精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆实验中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

数学月测卷 一､选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分. 1. 曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在内有极小值，则（ ） A. B. C. D. 5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 6. 已知为上的可导函数，且有,则对于任意的，当时，有(　　) A B. C. D. 二､多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 7. 已知在的展开式中，第6项为常数项，则（ ） A. B. 的项的系数是 C. 有理项是第3项，第6项 D. 通项为 8. 设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则下列选项正确的是（ ）． A. B. C. D. 三､填空题：本题共2小题.，每小题6分，共12分. 9. 在展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是__________. 10. 随机变量取值为0,1,2，若，，则________. 四､解答题：本题共2小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 11. 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表： 降水量 工程延误天数 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于的概率分别为，求： （1）工期延误天数均值与方差； （2）在降水量至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. 12. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）当时，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学月测卷 一､选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分. 1. 曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用导函数研究函数的切线方程即可. 【详解】由题意可得：，则曲线的斜率为， 切线方程为：，即. 本题选择A选项. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积. 2. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 3. 甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把取出白球分为甲袋中取出白球和乙袋中取出白球两类进行计算 【详解】解：取出甲袋且取出白球的概率为：；取出乙袋且取出白球的概率为； 所以取出白球的概率为. 故选：C. 4. 若函数内有极小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数内有极小值，由极小值点在上求解． 【详解】解：因为函数在内有极小值，所以极小值点在上． 令，得，显然b＞0，， 由已知可得，解得. 故选：A． 5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 6. 已知为上的可导函数，且有,则对于任意的，当时，有(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把,通分即可构造新函数 ，并可得到的单调性，借助单调性比较大小得答案． 【详解】解：由题意知为上的可导函数，且有， 所以，令 ，则 ， 则当 时，，， 当 时，，， 因为，当， ，即， 故答案选C． 【点睛】本题考查导数小题中的构造函数，一般方法是应用题目中给的含有导数的式子，和要求的式子猜测出需构造的函数，利用新函数的单调性求解答案． 二､多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 7. 已知在的展开式中，第6项为常数项，则（ ） A. B. 的项的系数是 C. 有理项是第3项，第6项 D. 通项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项式定理结合通项公式可一一判定选项. 【详解】易知的展开式的通项为 ， 又第6项为常数项，即时，，所以A项正确； 则通项，所以D项正确； 含的项为时，，系数为，所以B正确； 显然根据通项公式可知：当时均为有理项，故C错误. 故选：ABD 8. 设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则下列选项正确是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，根据分布列、期望、方差的知识确定正确答案. 【详解】依题意，，A选项正确. ，B选项正确. ，C选项错误. ，D选项正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共2小题.，每小题6分，共12分. 9. 在的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是__________. 【答案】462 【解析】 【分析】根据展开式中所有项的奇数项系数和可求得的值，进而可求得中间项的系数. 【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为， 而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等， 故由题意得，解得， 所以，展开式共项，中间项为第六项、第七项，其系数为. 故答案为：. 10. 随机变量的取值为0,1,2，若，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】设时的概率为，则，解得，故 考点：方差. 四､解答题：本题共2小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 11. 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表： 降水量 工程延误天数 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于的概率分别为，求： （1）工期延误天数的均值与方差； （2）在降水量至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【答案】（1）工期延误天数的均值为，方差为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出随机变量的分布列，进一步可求得随机变量的均值与方差； （2）计算出和，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由已知条件和概率的加法公式有：，， ， ， 所以的分布列为： 于是，， 故工期延误天数的均值为，方差为； 【小问2详解】 由对立事件的概率公式可得， 又， 由条件概率得， 故在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率是． 12. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1） 的定义域为（0，+），. 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增. 若a＜0，则当时，时；当x∈时，. 故f（x）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为. 所以等价于，即. 设g（x）=lnx-x+1，则. 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即. 【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $