解三角形期末备考训练08——解三角形中的高线问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形高线问题，以教材原题为基础，通过选择、填空、解答题系统训练，强化面积公式与正余弦定理的综合应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|2道教材题|证明与计算结合|从教材基础出发，建立高线与边角关系的概念| |跟踪训练|单选7道、多选2道、填空2道、解答4道|已知边/角/高求其他量|通过不同题型巩固面积公式、正余弦定理的应用，形成从基础到综合的逻辑链条|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考08 测试范围：解三角形中的高线问题 【回归教材】 【人教B版2019年数学必修四P21页第10题】已知锐角中，， (1)求证：；(2)设，求AB边上的高. 【人教A版数学必修一习题5.5第14题】在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 【跟踪训练】 一、单选题 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（    ） A． B． C．3 D．2 2．在中，，，，则BC边上的高为（ ） A． B． C． D． 3．的内角的对边分别为，若边上的高为，则（    ） A． B． C． D． 4．设的内角，，所对的边分别为，，，且.若边上的高，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．在中，，边上的高等于，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，BC边上的高，则（ ） A． B． C．8 D． 7．在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 8．在中，，，分别是角，，的对边．若，，且，边上的高为，则（    ） A． B．是钝角 C． D． 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，边上的高为2，则（    ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 三、填空题 10．在中，内角所对的边分别为，则边的高线长______ . 11．在中，角的对边分别为.已知，边上的高为，则______. 四、解答题 12．已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若边上的高等于，求． 13．已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记BC边上的高为h，若，求的值. 14．中，，P是内一点，. (1)若，求； (2)若，求中AC边上的高. 15．在中，角的对边分别为，已知，． (1)求角的大小；(2)若是锐角三角形，边上的高为，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考08 测试范围：解三角形中的高线问题 【回归教材】 【人教B版2019年数学必修四P21页第10题】已知锐角中，， (1)求证：；(2)设，求AB边上的高. 【详解】（1）由，得，即，两式相除得，所以. （2）在锐角中，，，则，， 即有，将代入上式并整理得，而，解得，，设边上的高为，则， 由，得，所以边上的高等于 【人教A版数学必修一习题5.5第14题】在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】法一：设 ,故选C. 法二：【分析】由边上的高等于，则根据勾股定理求出，然后再利用余弦定理即可求解. 【详解】设边上的高为，则，又边上的高等于，且，所以 则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理可得，所以由余弦定理得.. 【跟踪训练】 一、单选题 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】由已知，，得. 又由余弦定理可知，则. 2．在中，，，，则BC边上的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用余弦定理算出边长，再利用等面积法求出边上的高. 【详解】由余弦定理得，则. 设BC边上的高为，由等面积法可得，则. 3．的内角的对边分别为，若边上的高为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的余弦定理求解即可 【详解】如图： 设边上的高为．因为，所以，所以． 由勾股定理可得，由余弦定理可得． 4．设的内角，，所对的边分别为，，，且.若边上的高，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式可求得角，利用等面积法可得，最后根据正弦定理进行边角互化即可求解. 【详解】，移项可得，即， 因为，所以.由，则，所以，利用正弦定理得，又因为，则. 5．在中，，边上的高等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合勾股定理求出，再利用余弦定理求出，再由三角形面积公式，可得. 【详解】∵在中，，边上的高等于，∴， 由余弦定理得：， 故，∴.故选：C 6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，BC边上的高，则（ ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知BC边上的高，，根据三角形面积公式. 将，，代入可得：，，. 由余弦定理，可得：，即， 可得：，即，把代入上式可得：， 即. 因为、为三角形的边，可得：. 故选：A. 7．在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即，又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得.故选：B. 二、多选题 8．在中，，，分别是角，，的对边．若，，且，边上的高为，则（    ） A． B．是钝角 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由求出，借助正弦定理判断选项A；利用余弦定理列方程求解边长判断选项C；通过余弦定理计算的符号判断选项B；结合三角形面积公式的两种表达形式求出BC边上的高，判断选项D. 【详解】，则为锐角，所以，.由正弦定理得，故选项A正确.由余弦定理，代入、， 得，整理得.解得，舍去负根得，故选项C正确.，由余弦定理， 故角为锐角，选项B错误.三角形面积. 边上的高为，则，得，故选项D正确.故选：ACD 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，边上的高为2，则（    ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 【答案】AB 【分析】由正弦定理边角互化，再由三角恒等变换可判断A，由正弦定理边角互化可判断B，由同角三角函数的关系和余弦定理可判断C，由三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A，由，根据正弦定理得， 因为，则， ，因为，所以，得到，则，故A正确； 对于B，由，可得，故B正确；对于C，由，且，因为，，所以，可得，，化简得，解得（舍）或，所以的周长为，故C错误；对于D，的面积为，故D错误.故选：AB. 三、填空题 10．在中，内角所对的边分别为，则边的高线长______ . 【答案】 【详解】由余弦定理可知， 可知，所以边的高线长为. 11．在中，角的对边分别为.已知，边上的高为，则______. 【答案】/ 【分析】由求出，再根据两个面积公式“算两次”建立的关系，然后结合余弦定理得，最后由正弦定理化边为角可得所求. 【详解】由，，得，由，得，所以由余弦定理得， 则，所以，所以由正弦定理知，. 四、解答题 12．已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若边上的高等于，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，结合两角和的正弦公式化简即可； （2）先用表示中线段的长度，然后利用等面积法求解即可. 【详解】（1）由得， 所以，即，又，所以，又，得. （2）由题得示意图 作，则，因为，所以，得，， 所以，利用等面积法可知： 即，解得：. 13．已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记BC边上的高为h，若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由正弦定理边化角可得：，在中，根据代入上式化简，再利用辅助角公式和角的范围即可求解； （2）由（1）知，根据三角形面积公式及余弦定理可求得的值，再利用正弦定理边化角即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理可得， 在中，，， 代入上式化简可得，，， 即，，又，，或，即或.又为斜三角形知，； （2）由（1）知，面积，BC边上的高，， 由余弦定理可知：，即， 即，或，所以或. 14．中，，P是内一点，. (1)若，求； (2)若，求中AC边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理求得，再由已知及正弦定理求； （2）设，由余弦定理及列方程求参数值，结合等腰直角三角形的性质求高. 【详解】（1）根据正弦定理得，. ，则，而，. 根据正弦定理得，； （2）设， 在中得，化简得. 在中得， 化简得，. ，，化简得，解得或.又，则.中AC边上的高为. 15．在中，角的对边分别为，已知，． (1)求角的大小；(2)若是锐角三角形，边上的高为，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知边与角的关系式转化为纯三角函数式，再通过两角和的正弦公式展开化简，得到，结合三角形内角范围直接求得角． （2）先由边上的高和角求出边，再代入余弦定理建立关于的一元二次方程，解出的两个值后，根据 “锐角三角形” 条件，通过余弦值符号验证排除钝角情况，最终确定的值． 【详解】（1）由，得，又，所以， 因为，所以， 化简得，所以，因为，所以． （2） 如图，，在中，，所以， 由，得，解得，， 若时，，即为钝角，不满足条件； 若时，，，满足条件， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $