正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 考点目录 正余弦定理的综合应用 周长问题 面积问题 考点一 正余弦定理的综合应用 例1.(25-26高三上江苏南京·月考多选)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cosC sin C2a cos B sinB,sin AsinC= 6,D是AC的中点，则() 9 A.B= B.ABC的面积为3√5 3 C.b≥V6 D.BD2 2 【答案】ACD 【详解】对于A,已知osC+sinC=20,所以cosCsinB+sinCeos_20_2sin4 cos B sin Bb cos Bsin B b sin B t也即sim(B+C_si血(x-A。sinA-2sinA cos Bsin B cos Bsin B cos Bsin B sin B' 所以可得cosB= 又Be0小，改8-号故A正角 守于B,Sc2Csn8sV3/ 1 2R sinc=c 又由正弦定理sinA= F2R'可得sin Asin C=ac=9 4R22b, 所以4R2=2bac 9 又b=2 RsinB,所以4R2=b sin2B' 所以262c.2， ，也即ac-sin2B=2；又sinB3 9 sin2B 2 解得4c=6,所以Sc3x6=33,故B错误 -×6= 4 2 对于C,因为cosB=ac=6,所以：02+c-2ac05B:a+c.6 又a2+c2≥2ac=12,当且仅当a=c=√6时取等号， 故b2≥12-6=6，也即b≥√6，故C正确： 对于D,D是AC中点，所以BD=BA+BC, 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 因为BA:BC=accos)ac,所以BD→ (BA+BC)d+ctac3ac= 4 4 4=2 当且仅当a=c=√6时取等号， 所以BD3V2 故D正确. 2 故选：ACD 例2.(25-26高三上·河南鹤壁·月考多选)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.0为外接圆圆心， 己知sinC-sinA_sin ,asinC=√5(2-acosC),则下列结论正确的是() c-b c+a AA-号 B.b=3 C.ABC周长取值范围为3+V5,6+2V5 D.A0AC和△OBC面积之差的取值范围为 55 412 【答案】ACD 【详解】对A:由sinC-sin4_sinB与正弦定理可得S-a=b c-b c+a c-b c+a' c2-a2=bc-b2,c2+b2-bc=a2,COSA= 2, 又4(0，，放4=行故A正确： 6.6 对B:4+B+C=x,所以由正弦定理a=b sin sinb,可得a= 2 ,① 又因为√5 acosC+asinC=2V5,即2a coc+nc25,即2asmc+}25,② 3 6.3 将①代入②可得2 元乙mC+写引-25，解得6=2，选项B错误 sin+C 3 1 对C:由正弦定理，R= sinB’故： 2sin (2-B a=2Rsind=3 3 ,c=2RsinC=- sinB sinB 展开sin tanB 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 周长L=a+b+c=V5 1 1 +3, sin B tan B 1 1 1 利用三角恒等变换sinB'tanB B, tan 2 气怎引得如日2+.故1eB+6+2.薇话医c正编 1 结合B∈T) 2 对D:设A8C外接圆半径为R,则04E0B=0CR,且2R2即R5 sinB' 因为∠A0C=2B,∠B0C=2A=2n 3 所以S.oc=)R2sin∠40c=1.1 2 sin2B 'sin2B=-1 tanB -11 S.o8c=2'sin2B in 2z 3 sin'B+cosB1+1 ·sin 3 4 sin2B 4 tan2B' 所以se-S=81+）=-5.1+】_5 tanB 4 tan2B 4 tan?B'tanB 4 则tanB∈ 所以x=、1 ∈(0，v5 tanB -(x- 4 4 3 12 33 △OAC和△OBC面积之差的取值范围为 412 故选项D正确 故选：ACD 例3.(25-26高三上江苏徐州月考)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足a=2 bsinC.则 下列选项中正确的是() 11 A. =2 tanB tanC B.ABC的面积为，Q C.若c=√5b,则tanC=√2+1 D.+的最大值为25. c b 【答案】AC 【详解】选项A:由正弦定理得sinA=2 sinBsinC=sinB+C)=sinBcosC+cosBsinC, 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 所以1+↓=2，成立，A正确： tanB tanC 选项B:Sc-)absin C=a,B错误， 1 4 达项C:由余弦定理得cC-+-c_2inC+6-人d_2sinC-, 2ab 2×2 bsinC×b 2sinC 所以2 sinCcosC=2sin2C-1=sin2C-cos2C,整理得tan2C-2tanC-1=0, 因为锐角△ABC,解得tanC=√2+1，C正确； 选项D: b+2bccos4-2cs4+ c b bc bc be =2c0s4+2sin4=2sin+ ≤2W2,D错误， 4 故选：AC 例4.(2025江苏·模拟预测)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若 2sim2A-sin2B)=(V2a-b小sinB,且ABC的外接圆半径为1，A8C的面积等于ca-D，,则下列结论正确的是 2 () A.a=√2b B.sin=1- 2 B A-B C C.cos sin- -+sin。=l1 21 D.sin 2 2 2 【答案】ACD 【详解】因为2(sin2A-sin2B)=(V2a-b)小sinB,ABC外接圆半径为1， 所8-]--岭 整理得：a=√2b,故A选项正确； 因为ABC的面积等于Ca-b 2 所以5c5mA0,.5-,sn4万-1，改B达顶错说 2 2 所以a9m8-9n49a-小=1-9<510c8<号 2 22 所以cos 2/ <B< 1-sinB三2,0< 24 B 因为0< B<> 24,os -sin 2 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 osB-sng=2，故C选项正确； 所以cos2-si 2 因为s如A=-1,兰引，所以子+o子0 、π A-2 听L以了snA1cosA=1+simA=V2’s四2+cos 因为号n-1创-s4生， 2 2 所以sinA-B sin C-sin cos- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B B 2=2×24=2”=1'故D选项正确， 1 故选：ACD 变式1.(25-26高三上陕西咸阳月考)在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边.若a=3,b=2,且 cos4=2'BC边上的高为h,则(） A.sinB= 3 B.C是钝角 C.c=1+√6 D.h=5+3V2 3 【答案】ACD 【解】1-兮0，则4为领角，所以4=行血4如- 32 由正弦定理得9inB=bsim42xV3 ,2-5,故选项A正确 a 3 3 由余弦定理a2=b2+c2-2 be.cosA,代入a=3、b=2, 1 得9=4+c-2×2xcx2,整理得c-2c-5=0. 解得c-2生y4+20=1t6,舍去负很得c=1+6,故选项C正确 c2=1+V6)2=7+2V6, 由余弦定理coC。+-e_9447+26._6-263-5,0: 2ab 2×3×2 126 故角C为锐角，选项B错误， 同角彩积5es叫2×+6k314y6 2 BC边上的高为h,则S=2a-h, 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 √51+V6 得，25 2× h= 2 =5+32,故选项D正确 a 3 3 故选：ACD 变式2.(2025甘肃模拟预测)设ABC内角4，B,C的对边分别为a,b,c,若A=T,b=3,c=4,则() 3 A.a=√3 B.C=5 12 C. ABC的外接圆面积为13r 3 D.若M为BC中点，则AM=37 【答案】AC 【详解】对于A,由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos.4=32+42-2×3×4cos=13, 3 所以a=√3，故A正确； 对于B,由余弦定理可得osC-Q+6-c_（人+3产-店 2ab 2V13x3=13 5元 而cos cos π，π + -sinsin”=6-v2s 12 64 6 4 6 44 13, 所以C≠5 12 ,故B错误； 对于C,设48C的外接圆半径为R,由正弦定理可得2R=,厅-269 sin A sin。3 ，所以48C的外接两面积为S=状-经，故C正痛： 所以R=V39 对于D,因为M为BC中点，所以AM=)(AB+4C, M B 所以M=B7,故D错误 故选：AC 变式3.(25-26高三上广西桂林·月考)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,且b=c-2 bcosA,则 6 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 下列结论正确的有() A.A=2B B.若b=2,c=1,则BC边上的中线长为√2 C.若a=√3b,则c2=a2+b2 D.若ABC为锐角三角形，则的取值范围是1,2) 6 【答案】ACD 【详解】对于A选项，因为b=c-2 bcosA, 由正弦定理得sinB=sinC-2 sinBcosA=sin(A+B)-2 sinBcosA =sinAcosB+sinBcosA-2sinBcosA sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B), 因为A、B∈(0，π，则-π<A-B<元， 因为sinA-B)=sinB>0,所以0<A-B<π， 若A-B+B=元，即A=元，舍去，所以A-B=B,故A=2B,故A正确； 对于B选项，设BC的中点M,由b=2,c=1, 由6=C-2bc0sA得2=1-4c0s4,得c0sM=- 4 由余弦定理，a2=b+c2-2bc0s4=6,即BC=V6,所以BM=CM-y6 2 由∠AMB+L4MC=五符cos∠AMB+cos∠AMC-4M2+BM2-AB+4M2+CM-AC-0, 2AM·BM 2AM.CM 解得AM=1,故BC边上的中线长为1，故B错误； 对于C选项，因为sinA=sin2B=2 sinBcosB, 而a=V5b,由正弦定理得sinA=V5sinB,得cosB=sim1-y5 2sinB 2 又B∈(0，π，所以B= 名则4=28-骨，故C=x-A-B 2 所以c2=a2+b2,故C正确： 0<B< 2 对于D选项，因为A8C为锐角三角形，则0<A=2B<,解得<B<天。 6 0<C=π-3B< 2 由b=c-2bc0sM得=1+2c0sA=1+2c0s2B, 6 > 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 因为后<B<子则号<20受所以0<os2<分故分1+2m28eL2, 96 3 b 从而的取值范围是1,2)，故D正确 故选：ACD 变式4.(2025·新疆模拟预测)ABC的周长为6，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sinB+sinC-sinA=。csin B,则() 2 A.若a=2,则be=4 B.2≤a<3 c4-君 D.若48C的面积为5，则nB+snC-7 2 10 【答案】ABD 【详解】A达项，s血B+如C-smA=方csn8,由正弦定理得b+c-a=c, 1 又a+b+c=6,a=2,故b+c=4, 所以bc=b+c-a=4-2=2,bc=4,A正确； B选项，由基本不等式得b+c≥2√bc,当且仅当b=c时，等号成立， 又a+b+c=6,故6-a≥26c,即(6-a≥c, 4 又6+e-a=c,a+6+c=6,故6-2a=kc, 所以6-2a=bc56-a,即48-16a≤36-12a+,解得a22, 8 1 又6-2a=二bc>0,故a<3,故2≤a<3,B正确： 2 C选项，由余弦定理得 b2+c2-a2(b+c2-2bc-a2(6-a-2(12-4a-a2 cosA= 2bc 2bc 2(12-4a a2-12a+36-24+8a-a2-4a+121 一三 212-4a 212-4a2' 又Ae(0,敲A-骨，C错误： 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 D选项，由题意科cn4=号，母时cn子-，解待c=2 2 32 5 由B可知，6-2a=)bc,故6-2a=1,解得a=2' 5 故b+c=6-a= b+c 下，由正弦定理得 -a =25 simB+sin C sin 4 sin7万' 3 故sinB+sinC=】 b+d_75,D正确 5 10 故选：ABD 0 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 考点二 周长问题 例1.(2025-陕西榆林·模拟预测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4 asinBsin24=bsin4. 2 (1)求A； (2)若a=√万，2b2-c2=2a2,求ABC的周长 【容架】04=月 (2)5+√7 【详解】(1)因为4 asinBsin2A=bsin4,所以4sin4 dsinBsin2 sinBsinA 2 2 因为sin4sinB≠0，所以sin24-1 24 医为4a,周以引如子-如子 2 舍去， 所以-4= 3 (2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becosA,则a2=b2+c2-bc 2b-c2=2a,得b=3c 3 a2=b2+c2-bc, 2 2b2-c2=2a2, b=3 由{a=V7, 得 c=2' 3 b=zc. 故ABC的周长为a+b+c=5+√ 例2.(25-26高三上广东深圳期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 2cosC(acosB+bcosA)=c. (1)求C; (2)若c=√万， ABC的面积为3V5, 求ABC的周长 2 【答案】号 (2)5+V万 【详解】(1)ABC中，2cosC(acosB+bcosA)=c, 由正弦定理可得：2cosC(sinAcosB+sinBcos4=sinC, 10正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 考点目录 正余弦定理的综合应用 周长问题 面积问题 考点一 正余弦定理的综合应用 例1.(25-26高三上江苏南京·月考多选)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cosB'sinB sin AsinC=9 cosC sin C2a =26,D是AC的中点，则() A.B= B.ABC的面积为3√5 3 C.b≥√6 D.BD≥3V2 2 例2.(25-26高三上河南鹤壁·月考·多选)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为Q,b,c.0为外接圆圆心， 已知sinC-sin4-sinB,sinC=V5(2-co),则下列结论正确的是(） c-b c+a A.A=交 3 B.b=5 C.ABC周长取值范围为3+√5,6+2V5 D.△OAC和△OBC面积之差的取值范围为 55 412 例3.(25-26高三上·江苏徐州月考)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足a=2 bsinC.则 下列选项中正确的是() A. 1 .=2 tanB tanC B.ABC的面积为，a C.若c=V3b,则tanC=√2+1 D.b+的最大值为25. 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 例4.(2025·江苏模拟预测)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若 2sin'4-sin'g)=(2a-b)sin B,且ABC的外接圆半径为1，ABC的面积等于ca,-,则下列结论正确的是 2 () A.a=2b B.sin4=1- 2 B B C.cos-sin D.sin 4-B +sin C=1 2 21 变式1.(25-26高三上陕西咸阳月考)在ABC中，a,b,C分别是角A,B,C的对边.若a=3,b=2,且 1 cosA 2'BC边上的高为h,则() A.sinB=3 B.C是钝角 C.c=1+√6 D.h=5+32 3 变式2.(2025·甘肃：棱拟预测)设48C内角4,8，C的对边分别为a6c,若4-子b=3c=4,则（) A.a=v13 B.C=5z 12 C.A8C的外接圆面积为1 3 D.若M为BC中点，则AM=37 4 变式3.(25-26高三上广西桂林·月考)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,且b=c-2 bcosA,则 下列结论正确的有() A.A=2B B.若b=2,c=1,则BC边上的中线长为√2 C.若a=√3b,则c2=a2+b2 D.若A8C为锐角三角形，则6的取值范围是1,2) 变式4.(2025·新疆模拟预测)ABC的周长为6，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sin B+sinC-sin 4=-csin B,() 21 A.若a=2,则bc=4 B.2≤a<3 C.A=I D.若ABC的面积为5，则sinB+sinC=75 6 2 10 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 考点二 周长问题 例1.(2025·陕西榆林·模拟预测)ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,已知4 asinBsin2A=bsin4. 2 (1)求A; (2)若a=√7,2b2-c2=2a2,求ABC的周长 例2.（25-26高三上：广东深圳期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 2cosC(acosB+bcosA)=c. (1)求C; 2)若c万·4BC的面积为.求ABC的周的 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 例3.(25-26高三上山东日照期中)已知向量m=(2cos2x,V5,i=(1,sin2x),函数f(x)=m·i (1)求函数∫(x)的单调递减区间； ②在a18C中，a6e分别是角4,8，C的对边，f()=3c=5.aABC的面积为5，求ABC的周长 例4.(25-26高二上·湖南永州期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,己知acosC+ccosA=2c. (1)证明：b=2c; (2)若D为边BC上一点，△ACD的面积是△ABD的面积的两倍，BD=√2，AD=2,求ABC的周长. 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 变式1.(25-26高二上·浙江·期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的外接圆的半径为R,且 BC的面积为R'sin4 (I)求sinB.sinC的值； (2)若4 cosBcosC=1,R=√5，求ABC的周长. 变式2.(2526高三上河北保定期中)如图，平面四边形ABDC中，∠ACD=元，4C=V5,CD=1△ABC的三个内 6 角A,B,C的对边分别是a,b,c,且csinA+√3 acosC=V3b (1)求角A; (2)若AB=√7，求△BAD的面积； ⊙若∠DBC-名求四边形4BDC的周长 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 变式3.(2025·陕西威阳：模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,G,已知cosA-1+sinC asinC ccosC )考B=行，求4： (2)若a=6,b=8,求ABC的周长 变式4.(25-26高二上·贵州遵义·月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinC=V3 ccosA. (1)求角A; (2)若a=2,求ABC周长的范围. 6 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 考点三 面积问题 例1.(2025云南昆明模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 cosA+a=2c, cos B 2BD=3DC,AD=6,BC=10. (1)求角B的值； (2)求△ADC的面积. 例2.(25-26高三上·福建福州月考)在四边形ABCD中，AB=1,AD=2,AB⊥BD,AC平分∠BAD,AC与 BD相交于点E. (I)若BC=2 ,求aCDE的面积； 3 (2)若cos∠EDC=239, ,求aCDE的面积 13 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 例3.(2025-河北沧州模拟预测)在A8C中，内角4，B,C的对边分别为a,b,c,且a+b=。 a+b cosA cosB sinA+sinB (I)证明：cosA-B)=sinC+sinAsinB; (2)若cosA=3coA-,b=V0,求ABC的面积 2 例4.(25-26高二上广东揭阳月考)已知A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c,且 cos BcosC-sin BsinC=1 2 (1)求A; (2)若a=2V3,b+c=4,求bc的值，并求△ABC的面积. P 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 变式1.(25-26高三上贵州遵义月考)如图，在四边形ABCD中，AC=2√7，CD=2AD,∠ADC=2n 3 B (I)求sin∠DAC的值； (2)若LBAC=2LDAC,且ABC的面积是△ACD面积的4倍，求AB的长. 变式2.(2526高三上：重庆月考)经过椭圆C子+片1的中心作直线1，与椭圆C交于4B两点4布 第一象限)，F为椭圆的右焦点 (I)若点A关于坐标轴的对称点分别为D,E,求四边形ADBE面积的最大值. (②若∠F8-行，求△AB的面积： (③)若G为C的上顶点，求四边形AFBG面积的最大值 0 正余弦定理的综合应用、周长问题、面积问题专项训练 变式3.(25-26高三上·江西·期中)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,∠AOB=0 D (I)求证：AD2+BC2-AB2-CD2=2AC.BDcose0: (2)已知AB=2,BC=CD=2V3,AD=27,0=60° ①求四边形ABCD的面积； ②若△ABD与△BCD面积相等，求证：AC⊥CD 变式4.(25-26高二上陕西·期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b-cc0sA=acosC. (I)求c0sA的值； (2)若a=6,求ABC面积的最大值， 9