精品解析：广东外语外贸大学实验中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025学年第二学期高一学情调查 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知是虚数单位，，且z的共轭复数为，则在复平面内对应的点关于虚轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得 ，则， 可得在复平面内对应的点为，其关于虚轴对称的点为， 得到该点在第二象限，故B正确. 2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积. 【详解】如图，在直观图中过点，作交于点， 因为， 所以，，即 将直观图还原为平面图如下： 则，，， 所以. 故选：A 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知向量差的坐标求出其模的平方，再利用向量数量积的运算性质求得两向量的数量积，最后计算目标向量模的平方后开方即可得到结果. 【详解】因为，所以 又，所以  ，解得， 所以，  所以. 4. 如图的平面图形由16个全部是边长为2且有一个内角为的菱形组成，那么图形中的向量的数量积（ ） A. 34 B. C. 6 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理根据题意可以菱形的2条边为基底，分别表示出，利用向量数量积的定义及运算法则即可计算出结果. 【详解】如图： 以菱形的2条边为基底和，且，与的夹角为， 则由平面向量的基本定理知， 所以； 故选：A 5. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 【答案】B 【解析】 【分析】由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果. 【详解】如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：B. 6. 设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量数乘的共线性质，分别验证充分性与必要性，利用题设两两不垂直即点积非零的条件判断逻辑关系. 【详解】验证充分性： 已知非零向量两两不垂直，故，， 若，则左边为与共线的非零向量，右边为与共线的非零向量， 两非零向量相等则方向一致，因此，充分性成立； 验证必要性： 若，由为非零向量，可知存在实数，使得， 代入左边得： ， 代入右边得： ， 左边等于右边，故必要性成立； 因此“”是“”的充要条件. 7. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可. 【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示： 因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，， 易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且， 因为，则，又，且， 由，即，解得； 由面，面，则； 则， 又正方形的面积为，正方形的面积为， 故正四棱台的体积. 故选：B. 8. 平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角.延长，过作，连接，则为，同理为，而，则所成的角即为所成的角，即为，故所成角的正弦值为，选A. 【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD和DC上的中点，BE与BF分别与AC交于M，N两点，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点E，F分别是边AD和DC上的中点，且在平行四边形ABCD中对角线相互平分，则M，N是线段AC上的三等分点，根据数乘和加法运算，可得答案，由，根据向量的减法运算，可得答案. 【详解】如图， 由E，F分别是边AD和DC上的中点，由三角形相似可知M，N是线段AC上的三等分点， 由三角形相似可得M，N分别是线段BE、BF上的三等分点， 所以，故B正确，A错误； ，又，，所以，故C正确，D错误． 故选：BC. 10. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则| C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合题意得到，进而举反例判断A，D，利用复数模的性质与模长公式判断B，C即可. 【详解】对于A，因为，所以， 得到，化简得， 设，，则，满足， 但此时，故A错误， 对于B，因为，所以，则，故B正确， 对于C，设，， 则， 而， ，故C正确， 对于D，当设，，由模的公式得， 而，不满足，故D错误. 11. 在△ABC中，，，，点在线段上（不包括端点），下列结论正确的是（ ） A. 若是高，则 B. 若是中线，则 C. 若是角平分线，则 D. 若，则是线段的三等分点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角形高线，中线，角平分线的性质求解即可. 【详解】对于A，因为，，，所以， 所以， 若是高，则，A不正确； 对于B，，，, ，所以，B正确； 对于C，由B可得，因为， 所以, 整理可得，即，C正确. 对于D，设，, , 因为，，，所以， 解得或（舍），所以不是线段的三等分点，D不正确. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可求出，然后根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】. ，整理得：. 在方向上的投影向量为. 13. 已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得正三棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，由外接球的表面积求出外接球半径，由底面边长求出底面外接圆半径，求出球心到底面的距离，进而求出正三棱柱的高，即可求出结论, 【详解】设正三棱柱上下底面中心分别为，连， 取中点为正三棱柱外接球的球心， 连为外接球的半径，， 正三棱柱的底面边长为3， ，在中， ， 三棱柱的体积为 . 故答案为:. 【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，根据球的性质确定球心是解题的关键，属于中档题. 14. 在正方体中，M是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图，分析其中一部分为三棱台，进行体积计算即可. 【详解】 如图所示，不妨设正方体棱长为，则，，在上取点，使， 则易知：，所以即为平面在正方体内部的切面，则由图易知：多面体是三棱台， 所以， 其中，，， 代入得：，所以，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，. （1）若与共线，求实数； （2）求的最小值及相应的值. 【答案】（1） （2）当时取等号，取最小值为 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理可得关于的方程，解出即得值； （2）利用求模公式表示出，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的值即可； 【小问1详解】 ∵， 又与共线，， ∴，解得. 【小问2详解】 由题意，， ∴ ， 当且仅当时取等号，取最小值为 16. （1）如图，在正方体中，，E为棱的中点.求证：平面； （2）如图，在直三棱柱中，；，求证：. 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接、、，则，且， 所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，同理可得：是平行四边形，所以，平面，平面， 因为，，和是平面内的两条相交直线， 所以平面平面，又因为平面，所以平面. （2） 如图所示，连接，和交点为，由题意得：，， 所以平面，所以， 且因为，所以是正方形，则，和是平面内的两条相交直线，所以平面，所以. 【解析】 【分析】（1）先证面面平行，再证线面平行. （2）先证线面垂直，再证线线垂直. 【详解】（1）略 （2）略 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将向量数量积转化为，结合已知条件化简，利用正弦定理将边化为角，结合与三角恒等变换求，进而解得角. （2）由三角形内角和求角，用面积公式得的关系，结合正弦定理将用表示，代入化简求即可. 【小问1详解】 由已知得，且三角形边长大于零，则， 又由正弦定理（为外接圆半径）， 所以，而在中， 所以， 即，整理得， 又，所以，则，所以. 【小问2详解】 由已知，，则， 由三角形的面积公式，已知，， 则，即. 又由正弦定理，可得， 而，， 所以， 解得或（边长不能为负，舍去）， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，，平面，，，，，为中点． （1）证明：//平面； （2）过点作平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据面面平面的判定定理求截面，并利用割补法结合锥体的体积公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：//，， 则为平行四边形，可得//， 且平面，平面， 所以//平面. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则//， 且平面，平面， 所以//平面， 且//平面，，平面， 所以平面//平面，即过点作平行于平面的截面为平面， 在中，由余弦定理， 即， 则，即， 又因为平面，平面，则， ，平面， 所以平面， 即四棱锥的高为，其体积， 由题意可知：三棱锥的高为，其体积， 所以所求几何体的体积. 19. 某旅游景区内有一块等边三角形的景点，其中． （1）如图1，为迎接观光游，拟修建观赏小径，，其中，，分别在，，上，且，问是否为定值？说明理由； （2）如图2，为满足游客需求，拟修建两条商业街和，其中点在上，点在上．若为中点，且，，求的最大值及此时的值． 【答案】（1）是定值，理由见详解 （2）当时，取到最大值 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质，结合正弦定理分析运算； （2）根据正弦定理结合基本不等式分析运算. 【小问1详解】 是定值，理由如下： 由题意可知：，则， 则，即， 则， 在中，， 由正弦定理可得：（定值）. 【小问2详解】 由题意可知：， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 则， 所以， 因为，则，可得， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取到最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一学情调查 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知是虚数单位，，且z的共轭复数为，则在复平面内对应的点关于虚轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图的平面图形由16个全部是边长为2且有一个内角为的菱形组成，那么图形中的向量的数量积（ ） A. 34 B. C. 6 D. 15 5. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 6. 设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为 A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD和DC上的中点，BE与BF分别与AC交于M，N两点，则有（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则| C. D. 11. 在△ABC中，，，，点在线段上（不包括端点），下列结论正确的是（ ） A. 若是高，则 B. 若是中线，则 C. 若是角平分线，则 D. 若，则是线段的三等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标是______. 13. 已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为______. 14. 在正方体中，M是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，. （1）若与共线，求实数； （2）求的最小值及相应的值. 16. （1）如图，在正方体中，，E为棱的中点.求证：平面； （2）如图，在直三棱柱中，；，求证：. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，，平面，，，，，为中点． （1）证明：//平面； （2）过点作平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积． 19. 某旅游景区内有一块等边三角形的景点，其中． （1）如图1，为迎接观光游，拟修建观赏小径，，其中，，分别在，，上，且，问是否为定值？说明理由； （2）如图2，为满足游客需求，拟修建两条商业街和，其中点在上，点在上．若为中点，且，，求的最大值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $