精品解析：广东江门市棠下中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

江门市棠下中学2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试 ——数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是奇函数，又是最小正周期为的函数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（ ） A. B. C. D. 7. 设函数 ，若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 24 B. C. 30 D. 20 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，为单位向量，则 B. 若，则 C. 若，，为非零向量，且，则 D. 是与非零向量共线的单位向量 10. 函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确是（ ） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数 11. 在中，，，分别为内角，，的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，，且，则实数_____； 13. 已知角的终边在直线上，则_____； 14. 如下图，已知是圆心角为的扇形，是扇形弧上的点，四边形是扇形的内接矩形，其中，，则扇形的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，i是虚数单位）． （1）若是纯虚数，求m的值和； （2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 16. 已知向量，，且与共线． （1）求的值； （2）为坐标原点，若，，点，求的面积． 17. 已知向量，，其中，且. （1）求，的值； （2）若，且，求角． 18. 已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求在上的单调递减区间； （3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）若，的周长等于6，求a，b． （2）若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市棠下中学2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试 ——数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据结合两角差的余弦公式运算求解. 【详解】由题意可得： ， 所以. 故选：D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知复数， 则 ， 所以的虚部为. 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意得. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用诱导公式和两角差的正弦公式计算得到答案. 【详解】 . 故选：C. 5. 下列函数中，既是奇函数，又是最小正周期为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，以及正弦型函数的性质和周期的计算，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，函数，其定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数， 又由函数的最小正周期为，所以A符合题意； 对于B，函数，满足， 所以函数为偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数，结合正弦型函数的性质，可得为非奇非偶函数，所以D不符合题意. 6. 如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中， ， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 7. 设函数 ，若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用降幂公式 ，代入原函数得  ， 再用辅助角公式整理得  . 已知 ，则  ， 正弦函数， 的取值范围是 ，故 ， 则 ， 因此函数的值域为 . 8. 如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 24 B. C. 30 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】设中点为，连接，，由题意可得，由向量的线性运算可得，，由,求解即可. 【详解】设中点为，连接， 因为， 所以， 所以， 所以的轨迹是以为圆心，1为半径的一段圆弧， 连接， 则, 所以， 所以 因为, 所以. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，为单位向量，则 B. 若，则 C. 若，，为非零向量，且，则 D. 是与非零向量共线的单位向量 【答案】BD 【解析】 【分析】根据单位向量的定义，可判定A错误；根据零向量的定义，可判定B正确；根据向量的数量积的计算公式，可判定C错误；根据共线向量的定义和的意义，可判定D正确. 【详解】对于A，若，为单位向量，但向量与的方向不一定相同， 所以与不一定相等，所以A错误； 对于B，由零向量的定义知，若，则，所以B正确； 对于C，例如：向量， 则， 此时满足，但，所以C不正确； 对于D，由是与非零向量同向的单位向量，所以与是共线向量，所以D正确. 10. 函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确是（ ） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据三角函数图像平移规则求出的解析式，再结合正弦函数的对称轴、单调区间、对称中心、偶函数性质逐一判断即可 【详解】先求出的解析式，依题意，并根据“左加右减”的原则， , 对于A，正弦函数在对称轴处取得最值，将代入得，为最小值， 故是的对称轴，A对； 对于B，当 时， ， 故当 ，即 时，单调递减，B错； 对于C，对称中心处函数值为，代入得 ，故不是对称中心，C错； 对于D， ， 为偶函数，故是偶函数，D对. 11. 在中，，，分别为内角，，的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理可判断选项A；根据正弦定理及正弦的二倍角公式可判断选项B；根据正弦定理及余弦定理可判断选项C；根据锐角三角形的特点、余弦函数的单调性及诱导公式可判断选项D． 【详解】在中，. 对于A，若，，，由正弦定理，得， 所以或，此时有两解，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理有，所以，即， 所以有或，即或，即为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，若，则由正弦定理可得， 不妨设，，，其中，则为最大边，所以为最大角， 则由余弦定理有，所以为钝角，即为钝角三角形，故C正确； 对于D，若为锐角三角形，则，所以 ， 因为在上单调递减，所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，，且，则实数_____； 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，，， 所以，，所以. 13. 已知角的终边在直线上，则_____； 【答案】 【解析】 【详解】∵ 角的终边在直线上，直线经过第二、四象限，分两种情况讨论： ① 当角的终边在第四象限时，在终边上取点， 则点P到原点的距离， 由三角函数的定义得. ② 当角的终边在第二象限时，在终边上取点， 则点P到原点的距离， 由三角函数的定义得. 综上，. 14. 如下图，已知是圆心角为的扇形，是扇形弧上的点，四边形是扇形的内接矩形，其中，，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正切函数的定义求出，再根据勾股定理求出扇形半径，进而根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】在矩形中，有，，且， 则在中，，所以，解得， 所以在中，，所以 ， 即扇形半径的平方为 ， 所以扇形的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，i是虚数单位）． （1）若是纯虚数，求m的值和； （2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的实部为，虚部不为求出的值，进而求出复数的模； （2）首先根据第（1）问求出，然后根据复平面上对应点在第二象限，则实部小于，虚部大于，解不等式组求出的取值范围. 【小问1详解】 依题意得， ， 若是纯虚数，则，解得， ，. 【小问2详解】 由（1）知，， ，， 复数在复平面上对应的点位于第二象限， ，解得，即. 16. 已知向量，，且与共线． （1）求的值； （2）为坐标原点，若，，点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量坐标运算法则求出的坐标，再利用两向量共线的坐标充要条件列关于的方程，解方程得到的值； （2）根据题意得到两点坐标，结合已知点坐标，利用平面向量三角形面积公式代入运算，即可得到的面积. 【小问1详解】 已知 ， ，因此  ， 因为与 共线，根据两向量共线的坐标性质：若 共线，则. 代入得  ，解得. 【小问2详解】 由，，得三个顶点坐标：， ，. 根据平面向量三角形面积结论： 若 ， ，则  .   ， ， 代入公式计算得 . 因此的面积为. 17. 已知向量，，其中，且. （1）求，的值； （2）若，且，求角． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示得到，再结合同角三角函数的基本关系求出，. （2）先利用两角差的正弦公式计算 的值，确定的取值范围，进而得到所求角. 【小问1详解】 由可得， ，即， 又因为，代入可得 ， 又因为，所以，. 【小问2详解】 已知，​​， 所以， 由（1）可知，​​，， 则， ​​因为，则， 又因，则 ，故得 ，因此. 18. 已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求在上的单调递减区间； （3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合图象先求的解析式，再根据求解即可； （2）利用整体思想，求出函数的所有递减区间，再求出函数在上的单调递减区间； （3）根据函数的周期为4，可得两相邻零点之间的距离为2，求出2026、2028个零点之间最短距离，即可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 由题意可得； 【小问2详解】 由（1）可知， 令， 解得， 当时，的单调递减区间为， 所以在上的单调递减区间为； 【小问3详解】 因为，最小正周期为4， 所以相邻两个零点之间的距离为2， 又因为在区间上恰有2026个零点， 设第一个零点为，则第2026个零点为， 则2026个零点之间最短距离为， 由2028个零点之间最短距离为， 所以 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）若，的周长等于6，求a，b． （2）若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）应用周长结合余弦定理及 之间的关系计算求解边长.（2）（ⅰ）利用三角形面积公式以及余弦定理求解出的值，由此可求的值；（ⅱ）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系. 【小问1详解】 因为，且的周长等于6，所以， 因为，由余弦定理得 ， 将代入上式解得，所以 ， 则. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，所以， 所以，又，所以； （ⅱ）因为，所以， 又 ，所以 ， 所以. 由，解得，所以， 所以， 所以面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $