新疆乌鲁木齐市第六十八中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 高二年级6月数学检测卷以扇文化、水果店销售、创文活动等真实情境为载体，通过基础辨析与综合应用分层设问，考查集合、函数、概率统计等知识，体现数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题、数学语言表达实际问题的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、不等式性质、函数值域|基础概念辨析，如第2题假命题判断| |多选题|3/18|集合关系、基本不等式|多选项设计，如第10题正数x,y最值问题| |填空题|3/15|函数求值、向量夹角|简洁计算，如第13题向量夹角正弦值| |解答题|5/77|复数、概率统计、回归分析、立体几何|综合应用，如第16题分层抽样与概率，第18题回归模型选择，第19题正四棱锥表面积与侧面积函数|

📐 第一部分：选择题与填空题答案 一、 单选题 1. A (考察集合运算， 为 中不属于 的元素，即 ) 2. D (考察不等式性质，当 符号不确定时， 不一定成立) 3. A (考察二次函数值域， ，在 上最小值为1，最大值为5) 4. C (考察指数与对数比较， ， ， ，故 ) 5. C (考察扇形面积，利用弧长求半径， ) 6. B (考察三角函数定义与单位向量，由 知 ，计算模长后得单位向量) 7. B (考察纯虚数定义，实部为0得 ，代入求解) 8. C (考察圆柱与立体几何，由侧面积求高，利用勾股定理计算 ) 二、 多选题 9. A, B (考察集合包含关系， ，讨论 的解集情况) 10. A, D (考察基本不等式与最值，A由均值不等式直接得；D利用“1”的代换求最小值) 11. A, D (考察函数对称性与周期性，由 为奇函数及 为偶函数推导周期与对称中心) 三、 填空题 12. 2或4 (分段函数求值， 时解二次方程， 时解指数方程) 13. (考察向量夹角正弦，利用 求解) 14. 2 (考察空间向量数量积，建立坐标系或利用几何性质计算) ✍️ 第二部分：解答题核心步骤 15. 复数问题 (1) 位于第二象限需满足：实部 且虚部 。解得： 。 (2) 当 时， 。 由于系数为实数，另一根为 。 由韦达定理得 ，故 。 16. 概率统计与决策 (1) ；比例为 。 (2) 计算方案二平均售价： 元/kg。 因 ，故选择方案二获利更多。 (3) 分层抽样从优质(30)和礼品(20)中选5个，应选优质3个、礼品2个。 从5个中选4个的总方法为 。 恰好2优2礼的方法为 。 概率 。 17. 独立性检验与频率分布 (1) 补全表格：①=4；②=1；③=5；④=25。 (2) 计算 值： 。 故在 下，有关系。 (3) 由 及总面积为1求出 。 中位数计算：前两组频率和为0.4，需在第三组(70,80)中补0.1，中位数 。 18.回归分析与正态分布 (1)用反比例函数模型求关于的回归方程 代入参考数据： =， 反比例函数模型的回归方程为： (2)比较拟合效果并估计成本 计算 假设经计算，则反比例函数模型拟合效果更好。 利用反比例模型估计时的成本： 答：每件产品的非原料成本估计为35.78元。 (3)判断是否需要寻找异常原因 样本均值（已算出）。 样本方差。 样本标准差。 区间为： 检查数据： 原始数据值：56,31.5,22.75,17.8,15.95,14.5,13,12.5。 观察发现：56>37.74。 第一个数据落在了之外。 答：由于存在异样成本（56元），需要寻找出现异样成本的原因。 19.正四棱锥问题 (1)求表面积（若棱长都相等） 底面积：。 侧面积：4个边长为2的正三角形。 总表面积：。 答：表面积为平方厘米。 (2)侧面积表示为底角的函数及范围 建立函数： 侧面积等于4个侧面三角形的面积： 代入表达式： 利用恒等式，可简化为： 底角必须满足，且由于要切去四个角，不能太小也不能太大。 具体限制：且。 当或时，会变得很大，导致无法折叠（超出纸张范围）。实际上，的取值范围是，但需保证底面存在。 通常取。 令，则。这是一个增函数。 当时，； 当时，。的取值范围为：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第六十八中2025-2026学年度高二年级第二学期 6月阶段性检测数学(问卷) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P,x∉Q},则M= ( ) A. {1} B. {2} C. {3} D. {1,2,3} 2.下列命题为假命题的是( ) A.若a>b, c∈R,则a+c>b+c B.若a>b, b>c,则a>c C.若a>b, c>0,则 ac> bc D.若a>b, c>d,则 ac> bd 3.函数 的值域是( ) A. [1,5] B. [1,2] C. [2,5] D. [1,+∞) 4.已知 则( ) A. a<b<c B. a<c<b C. c<a<b D. b<c<a 5.我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为 长为20π,长为12π,则扇面ABCD的面积为( ) A. 175π B. 185π C. 192π D. 196π 6. Q为坐标原点,角θ的终边经过点P(3,m)(m<0)且 则 的单位向量为( ) A. B. C. D. 7.复数z=(sinθ-2cosθ)+(sinθ+2cosθ)i是纯虚数,则sinθcosθ= ( ) A. B. C. D. 8.如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为12π,且DE=4,则CE= ( ) A. B. 4 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.已知集合 若B⊆A，则实数a的值可以为( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 10.已知正数x, y满足x+y=2,则( ) A.的最大值为1 B.的最大值为2 C.的最小值为2 D.的最小值为 11.已知函数f(x)的定义域为R, f(x+1)-1为奇函数, f(x)为偶函数,且当x∈[0,1]时, 则( ) A. B. f(x)的图象关于点(3,0)成中心对称 C.当x∈[5,7]时, D.方程f(x)=f(x-2)的解为x=2k+1,k∈Z 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数 ，若f(m)=1,则 m= 13.向量夹角的正弦值为 . 14.已知三棱锥P-ABC的棱长均为2，且D是BC的中点，则 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.已知复数 其中i为虚数单位，a∈R. (1)若在复平面内复数z位于第二象限，求实数a的取值范围； (2)当a=-1时,是方程的一个根，求和n-m的值. 16.一家水果店门店，近日采购了一批石榴，共有100个(每个石榴质量相当)，根据石榴的等级分类标准得到的数据如下表所示： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 a (1)求a的值，并计算“礼品果”所占的比例； (2)用样本估计总体，假定这批石榴有 Nkg，现有两种销售方案可参考. 方案一：不分类卖出，售价为20元/kg；方案二：分类卖出，分类后的水果售价如下表： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价/ (元/ kg) 16 18 22 24 计算方案二的平均售价，并请以此作为决策依据，选择获利最多的销售方案； (3)一名顾客到店采购，打算买4个石榴、他先用分层抽样的方法从“优质果”、“礼品果”中选出了5个石榴，再从这5个石榴中随机选择4个石榴.请问，他买到的石榴中，恰好有2个优质果和2个礼品果的概率是多少? 17.某市“创全国文明城市”(简称“创文”)活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表： 学校 A B C D 抽查人数 10 15 100 75 “创文”活动中参与的人数 6 14 80 49 假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的. (1)根据上表中 A，B两校的数据，补全下面的2×2列联表(将序号处的数据填写完整)： 学校 参与 未参与 合计 A 6 ① 10 B 14 ② 15 合计 20 ③ ④ (2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析A，B两校参与“创文”活动与学校是否有关? (3)在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评(满分为100分)，得到如上的频率分布直方图，其中a=4b.求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数. 参考数据： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x (千件)有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 56 31.5 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5 根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用指数函数模型和反比例函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合. 已求得用指数函数模型拟合的回归方程为Iny与x的相关系数 (1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程； (2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好，并用其估计产量为10千件时，每件产品的非原料成本； (3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布 ，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，若非原料成本y在( )之外，说明该成本异常，并称落在(μ-σ，μ+σ)之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因? 参考数据(其中 0.34 0.1156 1.53. 184 5752.56 92.82 30.33 13.79 参考公式：对于一组数据其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 相关系数 19.设一正方形纸片ABCD边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计)，图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心. (1)若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的表面积； (2)设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数，并求S的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $