精品解析：北京市第一五九中学2025-2026学年度第二学期期中检测八年级数学试题

北京市第一五九中学2025－2026学年度第二学期期中检测 八年级数学试题 考生须知 1.本试卷共8页，共3道大题，24道小题．考试时间100分钟，试卷满分100分． 2.除特别说明外，试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上作答，其他试题用黑色字迹的钢笔或签字笔作答． 一、选择题 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 5. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ） A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m 6. 如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. ______． 10. 如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是___________. 11. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 12. 一组数据：3，9，2，m，7，它的中位数是4，则这组数据的平均数是______． 13. 如图，、分别为、中点，点在上，且，若，，则的长为_____． 14. 如图，折叠矩形，使点C落在对角线上的点E处，若，，则线段的长为________． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______． 16. 如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为______． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线． 已知：如图1所示，直线l及直线外一点P． 求作：直线l的垂线． 作法：（1）如图2，在直线l上选取点A，连接； （2）以点P为圆心，线段的长为半径作弧，此弧与直线l交于点B（不与点A重合）； （3）分别以，点A、点B为圆心，以线段的长为半径画弧，两弧在直线l下方交于点C； （4）作直线； 则直线就是所求作的直线l的垂线． （1）请你根据作法用尺规将图2补全，保留作图痕迹； （2）补全以下证明过程：连接，由题意可知， ∴四边形是_________形（_______________） ∴（_____________________） 即直线． 19. 如图，在菱形中，对角线和交于点O，分别过点B、C作，，与交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的长． 20. 为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1： 甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：26，28，25，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙 27 n 27.5 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的__________，__________，__________（填“”“”或“”）； （2）本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）从箱线图角度分析，甲、乙两名队员谁的抢篮板技术更稳定？ 21. 数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）．    某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含x的代数式表示长方体的高为． 根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积，得到y与x的关系式：______； （2）列出y与x的几组对应值： … … a （说明∶表格中相关数值精确到） 则______； （3）在下面的平面直角坐标系中，描出补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为______dm时，需要的材料最省．（精确到0.1） 22. 材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉． 例如：已知，求的值． 解：． ∵，∴， 材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． （1）利用材料一，解关于x的方程：，其中； （2）利用材料二，求代数式的最小值． 23. 在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）． （1）如图2，点B的坐标为（0，b）． ①若b=4，则点A，B的“相关矩形”的面积是______； ②若点A，B的“相关矩形”的面积是5，则b的值为______． （2）如图3，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2）．若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围． 24. 如图，点E在正方形的边上（不与点B，C重合），点B关于直线的对称点为F，作射线交AE交于点G，连接，过点C作交射线于点H． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与之间的数量关系．并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一五九中学2025－2026学年度第二学期期中检测 八年级数学试题 考生须知 1.本试卷共8页，共3道大题，24道小题．考试时间100分钟，试卷满分100分． 2.除特别说明外，试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上作答，其他试题用黑色字迹的钢笔或签字笔作答． 一、选择题 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：1．被开方数不含分母；2．被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：，故A不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数是小数，可化为分数，含分母，故B不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数含分母，故C不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数不含分母，且分解后没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件， 故选项D是最简二次根式，符合题意． 2. 在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，正确区分边长的大小，熟记勾股定理的逆定理的计算公式是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理即三角形内角和定理解答，验证较小的两边平方和是否等于最大边的平方即可． 【详解】A、∵， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； B、设， ∵， ∴， ∴， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴， ∴该三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘法，根据二次根式的加减、二次根式的乘法的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，二次根式根号内是负数，无意义，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意； D、两组对边相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 5. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ） A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2， 解得：x=12， ∴旗杆的高度为12m． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 6. 如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方体水槽的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由长方体水槽的横断面示意图可得， 水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：C． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 7. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴． ∴的周长． 故选：C． 8. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．得到，，进而得到，点M与点E，点H重合时，此时，的面积都为0，点M与点F，点G时重合，此时，的面积都为12，由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，由此即可解答． 【详解】解：点E，F，G，H是矩形各边的中点，，． ，， ， 如图，连接， ， 当点M与点E，点H重合时， 此时，三点再一条直线上， 的面积都为0， 当点M与点F时重合， 此时， 的面积为， 当点M与点G时重合， 此时， 的面积为， 由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0， 时，的面积先增大后减小， 时，点M运动的路径是， 点M运动的路径是． 故选：D． 二、填空题 9. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法运算，涉及平方差公式，由平方差公式化简后计算即可得到答案．熟记平方差公式及二次根式乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，结合A点和C点的坐标，就可以写出B点的坐标． 【详解】解：根据平行四边形的性质可得： ，根据已知条件A（8，0）可知OA=8，C（2，6），可知B点的横坐标为2+8=10，B点的纵坐标为6，所以B（10，6）. 故答案为：（10，6）. 【点睛】本题主要考查坐标的表示，再结合考查平行四边形的性质，难度系数较低，但应当熟练掌握． 11. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，从而得到答案．熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，在中，，，，则由勾股定理可得， 以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点， ， 则点表示的数为， 故答案为：． 12. 一组数据：3，9，2，m，7，它的中位数是4，则这组数据的平均数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据中位数的定义确定的值，再根据平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：一组数据：，，，，，共个数据，它的中位数是， 将数据从小到大排序后，第个数为中位数， ∵已知中位数为4，且已知数据中比4小的数有2和3，比4大的数有7和9， ， 这组数据的平均数是． 13. 如图，、分别为、中点，点在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】延长交于H，由D、E分别为中点，得，，因为，所以，，则，所以，而，即可根据“”证明，则，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长交于点H， ∵D、E分别为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和△ACF中， ， ∴， ∴， ∵D是的中点，F是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题重点考查三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、全等三角形的判与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14. 如图，折叠矩形，使点C落在对角线上的点E处，若，，则线段的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 先根据矩形的性质，勾股定理求出的长，再由翻折变换的性质得出，设，则，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中， ，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：5． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 16. 如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质．连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，证明，得出，证明点O一定在射线上，根据垂线段最短，得出点O在点M处时，线段取最小值，求出最小值即可． 【详解】解：连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O一定在射线上， ∵垂线段最短， ∴点O在点M处时，线段取最小值， ∵，， ∴， ∴线段取最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 18. 尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线． 已知：如图1所示，直线l及直线外一点P． 求作：直线l的垂线． 作法：（1）如图2，在直线l上选取点A，连接； （2）以点P为圆心，线段的长为半径作弧，此弧与直线l交于点B（不与点A重合）； （3）分别以，点A、点B为圆心，以线段的长为半径画弧，两弧在直线l下方交于点C； （4）作直线； 则直线就是所求作的直线l的垂线． （1）请你根据作法用尺规将图2补全，保留作图痕迹； （2）补全以下证明过程：连接，由题意可知， ∴四边形是_________形（_______________） ∴（_____________________） 即直线． 【答案】（1）见解析 （2）菱；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直平分． 【解析】 【分析】（1）根据题中步骤作图即可； （2）首先由作图可判定四边形是菱形，然后根据菱形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 连接， 由题意可知， ∴四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）， ∴（菱形的对角线互相垂直）， 即直线． 故答案为：菱；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直． 【点睛】本题考查了尺规作垂线，菱形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 19. 如图，在菱形中，对角线和交于点O，分别过点B、C作，，与交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的定义证明四边形为平行四边形，然后再由菱形的性质得到，故四边形是矩形； （2）证出为等边三角形，得，则，由勾股定理求出，进而得出答案． 【小问1详解】 证明：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ， ， 在中， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、 等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 20. 为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1： 甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：26，28，25，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙 27 n 27.5 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的__________，__________，__________（填“”“”或“”）； （2）本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）从箱线图角度分析，甲、乙两名队员谁的抢篮板技术更稳定？ 【答案】（1）29，28， （2）乙队员表现更好 （3）乙更稳定 【解析】 【分析】本题考查了方差，统计表，中位数，加权平均数，箱线图等知识． （1）根据众数、中位数、方差的定义求解即可； （2）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可； （3）根据箱线图的特点分析，合理即可． 【小问1详解】 解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32， ∴中位数； 乙的得分情况：25，26，27，28，28，28，其中得分28的最多， ∴众数； 篮板箱线图（即箱线图）中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大，可得， 故答案为：29，28，； 【小问2详解】 解：甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 【小问3详解】 解：从箱线图可以看出，反映乙抢篮板情况的“箱子”比甲的“箱子”更矮，说明数据更集中，数据波动小，说明乙更稳定．（分析合理即可） 21. 数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）．    某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含x的代数式表示长方体的高为． 根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积，得到y与x的关系式：______； （2）列出y与x的几组对应值： … … a （说明∶表格中相关数值精确到） 则______； （3）在下面的平面直角坐标系中，描出补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为______dm时，需要的材料最省．（精确到0.1） 【答案】（1） （2） （3）作图见详解 （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用长方体的表面积公式建立函数关系，函数值的计算，图象的绘制及函数图象的应用． （1）根据长方体的表面积公式列出对应的关系式并化简即可； （2）将代入（1）中求出的关系式即可得到a的值； （3）根据（2）表格中的数据在平面直角坐标系中标出对应的点的位置，然后再用平滑的曲线连接即可； （4）要使需要的材料最省，即长方体的表面积表面积最小，根据图象观察发现当时需要的材料最省． 【小问1详解】 解：由题意知，长方体的长宽均为，高为， ∴长方体的表面积表示为：， 即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意知，当时，， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图所示，该函数的图象为所求： 【小问4详解】 解：由函数图象可知，要使需要的材料最省，即长方体的表面积表面积最小， 当时，长方体表面积最小， 即长方体包装盒的底面边长约为2.0dm时，需要的材料最省． 故答案为：． 22. 材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉． 例如：已知，求的值． 解：． ∵，∴， 材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． （1）利用材料一，解关于x的方程：，其中； （2）利用材料二，求代数式的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，推出，求出，，即可解决问题． （2）由代数式，可知求代数式的最小值，可以转化为找一点，使得点到，的距离之和最小，这个最小值要求的最小值，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解： 而可看作到，的距离之和，如图： 根据两点之间，线段最短可知，当点在点，组成的线段上时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 23. 在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）． （1）如图2，点B的坐标为（0，b）． ①若b=4，则点A，B的“相关矩形”的面积是______； ②若点A，B的“相关矩形”的面积是5，则b的值为______． （2）如图3，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2）．若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①2；②7或-3 （2）m的取值范围为-3≤m≤-2+或2-≤m≤3． 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质即可得出结果； ②由矩形的性质即可得出结果； （2）由题意得出点M在直线y=2上，由等边三角形的性质和题意得出OD=OE=DE=1，EF=DF=DE=2，得出OF=OD=，分两种情况： ①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（-3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（-2+，2）；得出m的取值范围为-3≤m≤-2+或2-≤m≤1； ②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（-1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2-，2）；得出m的取值范围为2-≤m≤3或-1≤m≤-2+． 【小问1详解】 解：（1）①∵b=4， ∴点B的坐标为（0，4），如图2-1所示： ∵点A的坐标为（1，2）， ∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积=（4-2）×1=2， 故答案为：2； ②如图2-2所示： 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积=|b-2|×1=5， ∴|b-2|=5， ∴b=7或b=-3， 故答案为：7或-3； 【小问2详解】 解：∵点M的坐标为（m，2）， ∴点M在直线y=2上， ∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）， ∴OD=OE=DE=1，EF=DF=DE=2， ∴OF=OD=， 分两种情况：如图3所示： ①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形， 则点M的坐标为（-3，2）或（1，2）； 若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形， 则点M的坐标为（-2+，2）或（2-，2）； ∴m的取值范围为-3≤m≤-2+或2-≤m≤1； ②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形， 则点M的坐标为（3，2）或（-1，2）； 若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形， 则点M的坐标为（2-，2）或（-2+，2）； ∴m的取值范围为2-≤m≤3或-1≤m≤-2+； 综上所述，m的取值范围为-3≤m≤-2+或2-≤m≤3． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法确定一次函数的解析式，新定义“相关矩形”等知识；本题综合性强，有一定难度． 24. 如图，点E在正方形的边上（不与点B，C重合），点B关于直线的对称点为F，作射线交AE交于点G，连接，过点C作交射线于点H． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与之间的数量关系．并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意补全图形即可； （2）连接，根据对称的性质得到，利用等边对等角得到，，结合四边形内角和求出，可得； （3）过C作，垂足为T，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得出，结合对称的性质，可得结果． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 连接，∵B，F关于对称， ∴垂直平分， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ，理由是： 过C作，垂足为T， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $