课时规范练30 正弦定理和余弦定理-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以正余弦定理为核心，通过基础巩固与综合提升两级训练，系统整合定理应用、三角变换及几何综合，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|8题|正弦定理边化角、余弦定理求边/角、面积公式应用、三角恒等变换|从定理直接应用到结合数列性质，构建“公式-性质-基础应用”逻辑链| |综合提升练|4题|边角互化、基本不等式求范围、几何图形综合|从单一定理到多知识交汇，形成“应用-拓展-综合探究”进阶路径|

课时规范练30　正弦定理和余弦定理 (分值:79分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2026·湖南长沙期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2b,sin A=,则sin B=(　　) A. B. C. D. 2.(2025·北京西城期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=6,cos B=,则△ABC的周长为(　　) A.13 B.14 C.15 D.16 3.(2026·河南五市联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=,c2=ab,则sin A-sin B=(　　) A.± B.± C.± D.± 4.(2026·浙江湖州期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cos C+cos Acos B=2sin Acos B.若a+c=2,则b的取值范围是(　　) A.(,2) B.[,2) C.(,2) D.[,2) 5.(2026·云南昆明期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,且S△ABC=b2sin B,则cos B=(　　) A. B. C.- D.- 6.(2025·山东德州期中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,c=b,则△ABC的面积为　　　　.  7.(2026·四川南充二模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,sin C=2sin B,则=　　　　.  8.(13分)(2024·新高考Ⅱ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 综合提升练 9.(2026·广东佛山高三一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则=(　　) A. B. C. D. 10.(多选题)(2025·江苏连云港期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b(c+b),则(　　) A.a>b B.A=2B C.B∈(0,) D.∈(0,1) 11.(2026·江苏徐州期中)在△ABC中,AB=2,AC=6,∠B-∠C=60°,则BC=(　　) A.2 B. C.2 D.7 12.(15分)(2026·山东青岛模拟)如图,平面四边形ABCD中,AD=5,CD=3,∠ADC=120°,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足. (1)求B; (2)求△ABC内切圆半径r的取值范围. 参考答案 课时规范练30　正弦定理和余弦定理 1.A　解析 由正弦定理,得sin B=.故选A. 2.D　解析 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得36=9+c2-2×3×c×,解得c=7或c=-.因为c>0,所以c=7,所以△ABC的周长为a+b+c=3+6+7=16.故选D. 3.B　解析 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=ab,即(a-b)2+ab=ab,因此(a-b)2=ab=c2=c2,故a-b=±c.由正弦定理可得,所以,故sin A-sin B=sin C=±=±.故选B. 4.D　解析 由cos C+cos Acos B=2sin Acos B,得-cos(A+B)+cos A·cos B=2sin Acos B,因此-cos Acos B+sin Asin B+cos Acos B=2sin Acos B,所以sin Asin B=2sin Acos B.因为sin A≠0,所以sin B=2cos B,即tan B=2.又B为锐角,则cos B=.由基本不等式知2=a+c≥2,所以ac≤1,当且仅当a=c=1时,等号成立.由余弦定理知b2=a2+c2-2accos B,所以b2=a2+c2-=(a+c)2-=4-,所以b≥.又a+c>b,所以b<2.综上,≤b<2.故选D. 5.B　解析 由a,b,c成等差数列,可知2b=a+c.而S△ABC=b2sin B=acsin B,所以b2=ac=,整理得(a-c)2=0,所以a=c=b,即△ABC为等边三角形,因此cos B=cos 60°=.故选B. 6.　解析 由余弦定理得,cos=-. 因为c=b,所以b=2(负值舍去),则c=2,所以S△ABC=bcsin A=×2×2. 7.　解析 因为A=,所以B+C=. 又sin C=2sin B,所以sin(-B)=2sin B, 因此sincos B-cossin B=2sin B, 即cos B+sin B=2sin B, 整理得cos B=sin B, 即tan B=,则B=. 由正弦定理得,即. 8.解 (1)由题得2(sin A+cos A)=2,即sin(A+)=1. 又A+∈(), 所以A+,即A=. (2)因为bsin C=csin 2B,由正弦定理,可得sin Bsin C=sin C·2sin Bcos B, 又sin B≠0,sin C≠0,所以cos B=. 又0<B<π,所以B=,则C=. 由正弦定理,得, 则b=2,c=,所以△ABC的周长为a+b+c=2++3. 9.C　解析 因为,所以,因此sin B·sin Ccos A+2sin Asin Ccos B=3sin A·sin Bcos C.由正弦定理和余弦定理可得bc×+2ac×=3ab×,整理得3c2=a2+2b2,故.故选C. 10.AC　解析 对于选项A,因为a2=b(c+b)=b2+bc>b2,所以a>b,故A正确.对于选项B,因为a2=b2+bc,由余弦定理得a2=a2+c2-2accos B+bc,整理得cos B=.由正弦定理可得cos B=,即2sin Bcos B=sin A,所以sin 2B=sin A.因为A,B为△ABC的内角,所以A=2B或A+2B=π,故B错误.对于选项C,由选项B可知,当A=2B时,C=π-A-B=π-3B∈(0,π),所以B∈(0,);当A+2B=π时,A+2B=A+B+C,所以B=C,即b=c,因此a2=b2+bc=b2+c2,故此时△ABC为等腰直角三角形,B=C=,所以B∈(0,),故选项C正确.对于选项D,由选项B知,cos B=,所以=2cos B,由选项C知,B∈(0,),所以cos B∈(,1),所以∈(1,2),故D错误.故选AC. 11.B　解析 由正弦定理得,而AB=2,AC=6,所以sin B=3sin C.又因为∠B-∠C=60°,所以∠B=60°+∠C,则sin(60°+C)=3sin C,即cos C+sin C=3sin C,解得tan C=,故C为锐角.又sin2C+cos2C=1,解得sin C=,cos C=,则sin 2C=2sin Ccos C=2×,cos 2C=2cos2C-1=2×()2-1=,故sin A=sin(B+C)=sin(60°+2C)=.又由,得BC=.故选B. 12.解 (1)因为, 所以由正弦定理得, 整理得a2-b2=ac-c2. 由余弦定理得cos B=. 又0<B<π,则B=. (2)在△ACD中,由余弦定理得,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos 120°=49,得b=AC=7, 由(1)得a2+c2-ac=b2=49,即(a+c)2=49+3ac,得ac=. 在△ABC中,由S△ABC=acsin B=(a+b+c)·r. 由(1)知B=,则r=(a+c-7). 又由正弦定理,得, 所以a=sin A,c=sin C. 又B=,所以a+c=(sin A+sin C)=[sin A+sin(A+)]=(sin A+cos A+sin A)=sin A+cos A)=14(·sin A+cos A)=14sin(A+). 又A∈(0,),则A+∈(),则sin(A+)∈(,1], 所以a+c=14sin(A+)∈(7,14], 所以r=(a+c-7)∈(0,]. 学科网（北京）股份有限公司 $