精品解析：北京市月坛中学2025—2026学年度第二学期期中试卷八年级数学

北京市月坛中学2025—2026学年度第二学期 期中试卷初二年级数学 试卷满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故该选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、的被开方数是小数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 2. 计算的结果是 A. ﹣3 B. 3 C. ﹣9 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】=|﹣3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式化简，掌握二次根式化简方法是解题关键． 3. 如图，数轴上点O为原点，点表示的数为1，，且，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先理解题意，得出，运用勾股定理得，再根据以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点C，即可作答． 【详解】解：∵数轴上点O为原点，点表示的数为1，，且， ∴， ∴， ∵以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点C， ∴， 即点C所表示的数为． 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三边关系两边之和大于第三边，判断能否构成三角形，再根据勾股定理逆定理验证：若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证选项即可． 【详解】解：A：∵，不满足勾股定理逆定理， ∴不能组成直角三角形； B：∵，不满足三角形三边关系， ∴无法构成三角形； C：∵，不满足三角形三边关系， ∴无法构成三角形； D：∵， ∴能组成直角三角形． 5. 菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　） A. 6cm2 B. 12cm2 C. 24cm2 D. 48cm2 【答案】C 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】根据对角线的长可以求得菱形的面积， 根据， 故选：C． 【点睛】考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则逐一计算选项，即可判断． 【详解】解： A、与不是同类二次根式，无法合并，即，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 7. 如图，在中，于E，于F，且，，，则的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的面积等于底乘高求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴的面积． 8. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线长度相等互相平分 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】菱形与矩形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有对角线互相平分的性质，只需对比各选项，找出两者共有的性质即可得到答案． 【详解】解：A、菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，故该选项不符合题意； B、菱形和矩形都是平行四边形，都具有的性质是对角线互相平分，故该选项符合题意； C、菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不平分一组对角，故该选项不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，故该选项不符合题意． 9. 如图，在矩形中，对角线交于点O，已知，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的性质和判定，由矩形的性质可得到，于是可证明为等边三角形，于是可求得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴． ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 二、填空题：本题共8小题，共16分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 等边三角形三边相等的逆命题为______． 【答案】三边相等的三角形是等边三角形 【解析】 【分析】对调原命题的条件和结论即可． 【详解】解：等边三角形三边相等的逆命题为三边相等的三角形是等边三角形； 故答案为：三边相等的三角形是等边三角形 【点睛】本题考查逆命题．熟练掌握互换条件和结论的两个命题是互逆命题，是解题的关键． 13. 中，，则_____． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键． 根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ； 故答案为：． 14. 比较大小：__3．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正有理数和正无理数比较大小，可以先比较两个数的平方，平方值大的，则原数也大，熟练掌握这一方法是解题的关键．比较两个正数的大小，可以通过比较它们的平方值来判断． 【详解】解：，，由于，且和均为正数， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，∠，，， ∴由勾股定理得， ∵点D是的中点， ∴， 故答案为：5． 16. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和勾股定理，根据平行四边形的性质得，再由勾股定理求出即可 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故答案为： 17. 如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点M和N．如果测得，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】 【解析】 【分析】先理解题意，得出是的中位线，再根据中位线的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点M和N分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵ ∴． 18. 如图， 把矩形 沿直线向上折叠， 使点C落在点 的位置上， 交于点E， 若， ， 则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断，设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可得出以及的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是由折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）30 （4）2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 已知：如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画线段且使，连接； （2）线段的长为______，的长为______，的长为______． 【答案】（1） （2），，5 【解析】 【分析】（1）根据网格特征得出，，故四边形是平行四边形，即． （2）结合小正方形的边长为1以及勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，，，． 21. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理说明为直角三角形，然后利用求解即可． 【详解】解：， 为直角三角形， 又，， ， 又，， ，， ， 为直角三角形，， ∴． ∴四边形的面积是． 22. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：将代入代数式，得 ． 23. 已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； ②分别以点C，D为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； ③画射线OP． 射线OP即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接PC，PD． 由作法可知OC=OD=PC=PD． ∴四边形OCPD是 ． ∴OP平分∠AOB（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）图见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据作法的步骤②和③补全图形即可； （2）连接，先根据作图可得，再根据菱形的判定与性质即可得证． 【详解】解：（1）如图，射线即为所求． （2）证明：连接． 由作法可知，． ∴四边形是菱形． ∴平分（菱形的每条对角线平分一组对角）． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 24. 如图，在中，，a，b，c分别表示，，的对边． （1）已知，，求a，b． （2）已知，，求a，c． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先结合，设，再运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）根据30度角的直角三角形的性质，得，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 则． 25. 如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 又 即 四边形为平行四边形． 26. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据条件证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 27. 如图， 在中， 于点E， 延长至点F， 使， 连接、、． （1）求证： 四边形是矩形； （2）若， ， ， 求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得，，再根据得，由此可判定四边形为平行四边形，然后再根据可得出结论； （2）根据矩形性质得，再根据勾股定理的逆定理证明，然后根据三角形的面积公式即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， 即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， 即， 由三角形的面积公式得：， ∴． 【点睛】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，利用平行四边形的性质证明，利用平行四边形性质和判定证明，证明四边形是矩形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的性质． 附加题：本题共2小题，共10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 28. 现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形． 要求： （1）在图①中画出分割线并在图②正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形； （2）求新的正方形的面积． 【答案】（1） （2）新的正方形的面积是5 【解析】 【分析】（1）根据作图前后，图形的面积保持不变列方程求出分割线长度，逆推画图即可； （2）割补前后图形面积相等． 【小问1详解】 解：设新正方形的边长为， 割补前后图形面积相等， ， 解得：， 即新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长， 即分割线长为， 如图所示即为分割线，如图所示为新正方形（见答案）． 【小问2详解】 解：割补前后图形面积相等， 面积为5． 29. 已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且，连接DE．点F与点E关于直线DC对称，过点F作于点H，直线FH与直线DB交于点M． （1）依题意补全图1； （2）若，请直接写出____________（用含的式子表示）； （3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）BM=CF； 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）由正方形的对角线平分对角可得∠BDC=45°，于是可得∠BDH，再根据Rt△MDH中两锐角互余即可解答； （3）在CD上取点G使CG=CE，连接GE，由正方形的性质和对称的性质可得BC-FC=CD-CG，由同角的余角相等和对顶角相等可得∠BFM=∠GDE，由等腰直角三角形的性质和补角的定义可得∠MBF=∠DGE，于是△BMF≌△GED（ASA），BM=GE即可解答； 【小问1详解】 解：补全图形如下， 【小问2详解】 解：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDC=45°， ∴∠BDH=∠BDC+∠CDE=， Rt△MDH中，∠MHD=90°， ∴∠DMH=90°-∠MDH=， ∴∠DMF=； 【小问3详解】 解：如图，在CD上取点G使CG=CE，连接GE， ∵ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠DBC=45°，∠BCD=90°， 由对称的性质可得FC=CE， ∴FC=CE=CG， ∴BC-FC=CD-CG， ∴BF=GD， ∵∠CDE+∠CED=90°，∠EFH+∠HEF=90°， ∴∠CDE=∠EFH， ∵∠BFM=∠EFH， ∴∠BFM=∠GDE， ∠ECG=90°，CE=CG， ∴△ECG是等腰直角三角形， ∴GE=，∠CGE=45°， ∴∠DGE=135°，GE=CF， ∵∠DBC=45°， ∴∠MBF=135°， BF=GD，∠BFM=∠GDE，∠MBF=∠DGE， ∴△BMF≌△GED（ASA）， ∴BM=GE， ∴BM=CF； 【点睛】本题考查了正方形的性质，对称的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识；正确作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市月坛中学2025—2026学年度第二学期 期中试卷初二年级数学 试卷满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是 A. ﹣3 B. 3 C. ﹣9 D. 9 3. 如图，数轴上点O为原点，点表示的数为1，，且，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C所表示的数为（ ） A. B. C. D. 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　） A. 6cm2 B. 12cm2 C. 24cm2 D. 48cm2 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于E，于F，且，，，则的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 30 D. 36 8. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线长度相等互相平分 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 9. 如图，在矩形中，对角线交于点O，已知，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6 10. 如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 10 D. 二、填空题：本题共8小题，共16分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 等边三角形三边相等的逆命题为______． 13. 中，，则_____． 14. 比较大小：__3．（填“”、“”或“”） 15. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______． 16. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，则的长为____________． 17. 如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点M和N．如果测得，则A，B两点间的距离为______m． 18. 如图， 把矩形 沿直线向上折叠， 使点C落在点 的位置上， 交于点E， 若， ， 则的长为________． 三、解答题：本题共9小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知：如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画线段且使，连接； （2）线段的长为______，的长为______，的长为______． 21. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 22. 已知，求代数式的值． 23. 已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； ②分别以点C，D为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； ③画射线OP． 射线OP即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接PC，PD． 由作法可知OC=OD=PC=PD． ∴四边形OCPD是 ． ∴OP平分∠AOB（ ）（填推理的依据）． 24. 如图，在中，，a，b，c分别表示，，的对边． （1）已知，，求a，b． （2）已知，，求a，c． 25. 如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 26. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：． 27. 如图， 在中， 于点E， 延长至点F， 使， 连接、、． （1）求证： 四边形是矩形； （2）若， ， ， 求的长． 附加题：本题共2小题，共10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 28. 现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形． 要求： （1）在图①中画出分割线并在图②正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形； （2）求新的正方形的面积． 29. 已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且，连接DE．点F与点E关于直线DC对称，过点F作于点H，直线FH与直线DB交于点M． （1）依题意补全图1； （2）若，请直接写出____________（用含的式子表示）； （3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $