同学都骑行了18km；②甲、乙同学同时到达B地；③甲停留前、后的骑行速度相同；④乙的骑行速度是；其中正确的说法是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然后又用0.5小时到达离出发地18千米的目的地；甲比乙早到0.5小时出发；乙用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，然后根据此信息分别对4种说法进行判断． 【详解】①根据图形的纵坐标可得：他们都骑行了18km，故原说法正确； ②从图形的横坐标看，甲比乙早到了0.5小时，故原说法错误； ③休息前直线上升得快，休息后直线上升得慢，故休息前的速度大于休息后的速度，故原说法错误； ④乙行完全程需用时2-0.5=1.5时，故其速度为：18÷1.5=12km/h，故原说法正确. 故选B. 【点睛】此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 9. 如图，在中，，，，连接，若、分别为线段、的中点，则线段的长为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．作，连接并延长交于，连接，首先证明，解直角三角形求出，利用三角形中位线定理即可． 【详解】作，连接并延长交于，连接， 在和中， 在中 故选：B． 10. 如图，矩形纸片的边长为4，将这张纸片沿折叠，使点C与点A重合，已知折痕长为，则长为（ ） A. 4.8 B. 6.4 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作于点G，则四边形是矩形，从而，在中，利用勾股定理求得．设，则．由得到，从而在中，有，代入即可解得x的值，从而得到，的长，即可得到． 【详解】过点F作于点G ∵在矩形中， ∴四边形是矩形 ∴ ∴在中， 设，则 ∵在矩形中， ∴ 由折叠得 ∴ ∴ ∵在矩形中， ∴ ∵在中， ∴ 解得 即， ∴由折叠可得 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法． 二．填空题（共8小题，11，12每题3分，13~18每题4分，共30分） 11. 已知正比例函数，当时，函数值_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值，掌握自变量和函数值之间的一一对应关系是解题的关键．把代入解析式，即可求解． 【详解】解：当时，函数值． 故答案为： 12. 在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝_____°． 【答案】100 【解析】 【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案． 【详解】解：因为四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠D=160°， 所以∠B＝∠D=160°÷2=80°，∠B+∠C＝180°， 所以∠C＝180°﹣80°＝100°． 故答案为：100 【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质定理 13. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可知要说明“”是错误的，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴要说明“”是错误的，则， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案：6． 15. “尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解勾股定理的计算方法是解题的关键． 根据题意，设长方形门高x尺，则宽是尺，由勾股定理的计算方法即可求解． 【详解】解：设长方形门高x尺，则宽是尺，对角线长1丈尺， 根据题意得，， 答案为：． 16. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理、三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据四边形为菱形得，，，由勾股定理求出，根据为的中位线，即可得． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴， ∵点O为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，是上的动点，过点分别作的垂线段，垂足分别为，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度的直角三角形，矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，将求的最小值转化为求的最小值是解题关键．连接，由直角三角形得到，，证明四边形是矩形，得到，由垂线段最短可知，时，有最小值，此时有最小值，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，时，有最小值，此时有最小值， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 18. 已知一次函数，若对于范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于k，则k的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键． 根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可． 【详解】解：一次函数， 随的增大而增大， 对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于k， ， 解得． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共90分） 19. 计算： （1）． （2）； 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算解答即可． （2）根据二次根式的混合运算解答即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 在平面直角坐标系中有，，三点． （1）求过，两点的直线的函数解析式； （2）判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 【答案】（1） （2），，三点在同一条直线上，详见解析 【解析】 【分析】（1）根据点、坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）将点坐标代入（1）中解析式中，判定是否符合函数解析式即可作出判断． 【小问1详解】 解：设过，两点的直线的函数解析式， 则，解得， ∴直线的函数解析式为 【小问2详解】 解：，，三点在同一条直线上， 理由：当时，， ∴点在直线上， 即，，三点在同一条直线上． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、判定点是否在直线上，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解答的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式： （2）点为轴上一点，若的面积为12，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式并且求出点坐标是解决本题的关键． （1）待定系数法求出的解析式即可； （2）先求出点坐标得到，设点的坐标为，利用三角形面积公式流程关于的方程求出值即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：点在直线上， ，解得， ， 点，在直线上， ∴，解得， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由直线解析式可知点即， 设点的坐标为，则， 解得：或14， ∴或． 22. 如图，在中，，，点D为内一点，且，，． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出的长． （1）根据勾股定理和，，，可以求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：∵，，，， ； 【小问2详解】 解：∵，，，且， 即， ∴是直角三角形，， ． 23. 如图，矩形的对角线交于点O，且． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求矩形的面积． 【答案】（1）菱形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关性质和判定方法，是解题的关键： （1）先证明四边形为平行四边形，再根据矩形性质得到，即可得出结论； （2）根据菱形的性质，矩形的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 证明：四边形为菱形，理由如下： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形为菱形， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴矩形的面积为． 24. 某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元和18元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品进货量不低于，且不高于，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）分两种情况，利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设， 根据题意可得，， 解得， ∴； 当时，设， 根据题意可得，， 解得， ∴． ∴综上所述，y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意可知，设购进乙种产品x千克，则购进甲种产品千克， 当时，乙种产品进价为 (元/千克)， ， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，w的最大值为 (元)； 当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为 (元)， 综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 25. 已知一次函数的图象经过点A，B．点A的坐标为，点B的横坐标为m． （1）求b的值； （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标差为6，求m的值； （3）已知点，以坐标原点O为中心构造矩形，且轴，若线段与矩形只有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）的值为或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将代入解一元一次方程即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况：线段的最高点是与最低点是；线段的最高点是与最低点是，列方程求解即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5五种情况利用数形结合的思想求出对应的临界值即可得到答案． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点， 将代入一次函数得到， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数， 点的横坐标为， ， ，线段的最高点与最低点的纵坐标差为6， 分两种情况：线段的最高点是与最低点是；线段的最高点是与最低点是， 当线段的最高点是与最低点是时，则， 解得； 当线段的最高点是与最低点是时，则， 解得； 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：由（2）可得 如图3-1所示，当时， ∵， ∴直线一定在线段下方，即此时线段与矩形不可能有交点，不符合题意； 如图3-2所示，时， ∵， ∴直线一定与线段有一个交点，即此时线段与矩形有一个交点，符合题意； 如图3-3所示，当，且点D恰好在直线上时， 由对称性可得， ∴， 解得， ∴此时线段与矩形有一个交点，这个交点为D， 当时，此时矩形不可能与线段有交点，不符合题意； 如图4-4所示，当时， 此时， ∴此时直线一定在线段之间，且直线在点B下方，且点D在直线左上方， ∴此时线段与线段，线段都有一个交点，故此时不符合题意； 如图3-5所示，当时， 此时， ∴此时直线一定在线段上方，且直线在点B下方，且点D在直线左上方， ∴此时线段与线段有一个交点，即此时线段与矩形有一个交点，符合题意； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查一次函数与矩形综合，难度较大，涉及待定系数法确定函数解析式、一次函数图象与性质、矩形性质、点的对称性求坐标等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、矩形性质与点的对称是解决问题的关键． 26. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°． （1）点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：（SAS），请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°． 【答案】（1）答案见详解； （2）答案见详解． 【解析】 【分析】（1）由得AM=EM，，由已知得EM=MN，得，进一步得，又，得，从而得证； （2）首先推出是等腰直角三角形，得，证，得三点共线，证，得, ，得，又，证，得，从而得证． 小问1详解】 证明：如图②，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图③，延长到点E，使，连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，作适当的辅助线构造三角形全等是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$