课时分层检测(2)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

课时分层检测参芳答案与解析 课时分层检测（一） 3.AD[当m=>0时，方程片+号-1表示国，批有3个，选项A 基础达标练 1,B[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法：第二类， 正确：当m≠n且m,>0时，方程号+上-1表示精圈，焦点在， 2 乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1 y轴上的椭圈分别有3个，故有3×2=6（个），选项B正确，D正确： 次有2种走法.所以，共有3十4十2=9种不同的走法.] 2.B[从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路 当mm<0时，方程士十二=1表示双曲线，故有3×1十1X3 m 接通，有2条线路；第二步，后一个并联电路接通，有3条线路，由分· 6(个)，选项C错误.] 步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可枸成线路的条数为！4.40[满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角 2×3=6.] 3.B[由题意可知E→F共有6种最短走法，F>G共有3种最短走： 形有1=8（个）：第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有 法，由分步乘法计数原理知，共有6×3=18种走法，门 12=8×4=32(个)，所以满足条件的三角形共有8十32=40（个）.] 4.C[要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第！5.解完成这件事有三类方法. 二步确定a,有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6=1 第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6，分6步完成这件 36(个)虚数.」 事，共有3×3×2×2×1×1=36（种）不同的耱放方式： 5.C[用十字相乘法，先把c分为解两个因数的积，依据方程根与系 第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件 数的关系，这两个因数的差就是b:c=2时，有2×1=2，b=2一1= 事，共有3×3×2×2×1×1=36（种）不同的播放方式： 1,且a=2∈A,则漂亮方程为x2一x一2=0：c=3时，有3×1=3， 第三类：宣传广告与公益广告的耱放顺序是1,3,6，同样分6步完成 b=3-1=2,且a=3∈A,则漂亮方程为x2-2.x-3=0:c=4时，有1 这件事，共有3×3×2×2×1×1=36（种）不同的播放方式， 4×1=4,b=4一1=3.且a=4∈A,则漂亮方程为x2-3x-4=0. 由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36十36十36= c=5时，有5×1=5，b=5-1=4,且a=5∈A,则漂亮方程为x2 108(种). 4.x一5=0：c=6时，有6×1=6，b=6-1=5,且a=6∈A,则漂亮方 6.解若选择①②③，则三人出游的不同方法的种数为4×5×5 程为x2-5x-6=0,同时，有2×3=6，b=3-2=1,且a=3∈A,则1 =100. 漂亮方程为x2-x-6=0c=7时，有7×1=7，b=7-1=6,且a 7∈A,则漂亮方程为x2-6x一7=0，c=8时，有8×1=8，b=8-1 若选择①②④，则需分两类，第一类：若甲选择4月27日出游，则三 7,且a-8∈A,则漂亮方程为x2一7x-8=0,同时，有2×4=8，b= 人出游的不同方法的种数N1=5×6=30:第二类：若甲不选择4月 4一2=2，且a=4∈A,则漂亮方程为x2-2x-8=0:c=9时，有9× 27日出游，则三人出游的不同方法的种数N2=3X4×6=72,故这 1=9,b=9-1=8,且a=9∈A,则漂亮方程为x2-8.x-9=0:c=10 三人出游的不同方法的种数N=N1十N2=102. 时，有10×1=10，b=10-1=9,且a=10∈A,则漂亮方程为x2 若选择①③④，则三人出游的不同方法的种数N=4×5×5=100. 9x一10=0，同时，有2×5=10，b=5-2=3,且a=5∈A,则漂亮方 若选择②③④，则三人出游的不同方法的种数N=5×5×5=125. 程为x2-3x-10=0.综合可得，共12个漂亮方程，] 课时分层检测（二） 6.712「任选一名当数学课代表可分两类，第1类是从男生中选， 有4种选法：第2类是从女生中选，有3种选法，根据分类加法计数，基础达标练 原理，共有4十3一7（种）不同选法， :1.A[第一类：两个数的和是1十2=3,1十3=4,1十4=5,2十3=5， 若选男、女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有 2+4=6,3十4=7：第二类：三个数的和是1十2十3=6,1十2十4=7， 4种选法：第2步，从女生中选一名，有3种选法.根据分步乘法计数 1十3十4=8,2十3十4=9：第三类：四个数的和是1十2十3十4=10， 原理，共有4×3=12（种）不同选法.] 故得到不同的和为3,4,5,6,7,8,9,10，共有8个不同的和.] 7,4[由分步乘法计数原理得，共有1×4=4（种）不同走法.] 8.64[本题中要完成的一件事：“将比赛的各项冠军逐一分配给4名！2.D[按照车主的要求，左数第1个号码有5种选法，第2个号码有3 参赛学生”，，跳高冠军的分配有4种不同的方法，跳远冠军的分配 种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4 有4种不同的方法，游泳冠军的分配有4种不同的方法，·根据分： 960(种)情况.] 步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4=64（种）.] !3.D[如图所示，由题意知在A点可先参观区城 9.解(1)选1人，可分3类： 1,也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以 第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法： 按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一 第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法 步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观 第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法， 完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区 共有3十8十5=16（种）不同的选法 (2)选教师、男同学、女同学各1人，分3步进行： 域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共 第1步，选教师，有3种不同的选法： 有6×4×2=48种不同的参观路线，] 第2步，选男同学，有8种不同的选法 :4.AC[依分步乘法计数原理得，a有4种选择，b有5种选择，c也有 第3步，选女同学，有5种不同的选法， 5种选择，共有4×5×5个不同的函数，故A正确： 共有3×8×5=120（种）不同的选法. 又由题意可得a≠0，可分以下几类： 10.解根据题意知，积为正数的情况分为两类. 第1类，b=0,c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4X4 第一类是2个数都是负数，分两步取数： 个不同的函数： 第一步，先从3个负数中任取1个负数，有3种不同的取法： 第二步，从剩下的2个负数中任取1个负数，有2种不同的取法，故 第2类，c=0,b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4 有3×2=6种不同的取法. 个不同的函数： 第二类是2个数都是正数，也分两步取数： 第3类，b≠0，c≠0，此时a,b,c都各有4种选择，共有4×4×4个不 第一步，先从5个正数中任取1个正数，有5种不同的取法： 同的函数： 第二步，从剩下的4个正数中任取1个正数，有4种不同的取法，故 第4类，b=0,c=0,此时a有4种选择，共有4个不同的函效. 有5×4=20种不同的取法. 由分类加法计数原理，可确定不同的二次函教共有N一4×4十4×4 综上所述，不同取法的种数为6十20=26. 十4×4×4十4个不同的西数，故C正确.」 能力提升练 5.C[分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染 1.D[把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有4×4X4= 色，然后再分类考虑另外两顶，点的染色数， 64(种)，其中，3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法，故满！ 足条件的分配方案有64一4=60（种）.] 用分步乘法计数原理可求解，由题设，四梭 2.B[本题考查了分步乘法计数原理，可用间接法求解.用0,1，·，9 锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互 A 共能组成9×10×10=900个三位数，其中无重复数字的三位数有： 不相同，它们共有5×4×3=60种染色方 9×9×8=648(个)，所以有重复数字的三位数有900一648=252（个）.]· 176 法：当S,A,B染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3，若C染2，则13.40[满足条件的有两类：第一类，与正八边形有两条公共边的三角 D可染3或4或5，有3种染法：若C染4，则D可染3或5，有2种！形有8个：第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有8X4= 染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法，即当S,A,B染好：32（个）.所以满足条件的三角形共有8十32=40（个）.] 时，C,D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7=420种，] ·4.BC[对于A,因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的 6.60[分两类：第一类，由天千的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、： 个数为4X4×3=48,故A错误：对于B,将组成的三位数的偶数分 寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6=30（组）不同的结采：同理，第二{ 为两类，①个位为0，则有4×3=12（个），②个位为2或4，则有2× 类也有30组不同的结果，共可得到30十30=60（组）.] 3×3=18(个)，所以在组成的三位数中，偶数的个数为12十18=30， 7.7[由四位数是偶数知，最后一位是2.在四位数中，当出现1个1 故B正确：对于C,D,将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有4× 时，有1222,2122,2212，共3个：当出现2个1时，有1122,1212， 3=12(个)，②十位为1，则有3×2=6（个），③十位为2，则有2×1= 2112,共3个：当出现3个1时，只有1112这1个四位偶数.故数字： 2(个)，所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12十6十2=20，故 1,2都出现的四位偶数有3十3十1=7（个）.] C正确，D错误.] 8.1)900(2)9×101[(1)5位回文数相当于子填5个方格，首尾相5.解(1)为①区城着色时有6种方法，为②区城着色时有5种方法， 同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间 为③区战着色时有4种方法，为①区域着色时有4种方法，依据分 一位有10种填法，共有9×10×10=900种填法，即5位回文数有！ 步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4=480种. 900个： (2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有 (2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.首尾方格不能： (n一1)种方法，为③区城着色时有(n一2)种方法，为①区域着色时 填0，共9种填法，第k(2≤k≤，k∈N*)位方格（从首位开始）与第 有（一3）种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为 (2十1一k)位方格所填数字一样，且第k(2≤k≤n,k∈N“)位方格1 n(n-1)(n-2)(n-3). 所填数字没有限制，有10种填法，结合分步乘法计数原理，知有9× ,.n(n-1)(n-2)(n-3)=120, 10”-1种填法，门 ∴.(n2-3n)(n2-3n十2)-120=0， 9.解方法一第一步，种植A试验田，有4种方法： 即(n2-3)2+2(n2-3n)-120=0. 第二步，种植B试验田，有3种方法； .n2一3n-10=0或n2-3n十12=0（舍去. 第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同， 则D试验田有3种方法， .n=5. ,创新拓展练 此时有1×3=3（种）种植方法. 若C试验田种植的作物与B试验田不同， D[不妨设A,B,C,D,E,F,G,H,I代表树枝的高度，树枝从上至 则C试验田有2种种植方法，D试验田也有2种种植方法，此时有2 下共九个位置，根据甲依次撞击到树枝A,B,C:乙依次撞击到树枝 ×2=4(种)种植方法. D,E,F:丙依次撞击到树枝G,A,C;丁依次撞击到树枝B,D,H:戊 由分类加法计数原理知，有3十4=7（种）种植方法 依次撞击到树枝I,C,E,可得G>A>B,在前四个位置，C>E>F, 第四步，由分步乘法计数原理得， D>E>F,且E,F一定排在后四个位置，①若I排在前四个位置中 共有N=4X3×7=84(种)不同的种植方法. 的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六个 方法二(1)若A,D种桩同种作物， 位置一定排D,后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D,则后 则A,D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方 四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时， 法，由分步乘法计数原理得， 共有4×(3十4)=28种排法：②若I不排在前四个位置中的一个位 共有4×3×3=36（种）种桩方法. 置，则G,A,B,D按顺序排在前四个位置，由于I>C>EF,所以 (2)若A,D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方 后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在 法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理得， 前四个位置中的一个位置共有5种排法，由分类加法计数原理可 共有4×3×2×2=48（种）种植方法. 得，这9根树枝从高到低不同的顺序有28十5=33种，] 综上所述，由分类加法计数原理得，共有N=36十48=84（种）种植 课时分层检测（三） 方法」 10.解设购买笔x支，笔记本y本， ,基础达标练 14x+5y30, ;1,A[选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B,C,D 则{x≥2， 230-5y 得 A女 只需取出对象即可，与对象的排列顺序无关.] (v≥2， （y≥2， 12.B[组成的四位数列举如下： 将y的取值分为三类： 2023,2032,2203,2230,2302,2320,3022,3202,3220,共9个 ①当y=2时，2≤x5,因为x为整数， :3.B[因为A=132,所以n(n-1)=132,n2一n-132=0,解得n= 所以x可取2,3,4,5，共4种方案. 12或n=-11(舍去).] 巴当y=3时，2<4≤只国为x为垫数， n! (n-1)！ 4.AD[:Ag=Gm”m,而A,·A=n‘[0m-(m-1j= 所以x可取2,3，共2种方案； (nm7…Ag=A·A] 视！ ③当y=4时，2≤x≤5，周为x为整数， 所以x只能取2，只有1种方案 :5.C[gagb=g方，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a,h, 由分类加法计数原理得不同的购买方案有4十2十1=7种， 能力提升练 共有A=20种，其中g号=1g子g是=g号，故共可得到18 1.B[假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时其他剩： 种结果.] 余的空格都只有一种填法，又第一行有3X2X1=6(种)填法，散不6.36[因为A=7X6XA,A=6XA,所以原式-36A=36.] 同的填写方法共有6×2=12（种）.] A 2.B[本题可以把数归为“四位数”（含0006等），因此比2013小的7.{2,3,4}[由A号-n<15,得n(n-1)-n-15<0,整理得n2-2m “好数”为0×××，1X××,2004,共三类数.第一类可分为：00×： 15<0,解得-3n5.又因为n≥2且n∈N”,所以n=2,3,4.] X,01X×,,0600,共7类，共有7十6十十2十1=28个数：第二！8.1680[将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的 类可分为：10××，11××，，1500，共6类，共有6十5十4十3十 莱种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同 2十1=21个数：第三类可分为：2004，共1个数.故2013为第28十{ 元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有A=8× 21十+1十1=51个数，故n=51.] 7×6×5=1680(种).] 177班级 姓名 得分 课时分层检测（二） 分类加法计数原理与分步 乘法计数原理的应用 :6.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次 基础达标练0 序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的 1.在1,2,3,4四个数字中任取数（不重复取） “子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、 作和，则取出这些数的不同的和共有( 丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、已、未、酉、 A.8个 B.9个 C.10个 D.5个 亥”相配，共可配成 组 2.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定左7.用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都 数第2个号码只能从字母B,C,D中选择，： 出现的四位偶数有 个 其他四个号码可以从0~9这10个数字中选：8.回文数是指从左到右与从右到左读都一样 择（数字可以重复）.若某车主左数第1个号： 的正整数，如22,121,3443,94249等.显然 码只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码： 2位回文数有9个：11,22,33，…，99,3位回 只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号 文数有90个：101,111,121，…，191,202， 码的所有可能情况有 …,999.则： A.180种B.360种C.720种D.960种 (1)5位回文数有 个； 3.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参： (2)2n(n∈N*)位回文数有 个 观并且路线不重复，则不同的参观路线共有：9.有4种不同的作物可供选择种植 A ) 在如图所示的4块试验田中，每块 D 种植一种作物，相邻的试验田（有 公共边)不能种植同一种作物，共有多少种 不同的种植方法？ A.6种 B.8种C.36种 D.48种 4.(多选)已知函数y=ax2+bx十c,其中a,b,c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数 可以用式子表示为 A.4×5×5 B.5×5×5 C.4×4+4×4+4×4×4+4 D.5×4×3 5.埃及胡夫金字塔是古 代世界建筑奇迹之一， 它的形状可视为一个 正四棱锥，如图，将一 个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使 同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色 可供使用，则不同的染色方法总数为() A.180 B.240 C.420 D.480 73 班级 姓名 得分 10.某同学计划用不超过30元的现金购买笔： A.组成的三位数的个数为60 与笔记本.已知笔的单价为4元，笔记本的： B.在组成的三位数中，偶数的个数为30 单价为5元，且笔至少要买2支，笔记本至： C.在组成的三位数中，“凹数”的个数为20 少要买2本，问不同的购买方案有多少种？ D.在组成的三位数中，“凹数”的个数为30 :5.用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如 图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻（有 公共边界)的区域不用同一种颜色， (1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同的 方法？ (2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求 n的值. ① ③ ① ③ ④ ② ④ ② 甲 能力提升练 1.将1,2,3填入3×3的方格 3 中，要求每行、每列都没有重 复数字，如图是一种填法，则 不同的填写方法共有() A.6种 B.12种 C.24种 D.48种 2.如果正整数a的各位数字之和等于6，那么： 称a为“好数”（如：6,24,2013等均为“好 数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1, a2,a3,…,若am=2013,则n ) A.50 B.51 C.52 D.53 …0创新拓展练0… 3.如图所示，在连接正八边形的 几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不 三个顶点而成的三角形中，与 慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过程中依 正八边形有公共边的三角形 次撞击到树枝A,B,C;(2)乙在下落的过程 有 个 中依次撞击到树枝D,E,F;(3)丙在下落的 4.(多选)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重 过程中依次撞击到树枝G,A,C;(4)丁在下 复数字的三位自然数，如果十位上的数字比 落的过程中依次撞击到树枝B,D,H;(5)戊 百位上的数字和个位上的数字都小，则称这 在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E,则这 个数为“凹数”，如301423等都是“凹数”，则下 九棵树枝从高到低不同的顺序共有() 列结论中正确的是 ( ) A.23 B.24 C.32 D.33 74