专题20.2 二次根式的乘除（举一反三讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本讲义聚焦二次根式的乘除核心知识点，系统梳理乘法法则（被开方数积的算术平方根）、除法法则（被开方数商的算术平方根），以及积与商的算术平方根、最简二次根式的概念与化简步骤，构建从基础法则到性质应用再到化简判断的递进式学习支架。 资料亮点在于9类题型系统归纳，每题型配例题与变式训练，如“根号内外因式互移”“最简二次根式求参数”等培养运算能力与推理意识，结合密度计算、风速估计等应用题型引导用数学语言表达现实问题，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺强化知识应用。

专题20.2 二次根式的乘除（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 二次根式乘除成立的条件】 2 【题型2 二次根式的乘除运算】 3 【题型3 积或商的算术平方根】 3 【题型4 根号内、外的因式互移】 4 【题型5 最简二次根式的判断与化简】 4 【题型6 由最简二次根式求参数】 4 【题型7 分母/子有理化】 5 【题型8 与二次根式的乘除有关的化简求值】 5 【题型9 二次根式乘除的应用】 5 考点1 二次根式的乘除 知识点1 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点2 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 知识点3 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点4 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 知识点5 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 【题型1 二次根式乘除成立的条件】 【例1】若等式成立，则x的取值范围是__________． 【变式1-1】下列式子中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）等式成立的条件是______． 【变式1-3】小东在学习了=后，认为=也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由． 【题型2 二次根式的乘除运算】 【例2】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算：_____． 【变式2-2】（25-26九年级下·广东中山·阶段检测）在如图的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则图中m的值为_______________． 1 m 6 3 【变式2-3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【题型3 积或商的算术平方根】 【例3】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）若，化简______． 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西延安·期中）化简：_____． 【变式3-2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（   ） A．商的算术平方根性质 B．分数的基本性质 C． D． 【变式3-3】阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【题型4 根号内、外的因式互移】 【例4】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】求把根号外数放到根号内的值______ 【变式4-2】把根号外的因式移到根号内： ＝_______. 【变式4-3】把 的根号外的适当变形后移入根号内，得_____． 【题型5 最简二次根式的判断与化简】 【例5】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【变式5-1】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 【变式5-2】（25-26八年级下·江西·阶段检测）将化为最简二次根式为___________． 【变式5-3】（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【题型6 由最简二次根式求参数】 【例6】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【变式6-1】若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【变式6-2】最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【题型7 分母/子有理化】 【例7】设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 【变式7-1】下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）已知有理数a、b满足，则，． 【变式7-3】在进行二次根式化简与计算时我们经常会遇到如，这样的式子，观察下列等式，按照你观察到的规律回答下列问题： ① ②； ③； ④；… (1)计算： (2)计算： 【题型8 与二次根式的乘除有关的化简求值】 【例8】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简________． 【变式8-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】化简：___________． 【变式8-3】（25-26七年级下·上海·期中）化简： 【题型9 二次根式乘除的应用】 【例9】（2026·江苏常州·二模）已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 【变式9-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【变式9-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压，v为风速，当风压为时，估计风速为__________． 【变式9-3】（25-26九年级上·山西晋城·期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.2 二次根式的乘除（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 二次根式乘除成立的条件】 2 【题型2 二次根式的乘除运算】 3 【题型3 积或商的算术平方根】 4 【题型4 根号内、外的因式互移】 6 【题型5 最简二次根式的判断与化简】 7 【题型6 由最简二次根式求参数】 9 【题型7 分母/子有理化】 10 【题型8 与二次根式的乘除有关的化简求值】 12 【题型9 二次根式乘除的应用】 13 考点1 二次根式的乘除 知识点1 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点2 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 知识点3 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点4 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 知识点5 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 【题型1 二次根式乘除成立的条件】 【例1】若等式成立，则x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义分别列出不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式有意义的基本条件是解题关键． 【变式1-1】下列式子中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件逐一判断即可； 【详解】解：A，∵，，∴A错误； B，∵成立的条件是，若或等式不成立，∴B错误； C，∵，，左右两边相等，∴C正确； D，∵在实数范围内负数没有平方根，和无意义，∴D错误． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）等式成立的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法法则、二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是关键．根据二次根式的除法法则成立的条件：且，即可确定． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故答案为：． 【变式1-3】小东在学习了=后，认为=也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由． 【答案】错误；理由见解析. 【分析】根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可． 【详解】解：错误，原因是被开方数应该为非负数． ====2. 故答案为错误. 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法. 【题型2 二次根式的乘除运算】 【例2】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式2-1】计算：_____． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法法则即可得到结果． 【详解】解：． 【变式2-2】（25-26九年级下·广东中山·阶段检测）在如图的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则图中m的值为_______________． 1 m 6 3 【答案】 【分析】根据“横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果”列方程求解即可． 【详解】解：∵横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果， ∴， 解得：． 【变式2-3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 【题型3 积或商的算术平方根】 【例3】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）若，化简______． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式．先判断，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西延安·期中）化简：_____． 【答案】/ 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 【变式3-2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（   ） A．商的算术平方根性质 B．分数的基本性质 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，还涉及算术平方根和分数的基本性质．从解答过程中分析，找出对应的知识点即可． 【详解】解：A、，这里用到商的算术平方根性质，故不符合题意； B、，这里用到分数的基本性质，故不符合题意； C、没有用到，故符合题意； D、，这里用到，故不符合题意， 故选：C． 【变式3-3】阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)①20；②77 (3)16 【分析】本题考查了二次根式的乘法，求一个数的算术平方根，熟练掌握二次根式的乘法法则进行计算即可解答． （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，； （2）①， ②； （3）由题意得：长方形的面积． 【题型4 根号内、外的因式互移】 【例4】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：，∴ ∴ 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【变式4-1】求把根号外数放到根号内的值______ 【答案】 【分析】由题意可知a＜0，再利用根式的性质即可算出结果． 【详解】解：要使根式有意义，则−≥0，解得a＜0， ∴=−(−a) =−=． 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的运算，利用二次根式成立的条件确定a＜0是解题关键． 【变式4-2】把根号外的因式移到根号内： ＝_______. 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得a与1的关系，根据a与1的关系，可得答案． 【详解】原式=- 故答案为 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，被开方数是非负数得出a＜1是解题关键． 【变式4-3】把 的根号外的适当变形后移入根号内，得_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出＜0，求出＞0，再根据二次根式的性质把根号外的因式移入根号内即可． 【详解】∵要使有意义，必须≥0， 解得：＜0， ∴＞0， ∴ = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的性质与化简，能求出是解此题的关键． 【题型5 最简二次根式的判断与化简】 【例5】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 【变式5-1】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】解题思路是先将整数1和3化为二次根式形式，再找出被开方数介于1和9之间的最简二次根式即可． 【详解】解：，， 所求最简二次根式的被开方数只需满足大于1且小于9，且的因数中没有除1以外的完全平方数即可，其中符合条件的一个最简二次根式是(答案不唯一)． 【变式5-2】（25-26八年级下·江西·阶段检测）将化为最简二次根式为___________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式5-3】（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【题型6 由最简二次根式求参数】 【例6】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需为非负数，且不含能开得尽方的因数，据此求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴被开方数的值需为不含完全平方因数的正整数， ∴可令， 解得（答案不唯一）． 【变式6-1】若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 【变式6-2】最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 【变式6-3】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，得到被开方数不含能开得尽方的因数，由此确定正整数的取值，写出一个符合条件的结果即可． 【详解】解：已知是最简二次根式，为正整数， 分解得， 因此不能含有能开得尽方的因数，即不含因数和，且本身不含平方因数． 取符合条件的正整数， 此时，是最简二次根式，符合要求． 【题型7 分母/子有理化】 【例7】设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先对进行分母有理化化简，得到最简结果后，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式7-1】下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理化因式的定义，两个含根式的代数式相乘，若积不含有根式，则二者互为有理化因式，将各选项与相乘，判断积是否含根式即可得到结果． 【详解】解：A：，积不含根式，是有理化因式； B：，积不含根式，是有理化因式； C：，乘积仍含有根式，不是有理化因式； D：，积不含根式，是有理化因式． 【变式7-2】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）已知有理数a、b满足，则，． 【答案】， 【详解】解：∵， 且， ∴， 解得：． 【变式7-3】在进行二次根式化简与计算时我们经常会遇到如，这样的式子，观察下列等式，按照你观察到的规律回答下列问题： ① ②； ③； ④；… (1)计算： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【题型8 与二次根式的乘除有关的化简求值】 【例8】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 【变式8-2】化简：___________． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可． 【详解】解： ． 故答案： 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 【变式8-3】（25-26七年级下·上海·期中）化简： 【答案】 【详解】 解 ∵， ∴原式 【题型9 二次根式乘除的应用】 【例9】（2026·江苏常州·二模）已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 【答案】 【分析】先根据已知公式推导出密度的表达式，再代入和的值，利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：由公式 可得 ，将，代入得： ． 【变式9-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算的应用，准确的计算是解题的关键．利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可得出答案； 【详解】解：由题意，得 故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为 【变式9-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压，v为风速，当风压为时，估计风速为__________． 【答案】20 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案． 【详解】解：由题中给出的公式可知， 当风压为时，风速为， 故答案为：20． 【变式9-3】（25-26九年级上·山西晋城·期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直接将给定的和代入经验公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故肇事汽车行驶的速度约为， 故选：D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $