期末复习专题03 三角函数的性质与图像【12大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦三角函数核心性质，分考点系统训练正余弦(型)函数与正切函数的图像及性质，通过递进式题型发展抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |五点法作图|3-4题|作图与图像变换|从基础作图到图像变换，构建直观认知| |定义域与解不等式|4-5题|定义域求解与不等式|结合函数性质解三角不等式，强化应用意识| |周期性|6-7题|周期判定与参数|从定义到含参问题，深化逻辑推理| |单调性|5-6题|单调区间与参数|性质应用与参数范围结合，培养数学思维| |值域(最值)|5-6题|最值求解与参数|综合性质求范围，提升问题解决能力| |奇偶性|5-6题|奇偶性判断与参数|结合对称性求参数，发展抽象能力| |对称轴与对称中心|5-6题|对称性判定与参数|从图像特征到代数表达，强化数形结合| |正切函数性质|各考点3-5题|类比正余弦性质考查|分类整合三角函数性质，构建知识体系|

专题03 三角函数的性质与图像 考点一 五点法作图的问题 考点二 正余弦(型)函数定义域与解不等式 考点三 正余弦(型)函数周期性问题 考点四 正余弦(型)函数单调性以及求参数问题 考点五 正余弦(型)函数的值域(最值)及其求参数 考点六 正余弦(型)函数的奇偶性及其求参数 考点七 正余弦(型)函数对称轴与对称中心的问题 考点八 正切函数定义域与解不等式 考点九 正切函数周期性问题 考点十 正切函数单调性以及求参数问题 考点十一 正切函数奇偶性与对称的问题 考点十二 正切函数的值域(最值)及其求参数 考点一 五点法作图的问题 1．已知函数 (1)完善下面的表格并作出函数在上的图象： 0 π x 1 (2)解不等式 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由表格中所给数据计算得到其他对应数据完善表格；由五点作图法绘出函数在上的图象； （2）根据正弦函数的图象和性质解得答案. 【详解】（1）表格如下： 0 π x 0 0 1 0 图象如下： （2）由得， 所以， 解得， 所以不等式 的解集为. 2．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】1）利用五点作图法作图； （2）利用五点作图法作图； （3）利用五点作图法作图. 【详解】（1）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 －1 0 1 0 描点作图，如图所示． （2）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到的图像，如图所示． （3）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 －1 1 －1 －3 －1 描点作图，如图所示． 3．已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据五点法整体代换完成表格的填写，再描点法作图即可得答案； （2）方法一：根据三角函数的变换先做平移变换，再对横坐标做伸缩变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 方法二: 根据三角函数的变换先对横坐标做伸缩变换，再做平移变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 【详解】（1）列表如下： 0 0 0 画图如下： （2）方法一  先将的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再将曲线上各点的横坐标缩小为原来的，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 方法二  先将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得的图象， 再将曲线向右平移个单位长度，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 4．函数． (1)请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）； (2)若有2个根，求实数m的取值范围； (3)若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）依次令取，可得的值，描点并用光滑曲线连接即可； （2）将有2个根，转化为的图象与直线有2个交点，由图象可得实数m的取值范围； （3）令，得或；令，得或；结合图象及函数的单调性，可得的最小值及最大值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）函数． 按五个关键点列表： x 0 2 1 0 －1 0 1 3 0 1 0 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示： （2）若有2个根，则的图象与直线有2个交点， 由图可知，或． 即实数m的取值范围或． （3）在，令，得或； 令，得，即，解得：或； 由图像可得：当时，函数单调递减；当时，函数单调递增. 若在上的值域为， 则（或）最小； 当时，最大．所以u的取值范围为． 考点二 正余弦(型)函数定义域与解不等式 5．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦函数结合根式的性质，结合正弦型函数图象求解； （2）利用正弦函数结合根式的性质求出各自定义域，再利用数轴法求交集． 【详解】（1）由，得，把当作整体t，作的图象如下： 在内，满足，得， ． 在上满足，， 即，， 定义域为． （2）根据函数表达式可得， 在数轴上表示如下： 由图示可得，函数定义域为． 6．求函数的定义域． 【答案】 【分析】由题可得，由同角三角函数的平方关系得，解不等式，再根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】由题可知，，即，解得， 由正弦函数的性质可得， 所以函数的定义域为． 7．求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出答案. 【详解】欲求函数定义域，则由，解得， 解得，取， 可得到定义域为 8．求下列函数的定义域． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根号下大于等于0得到不等式，再结合正弦函数性质解出即可， （2）根据根号下大于等于0得到不等式，再结合余弦函数性质解出即可. 【详解】（1）要使得函数有意义，则，即. 解得，. 故函数定义域为 （2）要使得函数有意义，则，即. 解得，. 故函数定义域为 9．求下列函数的周期： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦函数的周期公式计算即可. （2）根据正弦函数的图象求解即可. 【详解】（1）的周期为． （2）作出的图象． 所以该函数的最小正周期为． 考点三 正余弦(型)函数周期性问题 10．已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 【答案】 【分析】依题意可得，根据正弦型函数的周期公式计算可得. 【详解】因为和是函数相邻的两个零点，设函数的最小正周期为， 所以，则，又，解得. 故答案为： 11．已知函数，则函数的最小正周期为______． 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质，得到的最小正周期为，的最小正周期为，进而得到是函数的一个正周期，不是函数的周期，然后利用特值法可证明函数的正周期只能是的任意正整数倍，从而得到其最小正周期为. 【详解】由正弦函数的图象与性质，可得的最小正周期为，的最小正周期为， 可得， ， 所以函数的一个正周期为. 设是函数的正周期， 则， 当时，， 当时得，无解. 所以的最小正周期只能是的任意正整数倍， 但上面已经证明不是函数的周期，是函数的周期， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：． 12．（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为2 D．的最小值为0 【答案】ACD 【分析】利用偶函数定义可判断A正确，代入检验可知不是的最小正周期，故B不正确；对的正负进行分类讨论，可判断CD正确. 【详解】因为，的定义域为， 所以是偶函数，故A正确； 因为， 所以不是的最小正周期，故B不正确； 当时，，当时，， 所以的最大值为2，最小值为0，故C、D均正确． 故选：ACD． 13．已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质求出最小正周期. 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，函数周期为，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：A. 14．已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【详解】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数在上单调递增. 15．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意，求得，再由的图像关于点中心对称，得到，且，结合三角函数的性质，求得，进而求得的值． 【详解】因为函数的最小正周期为，且， 可得， 又因为函数的图像关于点中心对称，可得，且， 所以，即，可得， 解得，由，可得，，即， 所以． 故选：A. 16．求下列三角函数的周期． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】按照三角函数的周期性，或者结合函数图像得出三角函数的周期. 【详解】（1）因为， 由周期函数的定义知，的周期为． （2）因为， 由周期函数的定义知，的周期为． （3）因为 ， 由周期函数的定义知，的周期为． （4）的图象如图（实线部分）所示， 由图象可知，的周期为． 考点四 正余弦(型)函数单调性以及求参数问题 17．若，求函数在上的单调递减区间. 【答案】， 【分析】整体代换法求解单调区间. 【详解】， 由，得， 所以的减区间为，. 令得；令得， 故时，的减区间为，. 18．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间； (3)求的最大值、最小值以及对应的值的集合． 【答案】(1) (2) (3)最大值为3，取最大值时值的集合为；最小值为，取最小值时值的集合为 【分析】（1）利用最小正周期公式计算求解； （2）利用正弦型函数单调性求解； （3）根据正弦函数的性质，求出正弦函数的最大、小值及对应x值的集合． 【详解】（1）， 的最小正周期为． （2）由正弦函数的性质可知：， 解得， 的单调递减区间为． （3）当取最大值时，，即， 解得， 的最大值为3，取最大值时值的集合为， 当取最小值时，， 即，得， 的最小值为，取最小值时值的集合为． 19．已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据函数的对称性和函数的单调性列式即可. 【详解】由题意得，，解得， 又在上单调，，解得， 当时，，舍去；当时，，符合题意. 20．下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以令，解得， 当时，单调递增区间为， 因为， 所以是函数的一个单调递增区间. 21．（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 【答案】 和 【详解】（1）因为， 令，解得， 则的单调递减区间为， 令，，则， 所以在上的单调递减区间为和. （2）令，解得， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递增， 在内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 22．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得， 当，得； 当，且，无交集； 当，由可知显然不符合题意， 所以的取值范围为． 考点五 正余弦(型)函数的值域(最值)及其求参数 23．已知函数，. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)， (3)最小值为；最大值为 【分析】(1) 根据正弦型函数周期公式直接计算最小正周期； (2) 换元转化为基础正弦函数单调性，解不等式还原自变量范围； (3) 先确定相位的取值区间，结合正弦函数值域缩放得到原函数在闭区间上的最值. 【详解】（1）的最小正周期为 （2）令，，解得，， 故函数的单调递增区间为，. （3）当时，，则，根据正弦函数的性质， 可知当，即时，函数取得最小值为； 当，即时，函数取得最大值为. 24．若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】通过换元转化为正弦函数的区间值域问题，采用选项代入验证法，直接检验各选项对应的区间内正弦函数的取值范围，快速筛选出符合条件的值. 【详解】设，由且，得， 此时的值域为等价于. 将选项依次代入验证： 当时，，存在使，，不符合，故A错误； 当时，，的最大值为（时），最小值为（时）， 故，符合条件，故B正确； 当时，，的最大值为，，不满足值域条件，故C错误； 当时，，的最大值，则，不符合值域条件，故D错误.. 25．已知函数，，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由， 因为，则， 设，则在上单调递减， 所以当时，. 26．已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系，利用换元法（令），结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】， 令，由得， 设， 其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 因为在上取得最大值2， 所以，解得. 27．已知函数. (1)求的单调递减区间和对称轴； (2)求的最大值，以及取得最大值时x的值； (3)求在上的值域. 【答案】(1)，对称轴为. (2) (3) 【详解】（1）由，解得， 所以的单调减区间为. 由，得，的对称轴为. （2）当即时，取得最大值，最大值为. （3）由，得，则，， 故在上的值域为. 28．已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】结合三角函数图象性质可列出与有关不等式，结合为整数计算即可得解. 【详解】当时，， 则有，， 解得，， 当时，，，则不等式组无解； 当时，有，即； 当时，由，，则不等式组无解； 综上可得. 考点六 正余弦(型)函数的奇偶性及其求参数 29．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，结合诱导公式判断即可； （2）根据函数奇偶性的定义，结合诱导公式判断即可. 【详解】（1）根据已知，，定义域为，关于原点对称． 所以， 所以是偶函数． （2）根据已知，，定义域为，关于原点对称． 所以， 所以为奇函数． 30．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数是奇函数，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解. 【详解】由题意可知， 因为为奇函数，所以， 则，而时，；时，， 则的最小值为． 31．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果. 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 32．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为. 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 33．已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 【答案】C 【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质求函数值. 【详解】设，函数定义域为R， 由， 知函数为奇函数， ，故， 所以. 故选：C 34．已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为偶函数，得到，再根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，由求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 由，得， 因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：B 考点七 正余弦(型)函数对称轴与对称中心的问题 35．已知函数的最小正周期为，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的最小正周期为，，， ，令，解得， 令，得，故的一个对称中心的坐标可以是. 36．设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 【答案】1 【分析】求出相位的取值范围，再由对称轴情况列出不等式求解. 【详解】令，解得 有对称轴在区间内，即 ，整理得：. 因为在区间内有且只有一条对称轴，即满足不等式的整数只有1个， 所以大于的最小整数是，即满足条件， 故，解得：. 答案不唯一，满足即可. 37．已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到与的图象均关于直线对称，从而得到，，即可得到答案. 【详解】因为均为偶函数， 所以与的图象均关于直线对称， 所以， 即，. 所以的最小值为2． 故选：B 38．若函数图象的一条对称轴为，函数图象上到直线距离最小的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的最小正周期与对称中心和对称轴的关系，结合对称中心的性质进行求解即可. 【详解】设该函数的最小正周期为， 因为函数图象上到直线距离最小的一个对称中心为， 所以， 又因为， 所以，即， 又因为该函数图象的一个对称中心为， 所以， 又因为， 所以令，得. 39．已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的周期性与对称性结合题目条件即可求出的最小值. 【详解】由，得，令，则，容易验证当时，最小，此时. 故选：A 40．关于，有下列命题： ①由可得是的整数倍； ②图象关于对称； ③图象关于对称． 其中正确命题的序号为_____________． 【答案】② 【分析】①求出对应的且，即可判断；②③利用正弦函数的对称中心和对称轴进行验证. 【详解】解析：对于①，由，可得， ，是的整数倍，∴①错； 对于②，的对称中心满足，，，． 是函数的一个对称中心，∴②对； 对于③，函数的对称轴满足，，，． 取不到，∴③错． 故答案为：② 考点八 正切函数定义域与解不等式 41．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为． 42．函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】应用正切函数定义域计算求解. 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域为 43．求函数的定义域和值域. 【答案】定义域为，值域为． 【分析】由，并结合图象可求得原函数的定义域，进而可求值域． 【详解】作出函数在上的图象，如图所示． 因为，所以， 结合图象易得，显然有． 故函数的定义域为，值域为． 44．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由题可得，再根据正切函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以， 解得， 故所求函数的定义域为． 故答案为： 考点九 正切函数周期性问题 45．在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（   ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】A 【分析】由三角函数性质判断各项函数的周期，即可得答案. 【详解】①函数为偶函数，周期与相同，最小正周期； ②函数的周期是的一半，即； ③由余弦型函数性质； ④由正切型函数性质； 因此，最小正周期为的所有函数为①②③，故A正确. 46．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数周期，即可得，再利用可求出，结合函数对称性即可得解. 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则，又，则，故， 令，解得， 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心，其余选项皆不符合. 47．若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最小正周期可得，据此可得对称中心，然后验证选项可得答案. 【详解】因最小正周期为，则，结合，可得. 则，其对称中心横坐标满足， 所以对称中心可为：. 选项A：令，得，不符合； 选项B：令，得，不符合； 选项C：令，得，不符合； 选项D：令，得，符合要求. 48．已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【详解】设的最小正周期为T，由函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得，由，解得 考点十 正切函数单调性以及求参数问题 49．若将函数图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到的图象，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图像变换得，使用整体代入法结合正切函数图像性质即可求得的单调递增区间. 【详解】由已知得，， 令，，解得. 所以的单调递增区间为. 50．函数的单调递增区间是______． 【答案】 【详解】令， 所以函数的单调递增区间是. 51．若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】分析正切函数的单调区间，并根据恒成立问题求解. 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 52．已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)定义域为，对称中心为，； (2). 【分析】（1）由解得，再利用正切函数的对称中心列式求解即可； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）因为的最小正周期，所以，则，             由，，得，，所以的定义域为，                             令，，得，， 所以的对称中心为，. （2）当时，， 因为在区间上单调递增， 所以，，                 所以，即， 则，解得，                 又，所以或，则或， 所以的取值范围为. 53．设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 【答案】2 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 故答案为：2 54．已知函数在单调递增，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据给定的区间，结合正切函数的单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得， 的取值范围为． 故答案为：. 考点十一 正切函数奇偶性与对称的问题 55．已知，若，则__________． 【答案】 【分析】设，由奇函数的性质即可求解． 【详解】设，定义域为， 因为， 所以为奇函数，又， 所以， 所以． 56．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 (3)奇函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【分析】根据函数奇偶性以及正切函数的知识求得正确答案. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. （3）是奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. （4）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 57．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 58．将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 【答案】1 【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出，进而得到最小值. 【详解】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 59．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切型函数的对称性得出，结合可得出的最小值. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 则，解得， 因为，故当时，取最小值. 60．函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的对称中心求解即可. 【详解】对于函数，令，解得：. 所以对称中心的坐标为． 取，此时对称中心为. 考点十二 正切函数的值域(最值)及其求参数 61．已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调性分析的最值位置，结合区间端点值，列出方程求出参数，，即可求出. 【详解】解：由在上单调递增，则单调递减， 所以在同一单调区间上也单调递减， 由在区间上单调递减，则， 所以，， 解得，，又，所以，因此. 62．设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 63．已知，求函数的最小值． 【答案】4 【分析】利用正余弦齐次式法变形函数，再换元并借助二次函数求出最小值. 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 64．（1）函数的定义域是________． （2）函数的值域为________． 【答案】 【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解； （2）令，换元法转化为求二次函数值域即可. 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 1．函数的最小正周期是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的最小正周期公式即可求解 【详解】因为，所以，所以函数的最小正周期为. 2．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所有选项的定义域都是， 对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数， 的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图）， B正确； 对于C：，图象为 很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 3．已知函数，，若为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．函数的一个零点为 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性先求出函数的参数，再结合余弦（型）函数求周期公式，余弦（型）函数对称性、零点，单调性逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 由为奇函数，所以，即， 因为，所以当时，， 所以， 对于A，由，所以的最小正周期为，故A错误； 对于B，由，解得：， 令，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，由函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故D错误. 4．已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】求出正切函数及正弦函数的对称中心，根据题意求解即可. 【详解】正切函数的对称中心为，. 正弦函数的对称中心为，. 因为正切函数与函数对称中心完全相同，所以. 5．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向右平移个单位得到. 6．已知点是函数图象的一个对称中心，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，则，即， 由，可得. 7．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 C．函数的图象关于点对称 D．函数在区间上单调 【答案】ABC 【详解】对于A，由周期公式计算可得函数的最小正周期为，即A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，B正确； 对于C，将代入检验可得， 因此函数的图象关于点对称，即C正确； 对于D，当时，，由于在上不单调， 所以函数在区间上不单调，D错误； 8．（多选）已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则（   ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ABD 【分析】对A，根据相邻对称轴距离求出函数周期，计算得到ω；对B，利用奇函数定义判断；对C，换元判断函数单调性；对D，根据图象变换求解判断. 【详解】对于A：因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，即，所以， ，A正确； 对于B：由选项A分析可知，所以， 令，则定义域为，且，所以是奇函数， 所以为奇函数，B正确； 对于C：由，得，令， 因为在单调递减，在单调递增，所以在单调递减，在单调递增，C错误； 对于D：函数的图象向左平移个单位长度，得到，D正确. 9．（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为 【答案】AC 【详解】对于A，因为的最小正周期为， 所以，解得，故A正确. 对于B，因为，所以，故B错误. 对于C，因为，故C正确. 对于D，因为，所以，所以，故D错误. 10．（多选）已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．， D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【详解】由题意得，即， 因为，所以，A错误； 因为，所以，即， 解得，因为，所以，B正确； 因为的最小正周期为，所以，又 即，解得，，C正确； 由上可得，令， 得，所以的对称中心为， 取即得的图象关于点对称，D正确. 11．（多选）已知函数的部分图象如图所示，点在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的一个对称中心是 C．在区间单调递增 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ABD 【分析】根据图象上的点求出函数的解析式，结合正切型函数的周期公式可判断A选项，根据定义域包含无定义点可判断B选项，利用正切型函数的对称性可判断C选项，利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】选项A：由题意可得，因为，所以， 所以 ，又因为 ， 所以，解得， 由图象可知函数的最小正周期满足 即， 所以，又，结合可得， 所以函数的最小正周期，A正确； 选项B：由A选项的分析可知 ，令 ， 解得，取即得， 所以是的一个对称中心，B正确； 选项C：当 时， ，因为 ， 而无定义，所以在区间不单调，C错误； 选项D：将由的图象向左平移个单位长度得到 ， 所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D正确. 12．函数的最小正周期为_________． 【答案】 【详解】由正切函数周期公式得：. 13．已知，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，故，而， 故即，故的取值范围为. 14．当时，曲线的图象与曲线的图象有唯一交点，则正实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据题意，转化为在区间上有唯一解，求得和，结合方程有唯一的解，分类讨论，确定方程解的情况，即可得到答案. 【详解】要使得时，曲线的图象与曲线的图象有唯一交点， 等价于方程在区间上仅有唯一解， 可得或， 所以或， （1）当时，，， 此时无解； ，则需，即， 此时，故无解； 即当时，方程在区间上无解，不符合题意； （2）当时，对于，则， 若，则，要使得，即，即， 当时，，此时， 当时，；当时，； 此时，当时的解，则交点的个数就会大于1，不符合题意； 若，分别变为，此时无解； 若，左边，右边，等式不成立，无解； 对于，右边， 方程，因为，，则， 要使得，可得，解得， 此时当时的解为， 加上的解，则交点个数大于1，不符合题意； 所以只需考虑，此时方程的解为，， ①当且时，则满足且， 因为，解得且，此时实数不存在； ②当无解或且时， 则满足或或且， 因为，解得且，所以， 验证端点，当时，方程存在唯一的解符合题意； ③当时，即 ， 可得，解得， 即，此时方程存在唯一的解，符合题意， 综上可得，正实数的取值范围为. 15．若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 【答案】4 【详解】因为为偶函数，所以. 由，得， 所以的最小正周期，当且仅当时等号成立. 所以最小正周期的最大值为4. 16．若方程在上有两个实数根，则的取值范围为____. 【答案】 【分析】方程在上有两个实根，即函数的图象与的图象有两个交点，作出函数图象，由图即可得解. 【详解】在同一直角坐标系中作出的图象，的图象， 由图象可知，当，即时， 函数的图象与的图象有两个交点， 即方程在上有两个实根， 故的取值范围为. 故答案为：. 17．已知函数． (1)求的定义域及图象的对称中心； (2)求使不等式成立的的取值集合． 【答案】(1)定义域为，； (2). 【分析】（1）应用正切函数的定义域及对称中心计算求解； （2）应用正切函数值域计算求解. 【详解】（1）令，， 解得，， 故的定义域为． 令，解得， 故图象的对称中心为． （2）不等式，即，则， 可得，， 解得，， 不等式的解集为． 18．已知函数（，，）的部分图象如图所示. . (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据余弦型函数的图象，结合代入法，余弦型函数的周期公式进行求解即可； （2）依题意可得，结合余弦函数的性质计算可得； （3）利用余弦函数在给定区间上的单调性求解即可. 【详解】（1）由图可知该函数的最小正周期. 因，则. 的图象经过点且在该点附近单调递减， 则由，可得，即. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以，解得. 故. （2）由，得，所以， 则或， 解得或， 即方程的解集为或. （3）因为，所以. 则当，即时，取得最小值，且最小值为； 当，即时，取得最大值，且最大值为. 故在上的值域为. 19．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 (1)请求出表格中，，的值，并求函数的解析式； (2)将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数，求函数成立的的取值集合． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）利用五点法的性质可知是正弦函数的三个零点和最高点及最低点，从而可求得振幅，周期及初相，即可求得函数的解析式，进而求出m，n，p的值； （2）利用平移可得函数解析式，再利用余弦函数的性质来求解即可. 【详解】（1）由表格中函数最大值为，最小值为，得振幅； 五点法中，对应的，对应的， 两者间隔为半个周期：，可得周期，因此； 将，，代入得：，解得，满足， 因此函数解析式为：， 则；；； （2）将向右平移个单位，可得：， 令，因此，即得， 即， 函数成立的的取值集合为. 20．设函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，，则，，其中，当时，利用二次函数的基本性质求出函数在上的值域，即为函数的值域； （2）当时，，函数变为，，所求问题变为恒成立，然后对实数的取值进行分类讨论，利用二次函数的单调性求出的最小值，可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围； （3）分析可知在内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）令，，则， 令， 当时，在上单调递减， 所以，，即的值域为，故函数的值域为. （2）若要，则需，当时，， 函数变为，，所求问题变为恒成立， 函数的图象开口向下， ①当时，即当时，此时函数在上单调递减， 则，解得，此时； ②当时，即当时，此时函数在上单调递增， 则，解得，此时； ③当时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 当时，即当时，，解得，此时； 当时，即当时，，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. （3）令，，由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 而关于的方程最多只有两个根， 因为方程在上有四个不相等的实数根， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根，    令，则有，解得， 即的范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数的性质与图像 考点一 五点法作图的问题 考点二 正余弦(型)函数定义域与解不等式 考点三 正余弦(型)函数周期性问题 考点四 正余弦(型)函数单调性以及求参数问题 考点五 正余弦(型)函数的值域(最值)及其求参数 考点六 正余弦(型)函数的奇偶性及其求参数 考点七 正余弦(型)函数对称轴与对称中心的问题 考点八 正切函数定义域与解不等式 考点九 正切函数周期性问题 考点十 正切函数单调性以及求参数问题 考点十一 正切函数奇偶性与对称的问题 考点十二 正切函数的值域(最值)及其求参数 考点一 五点法作图的问题 1．已知函数 (1)完善下面的表格并作出函数在上的图象： 0 π x 1 (2)解不等式 2．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 3．已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 4．函数． (1)请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）； (2)若有2个根，求实数m的取值范围； (3)若在上的值域为，求的取值范围． 考点二 正余弦(型)函数定义域与解不等式 5．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 6．求函数的定义域． 7．求函数的定义域. 8．求下列函数的定义域． (1)； (2) 9．求下列函数的周期： (1)； (2)． 考点三 正余弦(型)函数周期性问题 10．已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 11．已知函数，则函数的最小正周期为______． 12．（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为2 D．的最小值为0 13．已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 15．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 16．求下列三角函数的周期． (1)； (2)； (3)； (4)． 考点四 正余弦(型)函数单调性以及求参数问题 17．若，求函数在上的单调递减区间. 18．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间； (3)求的最大值、最小值以及对应的值的集合． 19．已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 20．下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 21．（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 22．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五 正余弦(型)函数的值域(最值)及其求参数 23．已知函数，. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在区间上的最大值和最小值. 24．若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 25．已知函数，，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 26．已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 27．已知函数. (1)求的单调递减区间和对称轴； (2)求的最大值，以及取得最大值时x的值； (3)求在上的值域. 28．已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. 考点六 正余弦(型)函数的奇偶性及其求参数 29．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)． 30．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数是奇函数，则的最小值为________. 31．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 32．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 33．已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 34．已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点七 正余弦(型)函数对称轴与对称中心的问题 35．已知函数的最小正周期为，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 36．设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 37．已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．若函数图象的一条对称轴为，函数图象上到直线距离最小的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 39．已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A． B． C． D． 40．关于，有下列命题： ①由可得是的整数倍； ②图象关于对称； ③图象关于对称． 其中正确命题的序号为_____________． 考点八 正切函数定义域与解不等式 41．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 42．函数的定义域为__________． 43．求函数的定义域和值域. 44．函数的定义域为______． 考点九 正切函数周期性问题 45．在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（   ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．①③ 46．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 47．若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（   ） A． B． C． D． 48．已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 考点十 正切函数单调性以及求参数问题 49．若将函数图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到的图象，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 50．函数的单调递增区间是______． 51．若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 52．已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 53．设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 54．已知函数在单调递增，则的取值范围为_______． 考点十一 正切函数奇偶性与对称的问题 55．已知，若，则__________． 56．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 57．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 58．将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 59．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 60．函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 考点十二 正切函数的值域(最值)及其求参数 61．已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 62．设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 63．已知，求函数的最小值． 64．（1）函数的定义域是________． （2）函数的值域为________． 1．函数的最小正周期是（   ） A．2 B． C． D． 2．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．函数的一个零点为 D．在上单调递增 4．已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（   ） A． B． C． D． 6．已知点是函数图象的一个对称中心，则（     ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 C．函数的图象关于点对称 D．函数在区间上单调 8．（多选）已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则（   ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 9．（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为 10．（多选）已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．， D．的图象关于点对称 11．（多选）已知函数的部分图象如图所示，点在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的一个对称中心是 C．在区间单调递增 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 12．函数的最小正周期为_________． 13．已知，则的取值范围是______. 14．当时，曲线的图象与曲线的图象有唯一交点，则正实数的取值范围是_____. 15．若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 16．若方程在上有两个实数根，则的取值范围为____. 17．已知函数． (1)求的定义域及图象的对称中心； (2)求使不等式成立的的取值集合． 18．已知函数（，，）的部分图象如图所示. . (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)求在上的值域. 19．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 (1)请求出表格中，，的值，并求函数的解析式； (2)将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数，求函数成立的的取值集合． 20．设函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $