期末复习专题02 同角三角函数关系式与诱导公式【6大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦同角三角函数关系与诱导公式，以六大考点构建从基础应用到综合证明的递进训练，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知一求二|6题|选择/填空/解答|平方关系应用，象限符号判断| |sina±cosa与sina·cosa关系|6题|多选为主|和积互化，方程思想| |正余弦齐次式|6题|选择/填空/解答|弦化切，整体代换| |求参数|6题|选择/填空/多选|方程与三角函数性质结合| |诱导公式化简|6题|选择/解答|符号法则，角的变换| |恒等式化简证明|6题|解答/证明|逻辑推理，等价变形|

专题02 同角三角函数关系式与诱导公式 考点一 已知正(余)弦求余(正)弦（知一求二） 考点二 sina±cosa和sina·cosa的关系 考点三 正、余弦齐次式的计算 考点四 同角三角函数的基本关系式求参数 考点五 诱导公式化简求值 考点六 恒等式的化简与证明 考点一 已知正(余)弦求余(正)弦（知一求二） 1．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若，，则_____. 3．已知，求______． 4．若则＝（ ） A． B． C． D． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 6．若是第三象限角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点二 sina±cosa和sina·cosa的关系 7．（多选）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知（），则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知，，下列结论正确的是（   ） A．是第二象限角 B． C． D．或 11．（多选）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三 正、余弦齐次式的计算 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 15．已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 16．已知，则______． 17．已知，则______. 18．已知则=____． 考点四 同角三角函数的基本关系式求参数 19．已知，，其中，则的值为______. 20．（多选）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 21．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．已知，，则________． 23．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 24．已知，，则实数k的值为_________. 考点五 诱导公式化简求值 25．化简表达式，结果为（   ） A． B． C． D． 26．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 27．已知，则__________. 28．角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 29．已知. (1)化简并求的值； (2)若，求. 30．角终边在直线上，则___________． 考点六 恒等式的化简与证明 31．证明：． 32．化简的结果是______. 33．已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求. 34．已知，则________． 35．求证： (1)； (2)． 36．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中． (1)求的值． (2)记点B的横坐标为，若，求的值． 1．已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，且，则（   ） A． B． C． D． 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D．1 5．（多选）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 7．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，，则的值为___________． 10．已知为第二象限角，且，则___________． 11．已知，，则_____. 12．已知，则__________． 13．已知，则________. 14．求证： (1)； (2). 15．（1）求证：； （2）设，求证. 16．若，求证： . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 同角三角函数关系式与诱导公式 考点一 已知正(余)弦求余(正)弦（知一求二） 考点二 sina±cosa和sina·cosa的关系 考点三 正、余弦齐次式的计算 考点四 同角三角函数的基本关系式求参数 考点五 诱导公式化简求值 考点六 恒等式的化简与证明 考点一 已知正(余)弦求余(正)弦（知一求二） 1．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故. 2．若，，则_____. 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系和各象限三角函数值的正负，求得，，进而求得答案. 【详解】因为，，所以， 所以， 因为，所以， 又因为， 所以，所以， 所以， 所以. 3．已知，求______． 【答案】/ 【详解】设，， 则， 由，得， 又，则， ． 4．若则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，则， 因为，所以，解得， 又，所以， 所以． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合平方关系可得，，结合任意角三角函数值的符号运算求解； （2）根据题意结合（1）的结果列方程求，进而可得. 【详解】（1）因为， 即，解得， 则， 又因为，且， 则，，可得， 所以. （2）由（1）可知，解得， 所以． 6．若是第三象限角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出，进而求得正切值. 【详解】因为，， 所以，化简得， 解得或，又是第三象限角， 所以，进而得到. 所以. 故选：D. 考点二 sina±cosa和sina·cosa的关系 7．（多选）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，两边平方即可判断A项；利用A项结论及可得，再利用平方关系即可求出即可判断B；将与的值联立求出即得C，D项． 【详解】， ，解得，故A正确； ， ，， ，，故B错误； ，解得， ，故C正确； ，故D正确． 8．已知（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可求出，联立求出，，即可求出的值. 【详解】解：因为①，则， 所以，则，所以，，， 又，所以②， 联立①②，解得，， 所以. 9．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A：根据三角函数值的符号分析判断即可；对于B：根据同角三角关系结合齐次式问题运算求解即可；对于CD：根据、与之间的关系运算求解，注意三角函数值的符号. 【详解】对于选项A：因为，，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：因为， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 所以，故D错误． 10．（多选）已知，，下列结论正确的是（   ） A．是第二象限角 B． C． D．或 【答案】BD 【分析】根据题意，θ为第三象限角，则是第二或第四象限角，且利用同角三角函数的基本关系求解. 【详解】由条件可知，，则θ为第三象限角， 即， 则，故选项A错误； 因为θ为第三象限角，则， ，所以，故选项B正确； 因为，所以，故选项C错误； ，联立方程， 解得或 则或，故选项D正确． 故选：BD． 11．（多选）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A，两边同平方即可判断；对B，根据和即可判断；对C，利用完全平方式的变形即可判断；对D，联立方程组即可判断. 【详解】对A，因为，两边平方得：，A错误； 对B，因，且，所以，B正确； 对C，因为，所以，，所以， 因为，，则，即：，故C正确； 对D，联立：及，解得：，，故D错误. 故选：BC． 12．（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件和同角三角函数的平方关系可得，计算，结合三角函数的正负可得，进而可得逐项判断. 【详解】∵， ∴，即， ∴，D错误； ∵，∴，∴， ∴， ∴，C正确； 由，得， 则，选项A正确，选项B正确. 故选：ABC 考点三 正、余弦齐次式的计算 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 15．已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子、分母同除以，并代入的值可得； （2）（3）利用，构造关于的齐次分式，分子、分母同除以，再代入的值可得. 【详解】（1）； （2）； （3）. 16．已知，则______． 【答案】/ 【分析】根据齐次式即可求解. 【详解】， 故答案为： 17．已知，则______. 【答案】/ 【分析】根据齐次式问题结合运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 18．已知则=____． 【答案】/0.8 【详解】由于则. 考点四 同角三角函数的基本关系式求参数 19．已知，，其中，则的值为______. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系列方程，结合的范围即可求出答案. 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 20．（多选）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，求得，结合三角函数的基本关系式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】因为是方程的两根， 可得， 对于A，由，平方可得， 解得，所以，解得，所以A错误； 对于B，由， 因为且，所以， 所以，则，所以B正确； 对于C，联立方程组，解得， 所以，所以C错误； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：BD. 21．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由即可求解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A 22．已知，，则________． 【答案】或 【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值. 【详解】由，可得或， 当时，，，故； 当时，，，故. 故答案为：或 23．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值. 【详解】因为，所以. 由，得. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以实数的最小值为16. 故选：D. 24．已知，，则实数k的值为_________. 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 考点五 诱导公式化简求值 25．化简表达式，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据诱导公式化简计算可得. 【详解】由诱导公式， 所以原式. 26．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意角的终边过点，则， 根据任意角三角函数的定义可得，． （2）由诱导公式得． 27．已知，则__________. 【答案】/0.6 【详解】. 28．角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求解即可. （2）根据任意角三角函数的定义求解，然后代入原式计算即可. （3）先对原式进行化简，然后再代入求解即可. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）根据任意角三角函数定义可得. . （3）由（2）可得.    原式. 29．已知. (1)化简并求的值； (2)若，求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可，利用诱导公式计算可求的值； （2）由已知可得，利用诱导公式可求得的值. 【详解】（1） ，； 所以 ； （2）由（1）知，由，可得， 所以. 30．角终边在直线上，则___________． 【答案】 【详解】由题意知，若角的终边在第一象限，则终边上有点，则， 若角的终边在第三象限，则终边上有点，则， 所以. 考点六 恒等式的化简与证明 31．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 32．化简的结果是______. 【答案】1 【分析】根据诱导公式和同角的商数关系化简计算即可求解. 【详解】原式. 33．已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）因为， 所以. （3）. 34．已知，则________． 【答案】6 【详解】 . 35．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 36．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中． (1)求的值． (2)记点B的横坐标为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助三角函数定义可得，再利用诱导公式与三角函数商数关系，将弦化为切后计算即可得. （2）利用三角函数定义可得，则可得，再利用同角三角函数基本关系与诱导公式计算即可得. 【详解】（1）由于点在单位圆上，则，又是锐角，可得， 所以，， 所以； （2）由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以， 所以 . 1．已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用同角三角函数基本关系化简所求表达式，再结合的象限求出的值，代入计算即可得到结果. 【详解】， 已知为第二象限角，故， 因为，所以 ， 将，代入得： . 2．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 则，所以， 又因为，所以， 则，即， 联立，解得， 所以. 4．已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，所以， 上下同除即可得， 代入，可得. 5．（多选）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为齐次式，求得，结合选项，结合三角函数的基本关系式和“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】由，可得， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 所以，所以B不正确； 对于C，由 ，所以C正确； 对于D，由，所以D正确. 故选：ACD. 6．（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】通过诱导公式化简可判断AB，通过齐次式法求值可判断C，将已知等式平方可判断D. 【详解】，故A错误，B正确； 若，则，故C正确； 若，两边取平方，整理得：，即， 即，故D正确； 故选：BCD. 7．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据同角三角函数基本关系以及平方关系计算可得A正确，结合角所在象限可得，联立解方程组可求得正弦、余弦值可判断BCD. 【详解】易知， 可得，A正确； 由，得，所以， 所以，C正确； 联立，解得，则，B正确； ，D错误. 故选：ABC. 8．（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由条件等式两边平方，结合平方关系可得判断A；结合可得判断B；求得的值，可求判断C；解方程求得，进而利用商数关系计算可判断D. 【详解】对于A，由，得， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，结合中,所以，所以，故B正确； 对于C，， 又因为，，所以， 所以，故C错误； 由，可得，所以，故D错误. 故选：AB. 9．已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平方关系得出，可得出，于是得出，再利用平方关系可求得的值. 【详解】因为，则，在等式两边平方得， 所以，故，所以， 故，故. 10．已知为第二象限角，且，则___________． 【答案】 【分析】对等式同时平方求出，然后求出，即可联立方程求出正、余弦值，从而根据同角三角函数商的关系求出正切值. 【详解】同时平方可得，， 因为为第二象限角，所以， ，解得， 所以. 故答案为： 11．已知，，则_____. 【答案】 【详解】因为，， 所以， 所以. 12．已知，则__________． 【答案】 【详解】. 13．已知，则________. 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】由，则 14．求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用，提公因式即可化简求证， （2）利用，即可结合完全平方公式以及平方差公式化简求证. 【详解】（1）等式左边 . （2）等式左边 . 15．（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 16．若，求证： . 【答案】因为 ， 所以原等式成立 【分析】利用诱导公式化简运算即可. 【详解】略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $