6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课时同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦分类与分步计数原理，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从单一原理到复杂问题的递进，培养数学运算与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一原理直接应用|单选1-6题，如班级选人和出行方案，强化概念理解| |中档|原理综合与易错辨析|单选7-8题（涂色问题）、多选题（社区安排），提升推理能力| |提升|实际情境复杂应用|解答题（冬令营负责人、医生义诊报名），培养数学应用意识|

课时同步作业 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、单选题 1．某高中高二年级要从1，2，3班中选取1名同学参加作文比赛，1班推荐了4人，2班推荐了6人，3班推荐了3人，则高二年级可选择的方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．.集合，从中各任意取一个数，构成一个点的坐标，则所有点的个数为（    ） A．11 B．12 C．8 D．6 3．每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有趟，动车有6趟．某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．乘积展开后共有（    ）项 A． B． C． D． 5．小明有件不同的上衣、条不同的裤子、双不同的鞋子.他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（    ） A．12种 B．10种 C．7种 D．5种 7．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（     ）    A．192 B．216 C．264 D．288 8．用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（    ） A．240 B．480 C．420 D．360 二、多选题 9．现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙三个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，每个社区不限制志愿者名额，则下列结果正确的是（   ） A．所有可能的方法有27种 B．所有可能的方法有9种 C．若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有12种 D．若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有14种 10．用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（   ） A．用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C．在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为 D．在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为 11．有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（    ）． A．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 三、填空题 12．用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数的个数是__________. 13．有________个不同的正因数. 14．现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂色种数为__________． 四、解答题 15．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 16．甲、乙、丙、丁四位医生报名参加，，，四个社区医院的义诊活动，每个人都要报名且只能去一个社区医院. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一个社区医院，丙不报社区医院，共有多少种不同的报名方法？ 17．从7名男生和5名女生中选取3人依次进行面试． (1)若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？ (2)若参加面试的人中，恰好有1名女生，则有多少种不同的面试方法？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】由题意，得若选中的同学来自1班，则有4种选择方案； 若选中的同学来自2班，则有6种选择方案； 若选中的同学来自3班，则有3种选择方案． 由分类加法计数原理，得共有种选择方案． 2．A 【分析】先利用计数原理得出所有的个数，再减去重复数字即可. 【详解】分两种情况讨论： 情况一，从集合A中取数作横坐标，从集合B中取数作纵坐标， 则有个元素，有个元素，共可构成个点： 情况二，从集合B中取数作横坐标，从集合A中取数作纵坐标， 则有个元素，有个元素，共可构成个点： 两种情况中，重复计算了横、纵坐标均来自集合 的点，即点 ， 因此，所有不同点的个数为 . 3．B 【详解】已知每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有趟，动车有6趟， 由分类加法原理，完成这件事共有种． 4．D 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】 得到展开式的一项分两步： 第一步从第一个括号中任选1项，有种不同的选法； 第二步从第二个括号中任选1项相乘，有种不同的选法； 故展开后不同的项共有项. 5．C 【详解】第一步选上衣有3种选法，第二步选裤子有4种选法，第三步选鞋子有2种选法， 所以共有种选法. 6．A 【分析】由分步计数原理结合题设可得答案. 【详解】根据分步乘法计数原理，共有种不同的布置方案. 7．C 【分析】先对图中挂件进行编号，根据已有条件分析讨论各层挂件的涂色方法数，从而得出所有的涂色方法种类数. 【详解】该挂件进行如图所示的编号：    依题意1号有4种涂色方案，2，3，4号有种涂色方法， 分情况讨论5，6，7号的涂色方法： 第一种：若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法； 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第二种：若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法， 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第三种：若5号与1号异色，与3号同色，此时5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，则7号有2种涂色方法， 当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法； 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第四种：若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有两种涂色方法， 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 综上可知，所有涂色方法种类数为种涂色方法. 8．C 【分析】考查排列组合涂色问题，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理来求解. 【详解】完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂，区域有5种颜色可选，区域有4种颜色可选，区域有3种颜色可选， 若区域与区域颜色相同，区域有1种颜色可选，则区域有3种颜色可选； 若区域与区域颜色不同，区域有2种颜色可选，则区域有2种颜色可选； 再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算，可得共有. 9．AC 【详解】，，三名同学,每名同学都有三种选择，根据分步乘法计数原理， 所有可能的方法有种，故A正确，B错误； 同学A不去社区甲，则有2种选择；B不去社区乙，B也有2种选择；有3种选择. 根据分步乘法计数原理，同学A不去社区甲，B不去社区乙， 则不同的安排方法有种，故C正确，D错误. 10．ABD 【分析】由分类乘法计数原理结合相邻区域不能同色的条件，即可求解. 【详解】对于A，先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种涂法，再涂区域，有2种涂法， 最后涂区域，因为要保证4种颜色全部使用，故只有1种涂法， 故共有种方法，所以A正确； 对于B，先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法， 再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法， 故共有种方法，所以B正确； 对于C，若用4涂色，则区域有3种方法，区域有2种方法， 区域有1种方法，由A知总情况有24种，则概率为，所以C错误； 对于D，若用2涂色，则区域有2种方法，区域有1种方法， 区域有1种方法，由B知总情况有6种，则概率为，所以D正确； 11．AC 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】对于AB选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法， 后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误； 对于CD选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择， 第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择， 根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误． 故选：AC. 12．18 【详解】由题意，优先满足千位，再依次选其它位置的数， 组成的四位数的千位只能为1，2，3，共3种情况，其它位置任意选择且没有重复数字， 根据分步乘法计数原理，四位数的个数是. 13． 【分析】由分步乘法计数原理进行求解． 【详解】对2520分解质因数：， 根据正因数个数公式计算得：. 14．108 【详解】因为要求相邻的词语涂色不同， 所以首先给“爱国”涂色，有4种选择；则给“敬业”涂色，有3种选择；给“诚信”涂色，有3种选择；给“友善”涂色，有3种选择； 根据分步乘法计数原理，共有(种). 15．(1)122 (2)63000 (3)4860 【分析】（1）利用分类加法计数原理将三个年级人数相加即可； （2）利用分步乘法计数原理将三个年级人数相乘即可； （3）结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理分为三类，每一类分成两步相乘再求和即可. 【详解】（1）从高一选1人作为总负责人有50种选法； 从高二选1人作为总负责人有42种选法； 从高三选1人作为总负责人有30种选法． 由分类加法计数原理，可知共有50（种）选法． （2）从高一选1名负责人有50种选法； 从高二选1名负责人有42种选法； 从高三选1名负责人有30种选法． 由分步乘法计数原理，可知共有（种）选法． （3）①从高一和高二中各选1人作为中心发言人，有（种）选法； ②从高二和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法； ③从高一和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法． 故共有（种）选法． 16．(1)256 (2)48 【分析】（1）根据分步乘法计数原理直接计算可得结果； （2）将甲、乙看作一个整体，再结合丙的特殊要求进行分步乘法计算即可. 【详解】（1）由题意知，甲可报名参加，，，四个社区医院任意一个，共有4种选择，同理乙、丙、丁同样有4种选择， 共有报名方法为. （2）将甲、乙看作一个整体，共有4种报名方法，丙不报社区医院，即有3种报名方法，丁有4种报名方法， 则共有报名方法种. 17．(1)60 (2)630 【分析】（1）直接由排列的意义以及排列数即可解决； （2）先组合，再排列，即利用到分步乘法计数原理，结合组合数、排列数即可解决. 【详解】（1）由题意从5名女生中选取3人依次进行面试，结合排列数的意义可知相当于从5名女生中选取3人依次进行排列， 此时对应有种不同的面试方法. （2）安排满足题意的面试顺序一共需要分以下两大步： 一方面：由题意先抽取符合题意的组合，这里可以分为两小步： 第一步从5名女生中选取1名女生；第二步从7名男生中选取名男生； 由分步乘法计数原理可得符合题意的组合有种. 另一方面：注意到3名面试者是依次进行面试的，即再对刚刚组合好的3名面试者进行一次排列， 有种排列方法.结合以上两方面且由分步乘法计数原理可知满足题意的不同的面试方法有 种. $